מומנט אינרציה של חלקיקים - בעיות ופתרונות

1. שני כדורים המחוברים זה לזה באמצעות מוט, כפי שמוצג באיור למטה. התעלמו ממסת המוט . מסת הכדור P היא 600 גרם ומסת הכדור Q היא 400 גרם. מהו מומנט האינרציה של המערכת סביב AB?

ידוע:

ציר הסיבוב הוא AB. מומנט אינרציה של חלקיקים - בעיות ופתרונות 1

m _p = 600 גרם = 0.6 ק"ג, m _q = 400 גרם = 0.4 ק"ג

rp = 20 ס"מ = 0.2 מטר, rq ₌ 50 ס"מ = 0.5 _מטר

מבוקש: מומנט האינרציה של המערכת

פתרון:

אני = m/ ^p_/_rp² + m ^/_q / _rq²

אני = (0.6 ק"ג)(0.2 מ"ר) ^² + (0.4 ק"ג)(0.5 מ"ר) ^²

אני = (0.6 ק"ג)(0.04 מ"ר ⁾ + (0.4 ק"ג)(0.25 ^מ"ר )

אני = 0.024 ק"ג מ"ר ⁺ 0.1 ק"ג ^מ"ר

אני = 0.124 ק"ג ^מ"ר

2. מוט AB עם מסה של 2 ק"ג מסובב סביב נקודה A, מומנט האינרציה של המוט הוא 8 ק"ג מ"ר ^. אם הוא מסובב סביב נקודה O (AO = OB), מהו מומנט האינרציה של המוט?

ידוע: מומנט אינרציה של חלקיקים - בעיות ופתרונות 2

מסת המוט AB (מ') = 2 ק"ג

אם מסובבים סביב נקודה A כך שרדיוס הסיבוב (r) = אורך AB = r, אז מומנט האינרציה (I) = 8 ק"ג ^מ"ר

מבוקש: אם מסובבים סביב נקודה O כך שרדיוס הסיבוב (r) = אורך AO = אורך OB = 1/2 r אז מהו מומנט האינרציה של המוט.

פתרון:

אני = מר ²

8 ק"ג מ"ר ⁼ (2 ק"ג) ^מ"ר

8 מטר² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^מ"ר / ²

r² = ⁴^מ"ר

r = 2 מטרים

אם מסובבים סביב נקודה O כך ש-½ r = 1 מטר, אז מומנט האינרציה:

אני = mr² ⁼ (2 ק"ג)(1 מ"ר) ^² = (2 ק"ג)(1 מ"ר ⁾ = 2 ק"ג ^מ"ר

3. שני כדורים המחוברים זה לזה באמצעות מוט כפי שמוצג באיור למטה. התעלמו ממסת המוט. מהו מומנט האינרציה של המערכת.

ידוע:

מסת הכדור A (מ"ר_A) = 200 גרם = 0.2 ק"ג מומנט אינרציה של חלקיקים - בעיות ופתרונות 3

מסת הכדור B (מ² _B ) = 400 גרם = 0.4 ק"ג

המרחק בין כדור A לציר הסיבוב (rA ₎ = 0

המרחק בין כדור B לציר הסיבוב (rB ₎ = 25 ס"מ = 0.25 מטר

מבוקש: מומנט האינרציה של המערכת

פתרון:

מומנט האינרציה של כדור A:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

מומנט האינרציה של כדור B:

IB = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 ^ק"ג_מ"ר

מומנט האינרציה של המערכת:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 ק"ג מ"ר ⁼ 25 x ^10-3 ק"ג ^מ"ר

4. ארבעה חלקיקים בעלי מסות שונות, המוצגים באיור למטה. קבעו את מומנט האינרציה של המערכת סביב הקו האופקי P.

פתרון

ציר הסיבוב הוא הקו האופקי P.

ידוע: מומנט אינרציה של חלקיקים - בעיות ופתרונות 4

מסת החלקיק A (m _A ) = m

מסת החלקיק B (m²B ₎ = 2m

מסת החלקיק C (m²C ₎ = 3m

מעבר חלקיקים D (m _D ) = 4m

המרחק בין חלקיק A לציר הסיבוב (r _A ) = b

המרחק בין חלקיק B לציר הסיבוב (rB ₎ = b

המרחק בין חלקיק C לציר הסיבוב (rC ₎ = 2b

המרחק בין חלקיק D לציר הסיבוב (rD ₎ = 2b

מבוקש: מומנט האינרציה של המערכת סביב הקו האופקי P

פתרון:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

אני = 31 מגה-בייט ²

5. ארבעה חלקיקים המחוברים זה לזה באמצעות מוט. התעלמו ממסת המוט. קבעו את מומנט האינרציה סביב ציר הסיבוב דרך החלקיקים m1 _ו- m2 _, כפי שמוצג באיור למטה.

