תנועת קליע

מאמר על תנועת הקליע ובעיות לדוגמה עם פתרונות

מהירות התחלתית (v_o) ורכיב המהירות ההתחלתית (v_ox ו- v_oy)

גוף שתנועותיו הפרבוליות תמיד בעלות מהירות התחלתית. מכיוון שתנועה פרבולית היא שילוב של תנועות בכיוונים אופקי ואנכי, למהירות ההתחלתית יש גם רכיבים אופקיים ואנכיים.

אם העצם נע בצורה פרבולית כמו באיורים 1 ו-3, אזי המהירות ההתחלתית בכיוון האופקי (v _ox ) והמהירות ההתחלתית בכיוון האנכי (v _oy ) מחושבות באמצעות המשוואה:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

אם העצם נע בצורה פרבולית כמו באיור 2 אז v _o = v _ox (v _oy = 0)

מהירות (v_x ו- v_y) ומיקום (x ו-y)

המהירות בכיוונים אופקיים ואנכיים בפרק זמן מסוים מחושבת באמצעות המשוואה:

v _x = v _ox = קבוע ( תנועה ליניארית אחידה )

v _y = v _oy + gt או v _y ² = v _oy ² + 2 gh (תנועת נפילה חופשית)

מיקום העצמים בכיוונים האופקיים (x) והאנכיים (y) במרווח זמן מסוים מחושב באמצעות המשוואה:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

תוצאה של מהירות (v) ומיקום (h)

המהירות המתקבלת בפרק זמן מסוים מחושבת באמצעות המשוואה:

כיוון האובייקטים בטווח זמן מסוים מחושב באמצעות המשוואה:

הערות:

1. הרכיב האופקי של תנועה פרבולית נחשב לתנועה ליניארית אחידה, לכן vox = vx תמיד קבוע

2. הרכיב האנכי של תנועה פרבולית נתפס כתנועת נפילה חופשית, כך שאם העצם נע פרבולית, כמו באיורים 1 ו-3, הרכיב האנכי של מהירות העצם בגובה המרבי הוא אפס (v _y = 0). אם זורקים גולה זקופה כלפי מעלה בגובה מרבי, העצם נח לרגע (v _y = 0) לפני שהוא פונה כלפי מטה. לכן, מהירות העצם המניע את הפרבולה בגובה המרבי = v _x = v _ox

3. אם העצם נע בצורה פרבולית כפי שמוצג באיור 2, הרכיב האנכי של התנועה הפרבולית נתפס כתנועת נפילה חופשית. אם העצם נע בצורה פרבולית כפי שמוצג באיורים 1 ו-3, אז הרכיב האנכי של התנועה הפרבולית נתפס כתנועה אנכית כלפי מעלה.

בעיות לדוגמה:

1. כדור נורה בכיוון אופקי במהירות התחלתית של 20 מטר לשנייה. אם הרובה נמצא בגובה 5 מטרים מעל הקרקע, קבע:

(א) זמן באוויר

(ב) הגובה המרבי

(ג) המרחק האופקי

(ד) מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע

פתרון:

תנועה בכיוון האופקי מנותחת כמו תנועה ליניארית אחידה, בעוד שתנועה בכיוון האנכי מנותחת כמו תנועה של נפילה חופשית.

ידוע:

v _ox = 20 מטר/שנייה, v _oy = 0 מטר/שנייה, h = 5 מטר, g = 9.8 מטר/ ^שנייה²

א) זמן באוויר

הפתרון הוא קביעת מרווח הזמן (t) בתנועת הנפילה החופשית.

ידוע: v _oy = 0 מטר/שנייה, h = 5 מטר, g = 9.8 מטר/שנייה ²

מבוקש: t

ב) הגובה המרבי

גובה מקסימלי = h = 5 מטרים.

ג) מרחק אופקי (ד)

הפתרון הוא כמו קביעת המרחק בתנועה ליניארית אחידה

ידוע: v _ox = 20 מטר/שנייה, t = שנייה אחת

מבוקש: ד

ד = vt

d = (20 מטר/שנייה)(שנייה אחת) = 20 מטר

ד) מהירות כאשר הכדור פוגע בקרקע

v _tx = v _ox = 20 מטר/שנייה

v _ty = ?

ראשית, נחשב את המהירות הסופית בכיוון האנכי (vty). הפתרון דומה לקביעת המהירות הסופית של תנועת הנפילה החופשית.

