תנועת נפילה חופשית

מאמר על תנועת הנפילה החופשית

בחיי היומיום, אנו רואים לעתים קרובות עצמים שחווים תנועה של נפילה חופשית, למשל, תנועת פרי הנופל מעץ, תנועת עצמים הנופלים או נופלים מגובה מסוים. מדוע עצמים חווים תנועה של נפילה חופשית? אם מסתכלים עליהם במבט חטוף, העצם חווה נפילה חופשית כאילו יש לו מהירות קבועה, או במילים אחרות העצם אינו מאיץ. העובדה שזה קורה, כל עצם שנופל בחופשיות חווה תאוצה קבועה. סיבה זו גורמת לתנועת נפילה חופשית, כולל הדוגמה של תנועה לינארית לא אחידה. כיצד להוכיח שעצמים שחווים נפילה חופשית חווים תאוצה קבועה או עלייה במהירות שלו?

תקעו שני מסמרים באדמה והניחו אבן מגובה שונה על כל מסמר. תראו שהמסמרים שנדבקו לאבנים בגובה גבוה יותר תקועים עמוק יותר מהמסמרים האחרים. ככל שהאבן נמצאת גבוה יותר מפני השטח, כך מהירות האבן כשהיא פוגעת בקרקע גדולה יותר, כך שהיא לוחצת על המסמר עמוק יותר.

בעבר, תנועתם של עצמים הנופלים לקרקע הייתה נושא מעניין מאוד בפילוסופיה הטבעית. אריסטו, פילוסוף, אמר פעם שעצמים בעלי מסה גדולה יותר נופלים מהר יותר מחפצים קלים יותר. דעתו של אריסטו השפיעה על דעותיהם של אנשים שחיו לפני זמנו של גלילאו, שסברו שעצמים בעלי מסה גדולה יותר נופלים מהר יותר מחפצים קלים יותר וכי מהירותם של עצמים נופלים פרופורציונלית למסת העצם. אולי גם אתם חושבים כך לפני שלמדתם נושא זה. לדוגמה, אנו מפילים פיסת נייר ואבן מאותו גובה. התוצאות שראינו מצביעות על כך שהאבן נגעה תחילה במשטח הקרקע או הרצפה מאשר בנייר. כעת, בואו נפיל שתי אבנים מאותו גובה, כאשר אבן אחת גדולה מהשנייה. שתי האבנים נגעו במשטח הקרקע בו זמנית, בהשוואה לאבן ולנייר שהפלנו קודם לכן. אנו יכולים גם להתנסות בהפלת אבנים ונייר בצורת גושים.

מה משפיע על תנועת הסלעים או הנייר הנופלים? כוח חיכוך האוויר! התנגדות האוויר או החיכוך משפיעים רבות על תנועת הנפילה החופשית. גלילאו שיער שכל העצמים ייפלו באותה תאוצה אם אין אוויר או מכשולים אחרים. גלילאו טען שכל העצמים, כבדים או קלים, נופלים באותה תאוצה, לפחות אם אין אוויר. גלילאו האמין שאוויר משמש כמכשול לעצמים קלים במיוחד בעלי שטח גדול. אך במצבים רבים, ניתן להתעלם מהתנגדות אוויר זו. בחדר שבו האוויר נשאב (ואקום), עצמים קלים כמו פיסת נייר המוחזקת אופקית ייפלו באותה תאוצה כמו עצמים אחרים. תרומתו של גלילאו להבנתנו את תנועתם של עצמים נופלים ניתנת לסיכום כדלקמן:

במיקום מסוים על פני כדור הארץ וללא התנגדות אוויר, כל העצמים נופלים באותה תאוצה קבועה. אנו קוראים לתאוצה זו הנגרמת על ידי כוח הכבידה ונותנים לה את הסמל g. גודל g הוא כ-9.8 מטר לשנייה.²ביחידות מערכת האנגלית, גודל ה-g הוא כ-32 רגל לשנייה.²כיוון תאוצת הכבידה הוא לכיוון מרכז כדור הארץ.

