מאמר על חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון
במסגרת חוק ניוטון, נלמד שכל גוף שנמצא במנוחה בתחילה הופך לתנועה, או כל גוף שנע בתחילה הופך למנוחה אם יש "משהו" שמזיז או עוצר את הגוף. משהו נקרא "כוח". מדוע הפרי נופל או נע לעבר פני האדמה לאחר שהוא משתחרר מהגבעול? חוק ניוטון קובע שאם הפרי נע, חייב להיות כוח הפועל על הפרי. הכוח שגורם לפרי או לכל גוף ליפול לעבר פני האדמה נקרא כוח הכבידה.
בעיית נפילת עצמים הכרוכים בכוח הכבידה, אותה אתם לומדים כעת, נחקרה ונחשפה על ידי אייזק ניוטון, מדען בריטי. ניוטון חשב שזו בעיה קיימת עוד מיוון העתיקה. היוונים נחקרו שתי סוגיות בסיסיות הרבה לפני שנולד. השאלה שתמיד נשאלת היא מדוע דברים תמיד נופלים אל פני כדור הארץ וכיצד כוכבי הלכת נעים, כולל השמש והירח. היוונים באותה תקופה ראו את הדאגה מחפצים נופלים ותנועות כוכבי לכת כשני דברים שונים. כך, זה נמשך עד זמנו של ניוטון. לכן, מה שיצר ניוטון נבנה על עבודתם של אנשים לפניו. מה שמייחד את ניוטון ואת האנשים שלפניו הוא שניוטון ראה את הקושי של נפילת עצמים ותנועת כוכבי לכת הנגרמת על ידי דבר אחד בלבד וחייב לציית לאותו חוק. במילים אחרות, ניוטון טען שהכוח שגורם לחפצים ליפול אל פני הקרקע הוא אותו כוח, שגורם לירח לנוע סביב כדור הארץ.
הקשר בין כוח הכבידה למרחק ולמסה
כאשר ניסח את חוק הכבידה, ניוטון השווה את תאוצת הפרי הנופל ליד פני כדור הארץ לתאוצה הצנטריפטלית של הירח כשהוא מקיף את כדור הארץ. לדברי ניוטון, התאוצה שחווים פירות נופלים והתאוצה הצנטריפטלית שחווים הירח כשהוא מקיף את כדור הארץ נגרמות על ידי אותו כוח, כוח הכבידה של כדור הארץ. ניוטון טוען שתאוצת הירח כשהוא מקיף את כדור הארץ פרופורציונלית ל-1/r2 כאשר r = המרחק בין מרכז כדור הארץ למרכז הירח = 3.84 x 10⁶ מטר. תאוצת הפרי הנופל פרופורציונלית ל-1/R⁶ , כאשר R = המרחק בין מרכז כדור הארץ למרכז הפרי. הפרי נמצא ליד פני כדור הארץ כך ש-R = R⁻F , כאשר R⁻E = רדיוס כדור הארץ = 6.37 x 10⁶ מטר . לפיכך, ההשוואה בין תאוצת הירח (a⁻M ) לתאוצת הפרי (g):
אז, התאוצה הצנטריפטלית של הירח:
א M = (2.75 x 10-4 ) (g) = (2.75 x 10-4 ) (9.8 מטר/שנייה 2 ) = 2.7 x 10-3 מטר /שנייה 2
ניוטון חישב גם את התאוצה הצנטריפטלית של הירח בצורה שונה. ידוע שתקופת הסיבוב סביב הירח, או הזמן הנדרש לסיבוב אחד בחודש, = 27.3 ימים = 2.36 x 106 שניות . אורך המסלול שעובר הירח = היקף מסלול הירח = 2 (3.14) (r) כאשר r = המרחק בין מרכז הירח למרכז כדור הארץ. התאוצה הצנטריפטלית של הירח:
התאוצה הצנטריפטלית של הירח שהתקבלה בחישוב זה כמעט זהה לתוצאות החישובים הקודמים. החוק השני של ניוטון קובע כי כוח פרופורציונלי לתאוצה (F = ma). החישובים לעיל מראים כי התאוצה פרופורציונלית ל-1/r² או שהתאוצה ביחס הפוך לריבוע המרחק (r² ) . לפיכך, ניתן להסיק כי כוח הכבידה פרופורציונלי ל-1/r² או שכוח הכבידה ביחס הפוך לריבוע המרחק. מבחינה מתמטית:
בנוסף לחקירת הקשר בין כוחות כבידה למרחק בין עצמים, ניוטון חקר גם את הקשר בין כוחות הכבידה למסת העצמים. החוק השלישי של ניוטון קובע שאם קיים כוח פעולה, קיים כוח תגובה. לכוח הפעולה ולכוח התגובה יש את אותו גודל וכיוון הפוך (F-action = -F response, סימן שלילי מציין שכיוון הכוח הפוך). אם כוח הכבידה של כדור הארץ מושך את הפרי, גם כוח הכבידה של הפרי מושך את כדור הארץ. כוח הכבידה של כדור הארץ פועל על הפרי, בעוד שכוח הכבידה של הפרי פועל על כדור הארץ. באופן דומה, כוח הכבידה בין כדור הארץ לירח. כוח הכבידה של כדור הארץ עם כוח הכבידה של הפרי או כוח הכבידה עם כוח הכבידה של הירח הוא כוח תגובה. מכיוון שכוח פרופורציונלי למסה (F = ma) ומכיוון שכוח הפעולה וכוח התגובה הם בעלי אותו גודל, כוח הכבידה בין שני עצמים חייב להיות פרופורציונלי למסת שני העצמים. מבחינה מתמטית:
חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון
חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון קובע שכל גוף ביקום מושך זה את זה, כאשר המשיכה בין גופים היא פרופורציונלית למסה שלהם וביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם. אם שני גופים בעלי מסות של m1 ו- m2 מופרדים במרחק r, אז גודל כוח הכבידה בין שני הגופים הוא:
G = קבוע כבידה (6.673 x 10-11 ניוטון מטר 2 / ק"ג 2 ). G נמדד בניסוי.
F12 הוא כוח הכבידה המופעל על m1 בשעה מ'2 בעוד ש-F21 הוא כוח הכבידה המופעל על m2 בשעה מ'1. F12 עובד ב-m2 ומושך את מ'2 לכיוון מ'1, בעוד ש-F21 עובד ב-m1 ומושך את מ'1 לכיוון מ'2. F21 ו- F12 בעלי גודל זהה ובכיוון הפוך. לכן F21 ו- F12 הם זוגות של פעולה-תגובה. r הוא המרחק בין מרכזי m1 ומרכז מ'2מרכז מ'1 ממוקם במרכז האובייקט, כמו גם מרכז m2אם r מצוין בקילומטרים, אז הוא מומר תחילה למטרים (יחידת מערכת בינלאומית).
בעיה לדוגמה 1 (כוח כבידה בין 2 חלקיקים)
חשב את כוח הכבידה בין שני תלמידים, כל אחד עם מסה של 30 ק"ג ו-40 ק"ג, ובמרחק של מטר אחד.
פתרון
גודל כוח הכבידה כה קטן ששני העצמים אינם נמשכים זה לזה.
בעיה לדוגמה 2 (כוח כבידה בין 2 חלקיקים)
חשב את כוח הכבידה הכולל שחווה m2 עקב כוח הכבידה המופעל על m1 ב-m2 וכוח הכבידה המופעל על m3 בשעה מ'2המרחק בין המרכזים מ'1 ו מ2 הוא 2 מטרים והמרחק בין המרכזים m2 ו מ3 הוא 1 מטר.
פתרון:
כוח הכבידה של m1 ב- m2 :
כוח הכבידה של m³ ב- m² :
כוח הכבידה הכולל שחווה מ"ר :
סה"כ Fg = (6.673 – 1.668) x 10-11 N = 5.005 x 10-11 N. באיור למטה, חץ F 32 ארוך יותר מחץ F 12. לכן, כיוון כוח הכבידה הכולל הוא m 3.
בעיה לדוגמה 3 (כוח הכבידה הכולל = אפס):
שני כדורים A ו-B, כל אחד עם מסה של m ו-5 m. לשני הכדורים יש קוטר זהה. אם כוח הכבידה בנקודה בין כדור A לכדור B שווה לאפס, אז המרחק של נקודה זו מפני השטח של כדור A הוא ...
פתרון:
קוטר הכדורים A ו-B הוא מטר אחד, לכן רדיוס הכדורים A ו-B הוא 0.5 מטרים. המרחק בין מרכזי הכדורים A ו-B הוא 6 מטרים.
אנו ממקמים חלקיק בדיקה עם מסה m בנקודה הממוקמת בין כדור A לכדור B.
F A = כוח הכבידה שמפעיל כדור A על חלקיק הבדיקה (כיוון כוח הכבידה לכיוון כדור A).