ידוע: v _oy = 0, g = 9.8 מטר/שנייה ² , t = 1 שנייה

מבוקש: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

v _t = (9.8 מטר/שנייה ² )(1 שנייה)

v _t = 9.8 מטר/שנייה

מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע:

כיוון הכדור:

מכיוון ש-v _tx נמצא בכיוון ציר ה-x החיובי (לימין) ו-v _ty נמצא בכיוון ציר ה-y השלילי (למטה),

כיוון הכדור כשהוא פוגע בקרקע הוא -26.1 ^מעלות לציר ה-x החיובי (ראה איור למטה).

2. התותח ירה כדור בזווית של 30 ^מעלות לאופק ובמהירות של 60 מטר לשנייה. קבע:

(א) הגובה המרבי

(ב) מהירות הכדור בגובה מרבי

(ג) זמן באוויר

(ד) המרחק האופקי

(ה) מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע. נניח שהקרקע שטוחה. 🙂

פתרון:

תנועה בכיוון האופקי מנותחת כמו תנועה ליניארית אחידה, תנועה בכיוון האנכי מנותחת כמו תנועה אנכית כלפי מעלה.

ידוע: v ₌ 60 מטר/שנייה, תטא = 30 ^o.

בהתבסס על נתונים ידועים, ראשית נחשב את הרכיבים האנכיים (v _oy ) והאופקיים (v _ox ) של המהירות ההתחלתית (v _o ).

א) הגובה המרבי (h)

הפתרון דומה לקביעת הגובה המקסימלי בתנועה אנכית כלפי מעלה.

ידוע:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

א) גובה מקסימלי (ש)

הפתרון דומה לקביעת הגובה המקסימלי בתנועה אנכית כלפי מעלה.

ידוע:

v _oy = 30 מטר/שנייה (זוהי המהירות ההתחלתית של הקליע)

v _ty = 0 מטר/שנייה (בגובה המרבי, המהירות האנכית של הקליע = 0 מטר/שנייה. זוהי המהירות הסופית.)

g = – 9.8 מטר/שנייה ²

מבוקש: ח

vt² = _v² ^{+ 2} gh_​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) שעות

0 = 900 – 19.6 שעות

900 = 19.6 שעות

h = 900/19.6

h = 45.9 מטרים

הגובה המקסימלי שהשיג הכדור = 45.9 מטרים.

ב) המהירות בגובה מקסימלי

בגובה המרבי, המהירות בכיוון האנכי = 0 מטר/שנייה. בגובה המרבי, המהירות היא רק בכיוון האופקי. המהירות בכיוון האופקי בגובה המרבי שווה למהירות ההתחלתית בכיוון האופקי, שהיא 52.2 מטר/שנייה. כיוון המהירות בכיוון האופקי הוא תמיד קבוע, כלומר, בכיוון ציר ה-x החיובי (אם תנועת העצם מתוארת בתרשים לעיל).

ג) זמן באוויר

הפתרון דומה לקביעת מרווח הזמן (t) בדיון על התנועה האנכית כלפי מעלה.

ידוע:

v _oy = 30 מטר/שנייה (זוהי המהירות ההתחלתית של הקליע בכיוון האנכי)

g = – 9.8 מטר/שנייה ²

h = 0 מטר (כאשר הכדור חוזר לקרקע, תזוזה של הכדור בכיוון האנכי = 0 מטר)

מבוקש: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 מטר/שנייה ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 טון

t = 30 / 4.9

t = 6.12 שניות

זמן באוויר = 6.12 שניות

ד) מרחק אופקי (ד)

הפתרון דומה לקביעת המרחק (d) בתנועה ליניארית אחידה.

ידוע:

v _ox = 52.2 מטר/שנייה

t = 6.12 שניות

מבוקש: ד

d = vt = (52.2 מטר/שנייה)(6.12 שניות) = 319.5 מטר

ה) מהירות כאשר הכדור פוגע בקרקע

v _tx = v _ox = 52.2 מטר/שנייה

v _ty = ?

ראשית, נחשב את המהירות הסופית בכיוון האנכי (v _ty ). הפתרון הוא לקבוע את המהירות הסופית בתנועה אנכית כלפי מעלה.

רצוי: v _oy = 30 מטר/שנייה, g = -9.8 מטר/שנייה ² , t = 6.12 שניות

מבוקש: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 מטר/שנייה

סימן שלילי מציין שכיוון המהירות הסופית הוא כלפי מטה. שימו לב שהמהירות ההתחלתית בכיוון האנכי שווה למהירות הסופית בכיוון האנכי.

מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע:

כיוון הכדור:

מכיוון ש-v _tx נמצא בכיוון ציר ה-x החיובי (לימין) ו-vty נמצא בכיוון ציר ה-y השלילי (למטה),

כיוון מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע הוא -30 ^מעלות סביב ציר ה-x החיובי (ראה איור למטה).

3. כדור נזרק מקצה בניין בגובה 50 מטר במהירות התחלתית של 10 מטר לשנייה. אם הכדור נזרק בזווית של 30 מעלות סביב הקו האופקי, קבע:

(א) מרווח הזמן בו הכדור מגיע לקרקע

(ב) מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע

(ג) המרחק האופקי אליו ניתן להגיע הכדור נמדד מקצה הבניין

(ד) הגובה המקסימלי אליו מגיע הכדור

פתרון:

ראשית, נחשב את הרכיב האנכי (v _oy ) ואת הרכיב האופקי (v _ox ) של המהירות ההתחלתית (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 מטר/שנייה)(0.87) = 8.7 מטר/שנייה

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 מטר/שנייה)(0.5) = 5 מטר/שנייה

א) מרווח הזמן בו הכדור מגיע לקרקע

הפתרון דומה לקביעת מרווח הזמן (t) בתנועה אנכית כלפי מעלה. גודל הווקטור שכיוונו כלפי מעלה נבחר להיות חיובי, גודל הווקטור שכיוונו כלפי מטה נבחר להיות שלילי. מיקום הכדור בו הוא נזרק נבחר כנקודת ייחוס. h שלילי מכיוון שפני הקרקע נמצאים מתחת לנקודת הייחוס, g שלילי מכיוון שכיוון תאוצת הכבידה הוא כלפי מטה.

ידוע:

v _oy = 5 מטר/שנייה, h = – 5 מטר, g = – 9.8 מטר/שנייה ²

מבוקש: t

h = v _o t + ½ ^gt²

5- = 5 t + ½ (9.8-) ^t²

5- = 5 טון – 4.9 טון ²

4.9- ^t² + 5 t + 5 = 0

השתמש בנוסחה הריבועית:

זמן באוויר = מרווח הזמן מאז שהכדור נזרק עד שהגיע לקרקע = 1.64 שניות.

ב) מהירות הכדור כשהוא פוגע במשטח הקרקע

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 מטר/שנייה

v _ty = ?

ראשית, נחשב את המהירות הסופית בכיוון האנכי (v _ty ). הפתרון דומה לקביעת המהירות הסופית בתנועה אנכית כלפי מעלה.

ידוע: v _oy = 5 מטר/שנייה, g = -9.8 מטר/שנייה ² , t = 1.64 שניות

מבוקש: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 מטר/שנייה

הסימן השלילי מציין שכיוון המהירות הסופית הוא כלפי מטה.

מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע:

כיוון מהירות הכדור = כיוון תנועת הכדור כשהוא פוגע בקרקע:

מהירות הכדור כשהוא פוגע בקרקע:

מכיוון ש-vtx נמצא בכיוון ציר ה-x החיובי (לימין) ו-vty נמצא בכיוון ציר ה-y השלילי (למטה),

כיוון הכדור כשהוא פוגע בקרקע הוא -52° סביב ציר ה-x החיובי (ראה איור למטה).

ג) המרחק האופקי אליו ניתן להגיע הכדור נמדד מקצה הבניין

הפתרון דומה לקביעת המרחק שעברנו (d) בתנועה ליניארית אחידה.

ידוע: t = 1.64 שניות, v _x = 8.7 מטר/שנייה

מבוקש: ד

d = vt = (8.7 מטר/שנייה)(1.64 שניות) = 14.3 מטר

ד) הגובה המקסימלי אליו מגיע הכדור

ידוע: v _oy = 5 מטר/שנייה, v _ty = 0 מטר/שנייה ( הרכיב האנכי של המהירות בגובה המרבי = 0 מטר/שנייה), g = -9.8 מטר/שנייה ².

מבוקש: ח

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 מטר/שנייה = (5 מטר/שנייה) ^² + 2(-9.8 מטר/שנייה² ⁾ (שעה)

0 מטר/שנייה = 25 (מטר/שנייה) ^² + (-19.6 מטר/שנייה² ⁾ (שעה)

25 (מטר/שנייה) ^² = -19.6 מטר/שנייה² (שעה)

שעה = 25 (מטר/שנייה) ^² : -19.6 מטר/שנייה² ⁼ 1.3 מטרים

הגובה המקסימלי אליו מגיע הכדור = 1.3 מטרים מעל ראש הבניין = 1.3 מטר + 50 מטר = 51.3 מטרים מעל פני הקרקע.