הגדרת תנועת הנפילה החופשית

גוף חווה נפילה חופשית אם הוא נע בניצב למרכז כדור הארץ ובמהלך תנועתו, הוא חווה תאוצת כבידה קבועה. אם הנפילה החופשית מתרחשת ליד פני כדור הארץ, אזי הגוף חווה תאוצת כבידה קבועה של 9.8 מטר לשנייה.²

וכיוון תאוצת הכבידה לכיוון מרכז כדור הארץ (בניצב לפני כדור הארץ). כדי לפשט את החישובים, g הוא 10 מטר/שנייה.².

ישנם שלושה מצבים שונים:

1. עצמים נעים אנכית כלפי מטה ללא מהירות התחלתית (ללא v_oלדוגמה, הפרי נופל מהעץ לאחר ששוחרר מהגבעול. כיוון התנועה הוא תמיד כלפי מטה והעצם חווה תאוצה כך ש-g תמיד חיובי. בספרי פיזיקה מסוימים נקרא תנועה של נפילה חופשית.

2. העצם נע אנכית כלפי מטה במהירות ההתחלתית (יש v_oלדוגמה, אבן הנזרקת אנכית כלפי מטה. כיוון התנועה הוא תמיד כלפי מטה והעצם חווה תאוצה כך ש-g תמיד חיובי. בספרי פיזיקה מסוימים, זה נקרא תנועה אנכית כלפי מטה.

3. הגוף נע אנכית כלפי מעלה במהירות התחלתית, לאחר שהגיע לגובה מקסימלי, הוא נע חזרה כלפי מטה. נניח שאתם זורקים גולות אנכיות למעלה ותופסים אותן שוב כאשר הגולות נעות כלפי מטה. כאשר גופים נעים כלפי מעלה, גופים חווים האטה (g שלילי), כאשר גופים נעים אנכית כלפי מטה, הגוף מאיץ (g חיובי). בספרי פיזיקה מסוימים, זה נקרא תנועה אנכית כלפי מעלה. יש לציין שאם גוף חווה אחד משלושת התנאים לעיל, הגוף נחשב כמבצע תנועת נפילה חופשית.

משוואת תנועת הנפילה החופשית

תנועת נפילה חופשית היא דוגמה לתנועה לינארית לא אחידה, לכן משוואת תנועת הנפילה החופשית זהה בעיקרה למשוואת התנועה הליניארית הלא אחידה ומותאמת לתנאים בתנועת הנפילה החופשית.

h = גובה (מטרים), v_o = מהירות התחלתית (מטר/שנייה), v_t = מהירות סופית (מטר/שנייה), t = זמן (שנייה), g = תאוצת הכבידה (מטר/שנייה) = 9.8 מטר/שנייה² או 10 מטר/שנייה².

תאוצת הכבידה קבועה ב-10 מטר לשנייה² (g חיובי, הגוף נע כלפי מטה) פירושו שמהירות הגוף עולה ב-10 מטר/שנייה כל שנייה. 2 שניות לאחר מכן, מהירות הגוף עולה ב-20 מטר/שנייה. 3 שניות לאחר מכן, מהירות הגוף עולה ב-30 מטר/שנייה. האטת הכבידה הקבועה היא 10 מטר/שנייה.² (g שלילי, הגוף נע כלפי מעלה) פירושו שמהירות הגוף יורדת ב-10 מטר/שנייה כל שנייה. 2 שניות לאחר מכן, מהירות הגוף יורדת ב-20 מטר/שנייה. 3 שניות לאחר מכן, מהירות הגוף יורדת ב-30 מטר/שנייה. תאוצה קבועה או האטה קבועה מתרחשות רק ליד פני כדור הארץ.