F B = כוח הכבידה שמפעיל כדור B על חלקיק הבדיקה (כיוון כוח הכבידה לכיוון כדור B).
כך שכוח הכבידה שחווה חלקיק הבדיקה הוא אפס, אז F A = F B (ל-F A ול-F B כיוונים מנוגדים).
השתמש בנוסחה הריבועית כדי לקבוע את הערך של x
אז x = 4.88 מטרים
4.88 מטר – 0.5 מטר = 4.38 מטר. כוח הכבידה הוא אפס, 4.38 מטרים מפני השטח של כדור A. מה המרחק מפני השטח של כדור B?
מדידת קבוע הכבידה האוניברסלי (G)
כדי לגלות את מסת הגוף שלך, אתה רק צריך לעמוד על משקל ואז לקרוא את קנה המידה של מסת הגוף שלך. קל למדוד את מסת הגוף שלך. ובכן, איך מודדים את מסת כדור הארץ? אין מאזניים ענקיים המשמשים למדידת מסת כדור הארץ. אם אין מאזניים, איננו יכולים למדוד את מסת כדור הארץ באמצעות מאזניים אלה מכיוון שכדור הארץ תמיד נע בכל עת. מסת כדור הארץ ידועה באמצעות חישובים לאחר מדידת קבוע הכבידה האוניברסלי (G) בניסוי.
מִשׁקָל
משקלו של גוף הוא כוח הכבידה הכולל הפועל עליו עקב כוח הכבידה שמפעילים כל העצמים ביקום עליו. אם הגוף ממוקם מעל פני כדור הארץ או מעל פני כדור הארץ, אז נתעלם מכוח הכבידה שנישא על ידי עצמים אחרים ביקום. נתייחס למשקלו של גוף ככוח הכבידה של כדור הארץ הפועל עליו.
w = משקל העצם, m = מסת כדור הארץ, m = מסת העצם, R = רדיוס כדור הארץ.
אם עצם נמצא h מעל פני כדור הארץ (עצמים נמצאים מעל גובה מסוים כמו מישור, למשל) או עצמים המרוחקים r מעל פני כדור הארץ כאשר r = R E + h,
אז כוח הכבידה הפועל על העצם או משקל העצם הוא:
משוואה זו מראה שמשקלו של גוף יורד בריבוע המרחק ממרכז כדור הארץ. לכן, ככל שמתרחקים יותר מפני השטח של כדור הארץ, משקלם של העצמים יורד.
תאוצת הכבידה
בהתבסס על החוק השני של ניוטון, אנו יודעים שמשקלו של גוף הוא הכוח שגורם לו לחוות תאוצת נפילה חופשית (תאוצת כבידה):
w = מ"ג
חברו את שתי המשוואות w = F g ו- w = mg :
משוואה זו מסבירה את תאוצת הכבידה שחווה גוף בגובה מסוים מעל פני כדור הארץ. באמצעות משוואה זו ידוע שתאוצת הכבידה פוחתת עם עליית הגובה ואינה תלויה במסת העצמים הנופלים בחופשיות.
תאוצת הכבידה של עצמים הממוקמים מעל פני כדור הארץ או מעל פני הקרקע:
ניתן לחשב את מסת כדור הארץ על ידי שינוי המשוואה לעיל ל:
חשב את מסת כדור הארץ באמצעות המשוואה הזו!
בעיות ופתרונות
1. שני גופים, m1 ו- m2 , כל אחד עם מסה של 6 ק"ג ו-9 ק"ג, מופרדים זה מזה במרחק של 5 ס"מ. גוף m3 = 1 ק"ג ממוקם בין השניים. אם כוח הכבידה שפועל על m3 = 0, אז המרחק m3 מ- m1 הוא ...
כוח הכבידה = 0 אם F13 = F23.
א = -1, ב = -20, ג = 50
השתמש בנוסחה ריבועית:
התוצאות לא יכולות להיות שליליות. לכן x = r₁³ = המרחק m³ ו- m³ = 2.25 ס"מ.
[IRP]
2. שני גופים A ו-B נמצאים במרחק של 60 ס"מ זה מזה. מסה A היא 24 ק"ג ומסה B היא 10 ק"ג. היכן נמצאת נקודה בעלת שדה כבידה חזק השווה לאפס?
שדה כבידה = 0 אם gA = gB.
= 7
b = -1440
c = 43200
השתמש בנוסחה ריבועית:
x = r A = 169.25 ס"מ או
x = r A = 36.46 ס"מ
[IRP]
