流体力学 – 問題点と解決策

流体力学 – 問題点と解決策

トリチェリの定理

1.図に示すように、水で満たされた容器に穴が開いています。重力による加速度が 10 ms ^-2の場合、その穴を通過する水の速度はどれくらいですか?

既知：

高さ (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 メートル

重力加速度(g) = 10 m/ ^s²

求む：水の速度（v）

解決策：

トリチェリの定理によれば、水は、同じ高さから自由落下する物体と同じ速度で穴から飛び出す。高さ (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 メートル

水の速度は、自由落下運動の式を用いて計算されます。

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

2.図に示すように、水で満たされた容器に穴が開いています。重力による加速度が 10 ms ^-2の場合、その穴を通る水の速度はどれくらいですか。

既知：

高さ (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 メートル

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求む：水の速度（v）

解決策：

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

3.図に示すように、水で満たされた容器に穴が開いています。重力による加速度が 10 ms ^-2の場合、その穴を通る水の速度はどれくらいですか。

既知：

高さ (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 メートル

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求む：水の速度（v）

解決策：

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

4.図に示すように、水で満たされた容器に穴が開いています。重力による加速度が 10 ms ^-2の場合、その穴を通る水の速度はどれくらいですか。

既知：

高さ (h) = 20 cm = 0.2 メートル

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求む：水の速度（v）

解決策：

5.図に示すように、水で満たされた容器に₂つの穴があります。x1とx2_の比はいくらですか？

解決策

穴1からの水の自由落下時間間隔：

h = 1/2 at ²

0.8 = 1/2 (10) t ²

0.8 = 5 t ²

t ² = 0.8 / 5 = 0.16

t=0.4秒

穴2からの水の自由落下時間間隔：

h = 1/2 at ²

0.5 = 1/2 (10) t ²

0.5 = 5 t ²

t ² = 0.5 / 5 = 0.1

t = √0.1秒

水平距離（x）：

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8メートル

x ₂ = v ₂ t ₂ = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1メートル

_x1とx2_の比率：

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

連続の式

6. 水は直径が変化するパイプAからB、そしてCへと流れます。AとCの直径比は8：3です。パイプA内の水の速度がvである場合、パイプC内の水の速度はいくらですか。

既知：

Aの面積（A_A）= 8

Cの面積（A _C）= 3

パイプ A 内の水の速度 (v _A ) = v

求む：パイプC内の水の速度（v _C）

解決策：

連続の式：

A _A v _A = A _C v _C

8V = 3V _C

v _C = 8/3 v

7. 直径12cmのパイプ内の水の速度が10cm/秒である場合、直径8cmのパイプ内の水の速度はいくらですか？

既知：

直径1（d1 _）＝12cm、半径1（r1 _）＝6cm

直径2（d2 _）＝8cm、半径2（r2 _）＝4cm

水の速度 1 (v ₁ ) = 10 cm/s

求む：水の速度2（v ₂）

解決策：

面積 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

面積 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

連続の式：

A1対₁ = _A2対_2​

(36π)(10) = (16π) v ₂

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v ₂ = 360/16

v ₂ = 22.5 cm/s

8. 下の図に示すように、直径が変化するパイプを水が流れます。面積 1 (A ₁ ) = 8 cm ²、A ₂ = 2 cm ²、パイプ 2 内の水の速度 = v ₂ = 2 m/s の場合、パイプ 1 内の水の速度 = v ₁はいくらですか。

既知：

エリア1（A）₁） = 8 cm²

面積2（A2 _）＝^2cm2

パイプ2内の水の速度（v2 _）＝2m/s

求む：パイプ1内の水の速度（_v1）

解決策：

連続の式：

A1対₁ = _A2対_2​

8対₁ = (2)(2)

8対₁＝4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. 大きい方のパイプの直径が小さい方のパイプの直径の2倍である場合、小さい方のパイプにおける流体の速度はどれくらいですか。

既知：

より大きなパイプの直径（d₁）= 2

大きい方のパイプの半径 (r ₁ ) = ½ d ₁ = ½ (2) = 1

大きい方のパイプの面積 ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

小さい方のパイプの直径 (d ₂ ) = 1

小さい方のパイプの半径 (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

小さい方のパイプの面積 ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = 1/4 π

太い方のパイプにおける流体の速度（v ₁）＝4 m/s

求む：細いパイプにおける流体の速度（v2 _）

解決策：

連続の式：

A1対₁ = _A2対_2​

π 4 = ¼ π (v ₂ )

4 = ¼ (v ₂ )

v ₂ = 8 m/s

ベルヌーイの原理と方程式

10. 120 kP の圧縮機で水が汲み上げられ、下側のパイプ (1) に入り、1 m/s の速度で上向きに流れます。重力加速度は10 m/ sで、水の密度は1000 kg/m ^-3です。上側のパイプ (II) にかかる水圧はいくらですか。

既知：

下部パイプの半径（r）₁） = 12 cm

下部パイプの半径 (r ₂ ) = 6 cm

下側のパイプ内の水圧（p ₁）= 120 kPa = 120,000 パスカル

下側のパイプ内の水の速度 (v ₁ ) = 1 ms ^-1

下側のパイプの高さ (h ₁ ) = 0 m

上部パイプの高さ（h2 _）＝2m

重力加速度 (g) = 10 ^ms⁻²

水の密度 = 1000 kg ^/m³

求む：パイプ2の水圧（p ₂）

解決策：

パイプ2内の水の速度は、連続の式を用いて計算される。

パイプ2内の水圧は、ベルヌーイの式を用いて計算されます。

11.地上5メートルの高さに太いパイプ、地上1メートルの高さに細いパイプがあります。太いパイプ内の水の速度は36 km/hで、圧力は9.1 × ^10⁵ Paです。一方、細いパイプ内の圧力は2.10⁵ Paです^。細いパイプ内の水の速度はいくらですか？水の密度 = 10³ ^kg / ^m³