בעיה לדוגמה 1:

מנגו משתחרר ונופל על הקרקע. אם המיקום ההתחלתי הוא 10 מטרים מפני השטח ומסת המנגו היא 5 גרם, קבע:

(א) מהירות המנגו כשהוא מגיע לקרקע

(ב) מרווח הזמן עד שהמנגו מגיע לקרקע.

g = 9.8 מטר/שנייה²

פתרון:

ידוע: שעה = 10 מטר, גרם = 9.8 מטר/שנייה²

א) מהירות המנגה כשהיא מגיעה לקרקע

המסה מחושבת במשוואת תנועת הנפילה החופשית

ב) מרווח זמן באוויר

בעיה לדוגמה 2:

חפץ נופל מגובה מסוים. קבע:

(א) גודל תאוצת האובייקט

(ב) המרחק שעבר העצם ב-2 השניות הראשונות

(ג) מהירות העצם לאחר נפילה של 50 מטרים

(ד) כמה זמן נדרש עד שהאובייקט יגיע למהירות של 20 מטר לשנייה,

(ה) כמה זמן נדרש עד שהאובייקט ייפול למרחק של עד 100 מטרים

פתרון:

ידוע: g = 9.8 מטר/שנייה²

א) גודל התאוצה של העצם

תאוצת העצם = תאוצת הכבידה = g = 9.8 מטר/שנייה²

ב) המרחק שעבר העצם ב-2 השניות הראשונות

ידוע: g = 9.8 מטר/שנייה² , t = 2 שניות

מבוקש: h

h = 1⁄2 gt² = 1⁄2 (9.8)(2)² = (4.9)(4) = 19.6 מטרים

ג) מהירות העצם לאחר נפילה עד למרחק של 50 מטרים

ידוע: שעה = 50 מטר, גרם = 9,8 מטר/שנייה²

מבוקש: v_t

ד) כמה זמן נדרש לעצמים להגיע למהירות של 20 מטר לשנייה?

ידוע: v_t = 20 מטר/שנייה, g = 9,8 מטר/שנייה²

מבוקש: t

ה) מרווח הזמן הנדרש לחפצים ליפול למרחק של עד 100 מטרים

מבוקש: שעה = 100 מטר, גרם = 9,8 מטר/שנייה²

פתרון: t

בעיה לדוגמה 3:

אבן נזרקת לתוך באר במהירות התחלתית של 5 מטר לשנייה. אם האבן נופלת למים לאחר 4 שניות, קבע:

(א) מהירות האבן כשהיא מגיעה למים

(ב) עומק הבאר

פתרון:

א) מהירות האבן כשהיא מגיעה למים

ידוע:

v_o = 5 מטר/שנייה, t = 4 שניות, g = 9.8 מטר/שנייה²

מבוקש: v_t

v_t v v_o + gt

v_t = 5 מטר/שנייה + (9.8 מטר/שנייה²)(4 שניות) = 5 מטר/שנייה + 39.2 מטר/שנייה

v_t = 44.2 מטר/שנייה

ב) עומק הבאר

ידוע:

v_o = 5 מטר/שנייה, t = 4 שניות, g = 9.8 מטר/שנייה²

מבוקש: h

ח = ו_o t + ½ gt²

ח = (5)(4) + ½ (9.8)(4)²

ח = 20 + (4.9)(16)

ח = 20 + 78.4

h = 98.4 מטרים

בעיה לדוגמה 4:

מראש הבניין, עד לגובה של 50 מטרים, נזרקת חבילה אנכית כלפי מטה במהירות של 10 מטר לשנייה. קבע:

(א) הזמן באוויר

(ב) מהירות החבילה כשהיא פוגעת בקרקע

פתרון:

א) הזמן באוויר

ידוע:

שעה = 50 מטר, גרם = 9.8 מטר/שנייה², V_o = 10 מטר/שנייה

מבוקש: t

ח = ו_o t + ½ gt²

50 = 10 טון + ½ (9.8) טון²

50 = 10 טון + 4.9 טון²

4.9 t² + 10 t – 50 = 0

השתמש בנוסחה ריבועית:

זמן באוויר = 2.3 שניות

ב) מהירות החבילה כשהיא פוגעת בקרקע

ידוע:

שעה = 50 מטר, גרם = 9.8 מטר/שנייה², V_o = 10 מטר/שנייה

מבוקש: v_t

בעיה לדוגמה 5:

כדור נזרק אנכית כלפי מעלה במהירות התחלתית של 20 מטר/שנייה. קבע את הגובה המקסימלי אליו מגיע הכדור.

