凹面鏡による像の形成

凹面鏡によって形成される物体の像を理解するために、以下の例題と解答を学びましょう。この問題では、物体が凹面鏡から一定の距離にあると仮定し、凹面鏡による像の形成を描きます。

凹面鏡からの像距離と、凹面鏡によって形成される像の倍率。

焦点距離が20cmの凹面鏡を考えます。像の形成を描き、像距離と像倍率を求めなさい。

a) 物体の距離は焦点距離よりも小さい（

b) 物体が鏡の焦点に位置する (do = f)

c) 物体が焦点と鏡面曲率の中心点の間にある場合 (f < do

d) 鏡面曲率の中心に位置する物体 (do = R)

e) 物体間の距離が鏡の曲率半径よりも大きい場合 (do > R)

既知：

凹面鏡の焦点距離 (f) = 20 cm

凹面鏡の焦点距離は正の値をとる。なぜなら、光線は凹面鏡の焦点を通るからである。

曲率半径 (R) = 2 f = 2 (20) = 40 cm

解決策：

物体距離は凹面鏡の焦点距離よりも小さい（do < f）

物体と鏡との距離をそれぞれ5cm、10cm、15cmと仮定します。

1. 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 5 cm

像距離（di）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/5 = 1/20 – 4/20 = -3/20

di = -20/3 = -6.7 cm

像距離（di ）が負の値をとるということは、影が虚像である、つまり像が凹面鏡の後ろにあり、光線が像を通過しないことを意味します。

像距離（di ）6.7cmは、物体距離（do ）5cmよりも大きい。

画像の倍率（M）：

M = -di / do = -(-6.7)/5 = 6.7 / 5 = 1.3倍

画像の線形倍率（M）が1を超えているということは、画像のサイズが対象物のサイズよりも大きいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は正の値をとるため、画像は正立している。

2. 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 10 cm

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/10 = 1/20 – 2/20 = -1/20

di = -20/1 = -20 cm

像距離（di ）が負の値をとるということは、像が虚像である、つまり像が凹面鏡の後ろにあるため、光線が像を通過しないことを意味します。

像距離（di ）20cmは、物体距離（do ）10cmよりも大きい。

画像倍率（M）：

M = -di / do = -(-20)/10 = 20/10 = 2倍

画像の線形倍率（M）が1を超えるということは、画像のサイズが物体のサイズよりも大きいことを意味します。

影の線形拡大率（M）は正の値をとるため、像は正立している。

3. 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 15 cm

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/15 = 3/60 – 4/60 = -1/60

di = -60/1 = -60 cm

像距離（di ）が負の値をとるということは、像が虚像である、つまり像が凹面鏡の後ろにあるため光線が像を通過しないことを意味します。

像距離（di ）60cmは、物体距離（do ）15cmよりも大きい。

画像倍率（M）：

M = -di / do = -(-60)/15 = 60/15 = 4倍

画像の線形倍率（M）が1を超えているということは、影の大きさが物体の大きさよりも大きいことを意味する。

画像の線形倍率（M）は正の値をとるため、画像は正立している。

凹面鏡の焦点に位置する物体（do = f）

凹面鏡の焦点に物体が位置するため、物体距離 (do) = 焦点距離 (f) = 20 cm

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/20 = 0

at = 0

画像の倍率（M）：

M = di / do = 0

物体距離（do ）が鏡の焦点距離（f）と等しい場合、鏡によって像は形成されません。

物体は、焦点と凹面鏡の曲率中心の間にある（f < do < R）。

鏡から物体までの距離を25cm、30cm、35cmと仮定します。

1) 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 25 cm の場合

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/25 = 5/100 – 4/100 = 1/100

di = 100/1 = 100 cm

像距離（di）が正の符号を持つということは、像が実像である、つまり像が凹面鏡の前にあり、光線が像を通過することを意味します。

像距離（di）100cmは、物体距離（do）25cmよりも大きい。

画像倍率（M）：

M = -di / do = -(100)/25 = -4 回

画像の線形倍率（M）が1を超えているということは、画像のサイズが対象物のサイズよりも大きいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は負の符号を持つため、画像は反転している。