既知：

太いパイプ内の水圧（p₁) = 9.1 x 10⁵ パスカル = 910,000 パスカル

細いパイプ内の水圧 (p ₂ ) = 2 x 10 ⁵パスカル = 200,000 パスカル

大径管内の水の速度 (v ₁ ) = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 m/s

大きなパイプの高さ (h ₁ ) = -4メートル

細いパイプの高さ (h ₂ ) = 0 メートル

重力加速度 (g) = 10 ^ms⁻²

水の密度 = 1000 kg/ ^m³

求む：細いパイプ内の水の速度（v ₂）

解決策：

細いパイプ内の水の速度（v ₂）は、ベルヌーイの式を用いて計算されます。

12. 半径 15 cm のパイプと半径5 cmの別のパイプが接続されています。両方とも水平位置にあります。大きなパイプ内の水の流れの速度は 1 m/s で、圧力は 10 ⁵ N/ m ²です。小さなパイプにかかる水圧はいくらですか (1 g cm -3 ⁾。

既知：

大径管の半径（r ₁）= 15 cm = 0.15 m

小径管の半径（r ₂）= 5 cm = 0.05 m

大径管内の水圧（p ₁）= 10 ⁵ N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

太いパイプ内の水の速度 (v ₁ ) = 1 ms ^-1

重力加速度 (g) = 10 ^ms⁻²

水の密度= 1 g cm⁻³ ⁼ 1000 kg ^m⁻³

高さの差 (Δh) = 0。

求む：小径管内の圧力（₂ページ目）

解決策：

パイプ2内の水の速度は、連続の式を用いて計算される。

細いパイプ内の水圧（p ₂）は、ベルヌーイの式を用いて計算されます。

1. 流体力学とは何ですか？
   • 回答： 流体力学は、流体（液体および気体）の運動と、それらに作用する力を研究する物理学の一分野です。流体がどのように流れ、固体境界とどのように相互作用し、互いにどのように影響し合うかを記述する原理と方程式を包含しています。
2. 層流と乱流の違いは何ですか？
   • 回答： 層流は、滑らかで平行な流体層が規則的な経路を移動することを特徴とする。一方、乱流は、渦や旋回、急激な変動を伴う混沌とした流れである。乱流は一般的に、高速流や不規則な形状の流路で発生する。
3. 流体力学において、粘性の概念はなぜ重要なのでしょうか？
   • 回答： 粘度とは、流体のせん断力や流れに対する抵抗を表す指標です。高粘度流体（蜂蜜など）は、低粘度流体（水など）よりも流れに抵抗が大きくなります。流体力学において、粘度は流体の流れの性質、エネルギー散逸、および抗力を決定する上で重要な役割を果たします。
4. ベルヌーイの原理とは何ですか？
   • 回答： ベルヌーイの原理によれば、定常流においては、単位体積あたりの圧力エネルギー、運動エネルギー、位置エネルギーの合計は一定に保たれる。具体的には、流速が高い場所では圧力が低く、その逆もまた然りである。
5. 空気力学における揚力の原理は、流体力学とどのように関連しているのでしょうか？
   • 回答： 航空機の翼に発生する揚力は、ベルヌーイの原理とニュートンの第三法則を用いて説明できます。空気が翼の上を流れる際、湾曲した上面では下面よりも速く流れるため、圧力差が生じます。この圧力差と、翼による空気の下方への偏向が組み合わさることで、上向きの力、すなわち揚力が発生するのです。
6. 流体力学における連続の式とは何ですか？
   • 回答： 連続の式は、定常流において、流れの断面積（A）とその速度（v）の積が流線に沿って一定に保たれることを述べている。数学的には、 A₁​v_1​=A₂​v₂​ここで、 A_1​ (NAIST) と A₂​ は断面積であり、 v₁​ (NAIST) と v_2​ これらは流線に沿った2点における速度である。
7. 流体力学において、レイノルズ数はどのような役割を果たしますか？
   • 回答： レイノルズ数は、流体力学において流れの様式（層流、遷移流、乱流）を予測するのに役立つ無次元量です。慣性力と粘性力の比として定義され、流体速度、代表長さ、流体特性などの要因に依存します。
8. 流体中を移動する物体には、抗力はどのように作用するのでしょうか？
   • 回答： 抗力は、流体中を移動する物体の動きに抵抗する力です。これは、流体の粘性抵抗と物体周囲の圧力差によって生じます。抗力の大きさや性質は、物体の形状、表面の粗さ、速度、流体の特性などの要因によって決まります。
9. ベンチュリ効果とは？
   • 回答： ベンチュリ効果とは、流体がパイプの狭窄部を通過する際に発生する流体圧力の低下を指します。狭窄部では流体の速度が増加するため（質量保存の法則による）、ベルヌーイの原理に従って圧力が低下します。
10. 流体がパイプや水路の狭い部分を流れるとき、なぜ流速が速くなるのでしょうか？

• 回答： この現象は質量保存の法則によって説明できる。定常流においては、パイプのある区間に入る流体の体積は、そこから出る流体の体積と等しくなければならない。パイプが狭い場合、同じ体積の流体が一定時間内に通過できるように、流体の速度を上げる必要がある。