פתרון:

כמויות הווקטור שכיוונו כלפי מעלה הן חיוביות, כמויות הווקטור שכיוונו כלפי מטה הן שליליות. מיקום ההתחלה של הכדור נבחר כנקודת ייחוס.

ידוע:

v_o = 20 מטר/שנייה (כיוון המהירות ההתחלתית הוא כלפי מעלה, הכדור נזרק כלפי מעלה, לכן v_o הוא חיובי)

v_t = 0 מטר/שנייה (מהירות הכדור בגובה המרבי היא 0 מטר/שנייה)

g = – 9.8 מטר/שנייה² (כיוון תאוצת הכבידה הוא כלפי מטה, לכן g שלילי)

מבוקש: h

בעיה לדוגמה 6:

גולה נזרקת אנכית כלפי מעלה מראש בניין בגובה 100 מטרים מעל הקרקע במהירות התחלתית של 20 מטר לשנייה. קבע:

(א) זמן באוויר

(ב) מהירות השיש כשהוא פוגע בקרקע

פתרון:

המיקום בו נזרקת הגולה כנקודת ייחוס; ראש הבניין הוא נקודת ייחוס. גודל הווקטור שכיוונו כלפי מעלה הוא חיובי, גודל הווקטור שכיוונו כלפי מטה הוא שלילי.

א) זמן באוויר

ידוע:

h = – 100 מטר (h שלילי מכיוון שפני הקרקע נמצאים מתחת למיקום ההתחלתי או נקודת הייחוס)

v_o = 20 מטר/שנייה (כיוון המהירות ההתחלתית הוא כלפי מעלה, לכן v_o הוא חיובי)

g = – 9.8 מטר/שנייה² (כיוון תאוצת הכבידה הוא כלפי מטה, לכן g שלילי)

מבוקש: t

השתמש בנוסחה הריבועית:

הזמן הדרוש להגעה לקרקע מאז

הכדור נזרק = 7 שניות.

ב) מהירות השיש כשהוא פוגע בפני הקרקע

ידוע:

h = -100 מטר (שלילי מכיוון שפני הקרקע נמצאים מתחת לנקודת הייחוס או למיקום ההתחלתי)

v_o = 20 מטר/שנייה (כיוון המהירות ההתחלתית הוא כלפי מעלה, לכן v_o הוא חיובי)

g = -9.8 מטר/שנייה² (כיוון תאוצת הכבידה הוא כלפי מטה, לכן g שלילי).

מבוקש: v_t

שאלות ותשובות קונספטואליות על תנועה בנפילה חופשית

1. מהי תנועת נפילה חופשית?

   תנועת נפילה חופשית היא תנועה של גוף תחת השפעת כוח הכבידה בלבד, ללא כוחות אחרים הפועלים עליו, כגון התנגדות אוויר.
2. מהי התאוצה עקב כוח הכבידה?

   תאוצה עקב כוח הכבידה היא התאוצה שחווה גוף כשהוא נופל בחופשיות ליד פני כדור הארץ. היא מסומנת בדרך כלל כ-'g' וערכה המשוער הוא 9.8 מטר לשנייה.

3. מהי הנוסחה לתזוזה בתנועה של נפילה חופשית, בהינתן מהירות התחלתית וזמן?

   הנוסחה היא h = ut + ½gt², כאשר h הוא התזוזה (גובה), u היא המהירות ההתחלתית, g היא תאוצת הכבידה, ו-t הוא הזמן.
4. כיצד משתנה מהירותו של גוף במהלך תנועה של נפילה חופשית?

