連続の式に関する記事
蛇口をゆっくり開けて、水が出てくる速度に注意してみてください。次に、蛇口を閉めたときと閉めたときで、どちらの方が水の流れが速いか比べてみましょう。なぜそうなるのでしょうか？これを理解するには、連続の式を勉強してください。
効率化する
定常流では、例えば点Aにおける各流体粒子の速度は常に一定です。点Bを通過する際、流体粒子の速度は変化する可能性があります。しかし、点Bに到達すると、後方から来る流体粒子は前方から来る流体粒子と同じ速度で流れます。点Cなども同様です。流れ線は、点A、B、Cを結ぶ曲線です。
フローチューブ
流体の流れの各点を通る流線を記述することができます。定常的な流体の流れを想定すると、仮想的な表面積上で特定の角度を通過する流線が流れ管を形成します。流体粒子は交差することなく常に平行であり、流れ管は形状が変わらないパイプのように見えます。管の一方の端から流入した流体は、もう一方の端から流出します。
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デビット
流量とは、ある時間間隔で特定の断面を通過する流体の体積を指します。数学的には次のように表すことができます。
排出量＝流体量／時間間隔
Q=V/t
理解を深めるために、例を挙げます。例えば、流体がパイプの中を流れるとします。パイプは通常円筒形で、一定の断面積を持っています。また、パイプには長さもあります。
流体がパイプ内をLだけ流れるとき、パイプ内の流体の体積はV = AL（V = 流体の体積、A = 断面積、L = パイプの長さ）となります。流体がパイプ内をLだけ流れるには一定の時間が必要なので、流体の量は次のように表すことができます。
v = s / t = L / t → L = vt なので、上記の式は次のように変わります。
したがって、流体が一定の断面積と長さを持つパイプを一定期間流れるとき、流体の排出量（Q）は、断面積（A）に流体の流速（v）を掛けたものに等しくなります。
連続の式
下図に示すように、直径が異なるパイプ内の流体の流れについて検討してください。
この画像は、左から右への流体の流れを示しています（流体は直径の大きいパイプから直径の小さいパイプへと流れます）。点線は流線型を表しています。
A 1 = 大径管の断面積、A 2 = 小径管の断面積、v 1 = 大径管内の流体流速、v 2 = 小径管内の流体流速、L = 流体の移動距離。
定常流では、ある点における流体粒子の流速は、その点を通過する他の流体粒子の流速と等しくなります。また、流体の流れは交差しません（流れは平行です）。したがって、パイプの一方の端から流入する流体の質量は、もう一方の端から流出する流体の質量と等しくなければなりません。直径の大きい管に流入する流体の質量が一定であれば、直径の小さい管から流出する流体の質量も同じになります。
では、上のパイプの図を考えてみましょう。大径パイプと小径パイプについて確認してください。
ある一定時間内に、直径の大きいパイプ部分（A 1 ）を流体が流れ、L 1まで達する（L 1 = v 1 t）。この流体の体積は V 1 = A 1 L 1 = A 1 v 1 t である。同じ時間内に、別の流体が直径の小さいパイプ部分（A 2 ）を流れ、L 2まで達する（L 2 = v 2 t）。この流体の体積は V 2 = A 2 L 2 = A 2 v 2 t である。
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非圧縮性流体の連続の式
非圧縮性流体では、流体密度は通過するすべての点で常に一定です。断面積が A1 (大径パイプ) のパイプ内を一定時間内に流れる流体の質量は次のようになります。
同様に、断面積が A 2 (小径パイプ) のパイプ内を一定時間内に流れる流体の質量は次のようになります。
定常流では、流入する流体の質量と流出する流体の質量は同じなので、次のようになります。
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A1対1 = A2対2
したがって、非圧縮性流体における連続の式は次のようになります。
A 1 v 1 = A 2 v 2 — 式 1
A 1 = 断面積 1、A 2 = 断面積 2、v 1 = セクション 1 における流体流速、v 2 = セクション 2 における流体流速、A v = 体積流量 (V / t) = 流量。
式1は、パイプまたは流路管に沿った各点における流量が常に一定であることを示している。パイプの断面積が減少すると流体流量は増加し、パイプの断面積が大きくなると流体流量は減少する。
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蛇口の口の一部が閉じると、口の一部が閉じていない場合よりも水の流れが強くなります。これは、口の一部が閉じると蛇口の断面積が小さくなり、水の流量が増加するためです。しかし、蛇口の口の一部が閉じているかどうかに関わらず、水の流れに沿った各点での流量または流体の排出量は常に同じであることを知っておくことが重要です。では、流体の流量は何が変わるのでしょうか？
では、川の水の流れはどうでしょうか？川の深い部分は浅い部分よりも断面積が大きいため、深い部分の水の流れの速度は浅い部分の水の流れの速度よりも小さくなります。
圧縮性流体の連続の式
圧縮された流体の場合、流体の密度は必ずしも一定ではありません。つまり、流体の密度は圧縮されると変化します。流体が圧縮されていない場合は、流体の密度は方程式から除外されますが、この場合、流体の密度は方程式に含まれます。先に導出した方程式を参照して、圧縮された流体の方程式を導出してみましょう。
流入する流体の質量は流出する流体の質量と等しいので、次のようになる。
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
流体の流れの間隔は同じなので、それを除外できます。方程式は次のようになります。
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 式 2
これは圧縮された流体の式です。違いは流体の密度にあります。流体が圧縮されると密度が変化します。逆に、流体が圧縮されていない場合は密度は常に一定なので、式から密度を取り除くことができます。
例題１：
直径10cmのパイプを水が2m/sの速度で流れています。水の流量はどれくらいですか？
既知：
パイプの直径 = 10 cm
パイプの半径 (r) = 5 cm = 0.05 m
水の速度 (v) = 2 m/s
求む：デビット
解決策：
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
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例題１：
直径20cmのパイプが、直径10cmの別のパイプに接続されています。直径20cmのパイプ内の水の速度が4m/sである場合、直径10cmのパイプ内の水の速度はいくらですか？
既知：
直径1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v 1 = 4 m/s
直径2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0.05 m)
求む： v 1
ジャワブ：
Q1 = Q2
A1対1 = A2対2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m 2 )(4 m/s) = (0.0025 m 2 )(v 2 )
(0.04 m 3 /s) = (0.0025 m 2 )(v 2 )
v 2 = 16 m/s
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