ידוע

מסת חלקיק 1 (מ"ר₁) = 1/4 ק"ג מומנט אינרציה של חלקיקים - בעיות ופתרונות 5

מסת חלקיק 2 (מ"ר ₎ = 1/2 ק"ג

מסת חלקיק 3 (מ"ר ₎ = 1/3 ק"ג

מסת חלקיק 4 (מ"ר ₎ = 1/4 ק"ג

המרחק בין חלקיק 1 לציר הסיבוב (r² ₎ = 0

המרחק בין חלקיק 2 לציר הסיבוב (r² ₎ = 0

המרחק בין חלקיק 3 לציר הסיבוב (r3 ₎ = 10 ס"מ = 10/100 מטר = 1/10 מטר

המרחק בין חלקיק 4 לציר הסיבוב (r4 ₎ = 10 ס"מ = 10/100 מטר = 1/10 מטר

מבוקש: רגע האינרציה

פתרון:

אני = m ₁ r ₁² + m ₂ r ₂² + m ₃ r ₃² + m ₄ r ₄²

אני = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

אני = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

אני = 1/400 + 1/400

אני = 2/400

אני = 1/200 ^ק"ג.מ"ר

מהו מומנט האינרציה של חלקיק?
- תשובהעבור חלקיק בודד בעל מסה $m$ במרחק $r$ מציר הסיבוב, מומנט האינרציה שלו $I$ ניתן ע"י $I = m \times r^{2}$ .
מדוע מומנט האינרציה מכונה לעתים קרובות "האנלוג הסיבובי" של מסה?
- תשובהכשם שמסה היא מדד להתנגדות של גוף לשינויים בתנועתו התזזית (עקב החוק השני של ניוטון), מומנט האינרציה הוא מדד להתנגדות של גוף לשינויים בתנועתו הסיבובית.
כיצד שינוי המרחק של חלקיק מציר הסיבוב שלו משפיע על מומנט האינרציה שלו?
- תשובהמומנט האינרציה פרופורציונלי לריבוע המרחק מציר הסיבוב. אם נכפיל את המרחק, מומנט האינרציה יגדל פי ארבעה.
מדוע ריבוע המרחק (r) הוא²) המשמש בנוסחה עבור מומנט האינרציה במקום רק את המרחק?
- תשובהריבוע המרחק משמש בגלל האופן שבו אנרגיה קינטית פועלת בסיבוב. בתנועה סיבובית, כל חלקיק של גוף תורם לאנרגיה הקינטית הסיבובית בהתבסס הן על המסה שלו והן על המרחק שלו מהציר בריבוע.
כיצד משתנה מומנט האינרציה של חלקיק אם המסה שלו משולשת תוך שמירה על מרחק קבוע מהציר?
- תשובהאם המסה משולשת והמרחק נשמר קבוע, גם מומנט האינרציה ישתלש מכיוון שהוא ביחס ישר למסה.
האם לחלקיק יכול להיות מומנט אינרציה של אפס? אם כן, באילו תנאים?
- תשובהכן, לחלקיק יהיה מומנט אינרציה של אפס אם הוא ממוקם ישירות על ציר הסיבוב, מה שהופך את המרחק שלו $r$ מהציר השווה לאפס.
מדוע לעצמים שונים בעלי מסה וגודל זהים יש מומנטי אינרציה שונים כאשר הם מסתובבים סביב צירים שונים?
- תשובהפיזור המסה סביב ציר הסיבוב קובע את מומנט האינרציה. גם אם לשני עצמים יש מסה וגודל זהים, פיזור המסה שלהם ביחס לציר הסיבוב עשוי להיות שונה, מה שמוביל למומנטים שונים של אינרציה.
האם מומנט האינרציה הוא גודל סקלרי או וקטורי?
- תשובהמומנט האינרציה הוא גודל סקלרי. עם זאת, עבור גופים קשיחים בעלי צורות מורכבות וצירי סיבוב מרובים, הוא מיוצג על ידי טנזור.
אם שני חלקיקים, כל אחד בעל מסה $m$ , ממוקמים במרחקים $r_{1}$ ו $r_{2}$ מציר הסיבוב, מהו מומנט האינרציה המשולב?
- תשובהמומנט האינרציה הוא אוסף עבור חלקיקים נפרדים. לכן, מומנט האינרציה המשולב $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
כיצד מומנט האינרציה קשור לשימור תנע זוויתי?
- תשובהתנע זוויתי $L$ הוא מכפלת מומנט האינרציה $I$ ומהירות זוויתית $ω$ , המיוצג על ידי המשוואה $L = I \times ω$ אם לא פועלים מומנטים חיצוניים על מערכת, התנע הזוויתי יישאר קבוע. משמעות הדבר היא שאם מומנט האינרציה משתנה (כמו אצל מחליק אמנותי המושך את זרועותיו), המהירות הזוויתית חייבת להתאים את עצמה כדי לשמור על המכפלה קבועה.