   במהלך נפילה חופשית, מהירותו של גוף עולה באופן ליניארי לאורך זמן עקב תאוצת הכבידה הקבועה.

5. מהי הנוסחה למהירות הסופית בתנועה של נפילה חופשית, בהינתן המהירות ההתחלתית והזמן?

   הנוסחה היא v = u + gt, כאשר v היא המהירות הסופית, u היא המהירות ההתחלתית, ו-g היא תאוצת הכבידה.
6. מה קורה למהירות של גוף בשיא מסלולו בתנועה של נפילה חופשית?

   בשיא מסלולו, מהירותו של העצם הופכת לאפס לרגע.

7. מה מייצג סימן שלילי בהקשר של תנועה בנפילה חופשית?

   הסימן השלילי מציין בדרך כלל כיוון הפוך לכיוון החיובי שנבחר. בהתאם להקשר, הוא יכול להצביע על נפילה (אם למעלה חיובי) או השלכה (אם למעלה שלילי).
8. מה קורה לתאוצה של גוף בנפילה חופשית כשהוא מגיע לגובהו המקסימלי?

   התאוצה של גוף בגובהו המרבי בנפילה חופשית נשארת שווה ל-g (כ-9.8- מטר/שנייה רבוע ליד פני כדור הארץ), כשהיא פונה כלפי מטה.

9. כיצד התנגדות האוויר משפיעה על תנועת הנפילה החופשית?

   במציאות, התנגדות אוויר יכולה להאט משמעותית את נחיתה של עצם, מה שהופך את התנועה לבלתי צפויה עוד לנפילה חופשית. עם זאת, בבעיות פיזיקה רבות, מתעלמים מהתנגדות האוויר לשם פשטות.
10. מהו זמן הטיסה בתנועה של נפילה חופשית?

זמן הטיסה הוא הזמן הכולל שהעצם מבלה באוויר. עבור עצם המשוגר ונוחת באותו גובה, ניתן למצוא את זמן הטיסה באמצעות הנוסחה t = 2u/g.

