30 熱機関（熱力学第二法則の応用）－問題と解答
1. 熱入力 Q H = 3000 ジュール、熱出力 Q L = 1000 ジュールです。この熱機関の効率はいくらですか？
既知：
熱入力（Q H）＝3000ジュール
熱出力（Q L）＝1000ジュール
エンジンが行う仕事（W）＝3000－1000＝2000ジュール
求む：熱機関の効率（e）
解決策：
2. 熱機関は2000ジュールの機械的仕事を行い、500ジュールの割合で周囲に熱を放出します。この熱機関の効率はどれくらいですか？
既知：
エンジンが行う仕事量（W）＝2000ジュール
熱出力（Q L）＝5000ジュール
熱入力（Q H）＝2000＋5000＝7000ジュール
求められるもの：効率性（e）
解決策：
3. 熱機関の効率は30%です。この機関が10,000ジュールの機械的仕事を生み出す場合、この機関から廃熱として放出される熱量はどれくらいですか？
既知：
効率 (e) = 30 % = 30/100 = 0.3
エンジンによって行われる仕事量 (W) = 3,000ジュール
求められるもの：熱出力（Q L）
解決策：
熱出力（Q L）＝熱入力（Q H）－エンジンが行う仕事（W）
Q L = 10,000 ジュール – 3,000 ジュール
Q L = 7,000ジュール
4. 500 Kと300 Kの温度の2つの熱源の間で動作するカルノー機関の効率を求めなさい。
解答: カルノー効率の公式 \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}\) を用いると、\(\eta = 1 – \frac{300}{500} = 0.4\) または \(40\%\) となります。
5. 熱機関が高温熱源から2000 Jの熱を吸収し、低温熱源に1200 Jの熱を放出する。この機関が行う仕事量を計算せよ。
解答：熱力学第一法則 \(Q_{\text{hot}} = W + Q_{\text{cold}}\) を用いると、仕事は \(W = 2000 – 1200 = 800\ \text{J}\) となります。
6. 高温熱源から1000 Jの熱を吸収し、600 Jの仕事を行う熱機関の効率を計算しなさい。
解答: \(\eta = \frac{W}{Q_{\text{hot}}} = \frac{600}{1000} = 0.6\) または \(60\%)。
7. 熱機関が400Kと200Kの間で作動する。最大効率を求めよ。
解: \(\eta_{\text{max}} = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{200}{400} = 0.5\) または \(50\%\)。
8. 熱機関が200 Jの仕事を行いながら、300 Jの熱を低温熱源に放出する。高温熱源から吸収される熱量を計算せよ。
解答: \(Q_{\text{hot}} = W + Q_{\text{cold}} = 200 + 300 = 500\ \text{J}\)。
9. 圧縮比が8のオットーサイクルの効率を求めなさい。
解: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} = 1 – \frac{1}{8^{(1.4 – 1)}} \approx 0.564\) または \(56.4\%)\) ここで \(\gamma\) は熱容量比です。
10. 熱機関が150 Jの仕事を行い、100 Jの熱を低温熱源に放出する。高温熱源から吸収された熱量を求めよ。
解答: \(Q_{\text{hot}} = W + Q_{\text{cold}} = 150 + 100 = 250\ \text{J}\)。
11. 圧縮比が18、カットオフ比が2のディーゼルエンジンの効率を求めなさい。
解: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \left( \frac{r_c – 1}{r_c} \right) \approx 0.627\) または \(62.7\%)\) ここで、\(r\) は圧縮比、\(r_c\) はカットオフ比、\(\gamma\) は熱容量比です。
12. 400 Jの熱を吸収し、効率が50%の熱機関が行う仕事を計算しなさい。
解答: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.5 \cdot 400 = 200\ \text{J}\)
13. 熱機関が600Kと300Kの間で動作する。カルノー効率を求めよ。
解答: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{300}{600} = 0.5\) または \(50\%\)。
14. 熱機関が3000 Jの熱を吸収し、1800 Jの熱を低温熱源に放出する。行われた仕事量を計算せよ。
解答: \(W = Q_{\text{hot}} – Q_{\text{cold}} = 3000 – 1800 = 1200\ \text{J}\)
15. 800 Kと400 Kの2つの熱源の間で動作するスターリングエンジンの効率を求めなさい。
解答: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{400}{800} = 0.5\) または \(50\%\)。
16. 熱機関が300 Jの仕事を行いながら、500 Jの熱を低温熱源に放出する。高温熱源から吸収される熱量を計算せよ。
解答: \(Q_{\text{hot}} = W + Q_{\text{cold}} = 300 + 500 = 800\ \text{J}\)。
17. 1000 K と 250 K の高温熱源と低温熱源を持つエリクソンサイクルの効率を求めなさい。
解答: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{250}{1000} = 0.75\) または \(75\%\)。
18. 熱機関が700 Jの仕事を行い、効率が70%である。低温熱源に放出される熱量を計算せよ。
解答: \(Q_{\text{cold}} = \frac{W}{\eta} – W = \frac{700}{0.7} – 700 \approx 1000 – 700 = 300\ \text{J}\).
19. 圧力比が 6.5、\(\gamma = 1.4\) のブレイトンサイクルの効率を求めなさい。
解: \(\eta = 1 – \frac{1}{r_p^{(\gamma – 1)/\gamma}} \approx 0.433\) または \(43.3\%)\) ここで \(r_p\) は圧力比です。
20. 250 Jの熱を吸収し、100 Jの熱を低温熱源に放出する熱機関が行う仕事を計算しなさい。
解答: \(W = Q_{\text{hot}} – Q_{\text{cold}} = 250 – 100 = 150\ \text{J}\)
21. 熱機関が450Kと150Kの間で動作する。カルノー効率を求めよ。
解答: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{150}{450} \approx 0.667\) または \(66.7\%)\)。
22. 圧縮比が10のアトキンソンサイクルの効率を求めなさい。
解答: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \approx 0.593\) または \(59.3\%)
ここで、\(r\)は圧縮比、\(\gamma\)は熱容量比です。
20. 熱機関が180 Jの熱を吸収し、効率が40%である。行われた仕事量を計算せよ。
解答: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.4 \cdot 180 = 72\ \text{J}\)
注：オットーサイクルやディーゼルサイクルなどの特定の熱サイクルに関する問題では、熱容量比γなどの特定の値が使用されています。これらの値は、特定のガスに典型的な値です（例：空気の場合γ = 1.4）。これらの値は、エンジンで使用される特定の物質によって異なる場合があります。