2) 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 30 cm の場合

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/30 = 3/60 – 2/60 = 1/60

di = 60/1 = 60 cm

像距離（di）が正の符号を持つということは、像が実像である、つまり像が凹面鏡の前にあり、光線が像を通過することを意味します。

像距離（di）60cmは、物体距離（do）30cmよりも大きい。

画像の線形倍率（M）：

M = -di / do = -60/30 = -2 倍

画像の線形倍率（M）が1を超えるということは、画像のサイズが物体のサイズよりも大きいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は負の符号を持つため、画像は反転している。

3) 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 35 cm の場合

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/35 = 7/140 – 4/140 = 3/140

di = 140/3 = 46.7 cm

像距離（di）が正の値をとるということは、像が実像である、つまり像は凹面鏡の前面にあり、光線が像を通過する位置にあることを意味します。

像距離（di）46.7cmは、物体距離（do）35cmよりも大きい。

画像の線形倍率（M）：

M = -di / do = -46.7 / 35 = -1.3倍

画像の線形倍率（M）が1を超えているということは、画像のサイズが対象物のサイズよりも大きいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は負の符号を持つため、画像は反転している。

凹面鏡の曲率の中心に位置する物体（do = R）

凹面鏡の曲率中心に位置する物体の場合、物体距離(s)は鏡の曲率半径(R) = 40cmとなる。

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/40 = 2/40 – 1/40 = 1/40

di = 40/1 = 40 cm

像距離（di）が正の符号を持つということは、像が実像である、つまり像が凹面鏡の前面にあり、光線が像を通過することを意味します。

像距離（di）40cmは物体距離（do）40cmと等しい。

画像の線形倍率（M）：

M = -di / do = -40/40 = -1

画像の線形倍率（M）が1であるということは、画像のサイズが対象物のサイズと等しいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は負の符号を持つため、画像は反転している。

物体距離は凹面鏡の曲率半径よりも大きい（do > R）。

物体と鏡との距離をそれぞれ45cm、50cm、60cmと仮定します。

1) 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 45 cm の場合

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/45 = 9/180 – 4/180 = 5/180

di = 180/5 = 36 cm

像距離（di）が正の値をとるということは、像が実像である、つまり像は凹面鏡の前面にあり、光線が像を通過する位置にあることを意味します。

像距離（di）36cmは、物体距離（do）45cmよりも小さい。

画像の線形倍率（M）：

M = -di / do = -(36)/45 = -0.8 回

画像の線形倍率（M）が1より小さいということは、画像のサイズが対象物のサイズよりも小さいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は負の符号を持つため、画像は反転している。

2) 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 50 cm の場合

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/50 = 5/100 – 2/100 = 3/100

di = 100/3 = 33.3 cm

像距離（di）が正の値をとるということは、像が実像である、つまり像は凹面鏡の前面にあり、光線が像を通過する位置にあることを意味します。

像距離（di）33cmは、物体距離（do）50cmよりも小さい。

画像の線形倍率（M）：

M = -di / do = -33/50 = -0.7 倍

画像の線形倍率（M）が1より小さいということは、画像のサイズが対象物のサイズよりも小さいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は負の値をとるため、画像は反転している。

3) 焦点距離 (f) = 20 cm、物体距離 (do) = 60 cm の場合

画像距離（di ）：

1/di = 1/f – 1/do = 1/20 – 1/60 = 3/60 – 1/60 = 2/60

di = 60/2 = 30 cm

像距離（di）が正の符号を持つということは、像が実像である、つまり像が凹面鏡の前面にあり、光線が像を通過することを意味します。

像距離（di）30cmは、物体距離（do）60cmよりも小さい。

画像の線形倍率（M）：

M = -di / do = -30/60 = -0.5 倍

画像の線形倍率（M）が1より小さいということは、画像のサイズが対象物のサイズよりも小さいことを意味します。

画像の線形倍率（M）は負の値をとるため、画像は反転している。