בעיות ופתרונות בנוגע לתנועה בנפילה חופשית

1. בעיה: סלע נופל מצוק בגובה 78.4 מטרים. כמה זמן לוקח לסלע להגיע לקרקע? פתרון: אנו משתמשים במשוואה h = ½gt². פתרון הזמן מאפשר t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 שניות.
2. בעיה: כדור נזרק כלפי מעלה במהירות התחלתית של 19.6 מטר לשנייה. לאיזה גובה הכדור מגיע? פתרון: באמצעות המשוואה h = v₀t – ½gt² בגובה מקסימלי (כאשר המהירות הסופית היא 0), הגובה h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 מטר.
3. בעיה: אבן נזרקת כלפי מעלה במהירות התחלתית של 10 מטר לשנייה. מה תהיה מהירותה לאחר 2 שניות? פתרון: המשוואה v = v₀ – gt נותנת את המהירות v = 10 – 9.8×2 = -9.6 מטר/שנייה.
4. בעיה: מטבע נופל לתוך באר ופוגע במים לאחר 3 שניות. מה עומק הבאר? פתרון: לפי h = ½gt², העומק h = ½x9.8×3² = 44.1 מטר.
5. בעיה: ספר נופל משולחן ופוגע בקרקע לאחר 0.5 שניות. מה היה גובהו של השולחן? פתרון: לפי h = ½gt², הגובה h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 מטר.
6. בעיה: כדור נזרק כלפי מעלה במהירות התחלתית של 20 מטר לשנייה. מתי הוא יגיע לגובהו המקסימלי? פתרון: בגובה מקסימלי, v = 0. בפתרון t = (v – v₀) / -g, הזמן t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 שניות.
7. בעיה: גוף נופל למשך 6 שניות. מהי מהירותו הסופית? פתרון: באמצעות v = v₀ + gt עם מהירות התחלתית v₀ = 0, המהירות הסופית v = 0 + 9.8×6 = 58.8 מטר/שנייה.
8. בעיה: תפוח נופל מעץ ולוקח לו 1.5 שניות לפגוע בקרקע. מה היה גובהו של העץ? פתרון: לפי h = ½gt², הגובה h = ½x9.8x(1.5)² = 11 מטר.
9. בעיה: כדור כדורגל נבעט אנכית כלפי מעלה במהירות התחלתית של 25 מטר לשנייה. כמה זמן לוקח עד שהוא פוגע בקרקע? פתרון: זמן עד לגובה מקסימלי t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 שניות. הזמן הכולל עד לפגיעה בקרקע הוא כפול מזה, לכן t = 2×2.55 = 5.1 שניות.
10. בעיה: אבן נופלת מגשר ופוגעת במים לאחר 4 שניות. מה גובהו של הגשר? פתרון: לפי h = ½gt², הגובה h = ½x9.8×4² = 78.4 מטר.
11. בעיה: טיל משוגר ישר למעלה במהירות של 50 מטר לשנייה. עד כמה גבוה הוא מגיע? פתרון: באמצעות h = v₀² / (2g), הגובה h = (50)² / (2×9.8) = 127.55 מטר.
12. בעיה: כדור נזרק כלפי מטה במהירות התחלתית של 10 מטר לשנייה. מהי מהירותו לאחר 2 שניות? פתרון: באמצעות v = v₀ + gt, המהירות v = 10 + 9.8×2 = 29.6 מטר/שנייה.
13. בעיה: כדור נזרק אנכית כלפי מעלה וחוזר לקרקע תוך 6 שניות. מה הייתה מהירותו ההתחלתית? פתרון: באמצעות v₀ = gt / 2 (מכיוון שהזמן הכולל הוא כפול מהזמן להגיע לגובה מקסימלי), המהירות ההתחלתית v₀ = 9.8×6 / 2 = 29.4 מטר/שנייה.
14. בעיה: חפץ נופל במשך 10 שניות. עד כמה הוא נופל? פתרון: לפי h = ½gt², המרחק h = ½x9.8×10² = 490 מטר.
15. בעיה: גולה נופלת ממגדל ולוקח לה 5 שניות לפגוע בקרקע. מה גובה המגדל? פתרון: לפי h = ½gt², הגובה h = ½x9.8×5² = 122.5 מטר.
16. בעיה: כדור בייסבול נזרק אנכית כלפי מעלה במהירות התחלתית של 15 מטר לשנייה. מתי הוא יגיע לגובהו המרבי? פתרון: בגובה מקסימלי, v = 0. בפתרון t = (v – v₀) / -g, הזמן t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 שניות.
17. בעיה: חפץ נופל למשך 7 שניות. מהי מהירותו הסופית? פתרון: באמצעות v = v₀ + gt עם מהירות התחלתית v₀ = 0, המהירות הסופית v = 0 + 9.8×7 = 68.6 מטר/שנייה.
18. בעיה: סלע נזרק כלפי מעלה במהירות התחלתית של 30 מטר לשנייה. מה תהיה מהירותו לאחר 3 שניות? פתרון: באמצעות v = v₀ – gt, המהירות v = 30 – 9.8×3 = 0.6 מטר/שנייה.
19. בעיה: אבן נופלת מצוק ופוגעת בקרקע לאחר 8 שניות. מה גובהו של הצוק? פתרון: לפי h = ½gt², הגובה h = ½x9.8×8² = 313.6 מטר.

20. בעיה: חץ נורה ישר למעלה במהירות של 60 מטר לשנייה. כמה זמן לוקח עד שהוא פוגע בקרקע? פתרון: זמן עד לגובה מקסימלי t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 שניות. הזמן הכולל עד לפגיעה בקרקע הוא כפול מזה, לכן t = 2×6.12 = 12.24 שניות.