משוואה של זכוכית מגדלת

מאמר על משוואת זכוכית מגדלת זכוכית מגדלת

כפי שהוסבר בנושא זכוכית מגדלת, עצם נראה קטן במבט ממרחק רב ונראה נהדר במבט מקרוב. ההבדל בגודל העצם הנראה על ידי העין נגרם מהפרש הזווית בין העין לעצם. כאשר עצם רחוק מאוד מהעין, הזווית בין העין לעצם קטנה יותר, כך שהתמונה הנוצרת על רשתית העין קטנה יותר. לעומת זאת, כאשר העצם קרוב לעין, הזווית בין העין לעצם גדולה יותר, כך שהתמונה הנוצרת על רשתית העין משמעותית יותר. ככל שהעצם קרוב יותר לעין, כך הזווית בין העין לעצם גבוהה יותר, כך שהתמונה הנוצרת על הרשתית גם היא גדולה יותר. שימו לב שלעין אנושית ממוצעת יש נקודת קרבה של 25 ס"מ, כך שהמרחק בין העין לעצם לא יכול להיות קטן מ-25 ס"מ. ניתן להסיק שהזווית בין עין רגילה של אדם ממוצע לעצם היא מקסימלית כאשר המרחק בין העין לעצם הוא 25 ס"מ.

אם לאחר קרבתו למרחק של 25 ס"מ מהעין הרגילה, לא ניתן לראות עצם בבירור, אזי יש צורך במכשיר אופטי שיעזור לעין לראות את העצם. זכוכית מגדלת פשוטה פועלת להגדלת הזווית בין העין לעצם. יכולתה של זכוכית המגדלת להגדיל את התמונה מתבטאת בהגדלה זוויתית (M). זכוכית מגדלת בעלת הגדלה זוויתית של פי 2 טובה, כמובן, מגדלת בעלת הגדלה זוויתית של פי 1. ההגדלה הזוויתית (M) שונה מהגדלה ליניארית (m).

ההגדלה הזוויתית של הזכוכית המגדלת

ההגדלה הזוויתית של זכוכית המגדלת (M) היא היחס בין הזווית בין העין לתמונת העצם (θ') כאשר העצם נראה דרך הלולאה, לבין הזווית בין העין לעצם (θ) כאשר העצם נראה ישירות מנקודת הקירבה של העין הרגילה. מבחינה מתמטית:

M = θ' / θ

משוואת ההגדלה הזוויתית של הזכוכית המגדלת

המשוואה הכללית של ההגדלה הזוויתית נגזרת ביתר פירוט בסקירה הבאה. כדי להקל על הבנתכם, עיינו באיור שלהלן.

באיור 1, עצמים נראים ישירות מנקודת הקרוב של העין הרגילה.

N = הנקודה הקרובה ביותר של העין הרגילה

θ = הזווית בין העיניים לשני קצוות האובייקטים

h = ho = גובה האובייקט

באיור 2, ניתן לראות עצמים דרך זכוכית מגדלת.

s = do = מרחק בין עצמים לעדשות

θ' = הזווית בין זכוכית המגדלת לשני קצוות האובייקט

h = ho = גובה האובייקט

אם הזווית קטנה אז המשיק θ ≈ θ

θ = h o / N

θ' = h o / do

המשוואה הכללית של ההגדלה הזוויתית (M) של זכוכית מגדלת:

M = הגדלה זוויתית, N = נקודת הקרובה של העין הרגילה, do = מרחק העצם. זוהי המשוואה הכללית להגדלה זוויתית של זכוכית המגדלת. היא נקראת משוואה כללית מכיוון שהמרחק בין עצמים עם זכוכית המגדלת (do) אינו בעל ערך מסוים, אך יכול להיות בעל כל ערך שהוא.

משוואת ההגדלה הזוויתית כאשר העין ממוקדת בנקודה רחוקה

מה אם, בעת צפייה באובייקטים באמצעות זכוכית מגדלת, עיניו של הצופה ממוקדות בנקודה הרחוקה? אם העיניים מותאמות למינימום, אזי מרחק התמונה הוא אינסופי. כדי שהתמונה תהיה אינסופית, המרחק בין האובייקט ללולאה חייב להיות זהה לאורך המוקד של הזכוכית המגדלת (השווה את ההסבר בנוגע לזכוכית מגדלת). ראה את האיור למטה.

באיור 3, עצמים נראים ישירות מנקודת הקרוב של העין הרגילה.

N = הנקודה הקרובה ביותר של העין הרגילה

θ = הזווית בין העיניים לשני קצוות האובייקטים

h = גובה האובייקט

באיור 4, עצמים נראים דרך זכוכית מגדלת שבה עיני הצופה ממוקדות בצורה מינימלית (העין ממוקדת בנקודה רחוקה).

s = do = מרחק בין עצמים עם עדשה = f = אורך המוקד של הזכוכית המגדלת

θ' = הזווית בין הלולאה לשני קצוות האובייקט

h = גובה האובייקט

אם הזווית קטנה אז המשיק θ ≈ θ

משוואת ההגדלה הזוויתית של זכוכית המגדלת (M) כאשר אקומדציית העין מינימלית (העין ממוקדת בנקודה הרחוקה):

M = הגדלה זוויתית, N = קרוב לנקודת העין הרגילה, f = אורך המוקד של הזכוכית המגדלת.

משוואה זו מראה שההגדלה הזוויתית (M) של הזכוכית המגדלת היא ביחס הפוך לאורך המוקד (f). ככל שאורך המוקד גבוה יותר, כך ההגדלה הזוויתית קטנה יותר. לעומת זאת, ככל שאורך המוקד קטן יותר, כך ההגדלה הזוויתית גבוהה יותר. הזכוכית המגדלת היא עדשה קמורה, ולכן יש להשתמש בעדשה קמורה בעלת אורך מוקד קטן או בעדשה קמורה בעלת רדיוס עקמומיות קטן, כך שההגדלה של הזכוכית המגדלת תהיה גדולה.

משוואת ההגדלה הזוויתית כאשר העין מתמקדת בנקודה קרובה

מה אם, כשאתה רואה עצמים באמצעות זכוכית מגדלת, עיניו של הצופה ממוקדות בנקודת הקרוב (האקקומדציה היא מקסימלית)? אם לעין יש אקקומדציה מקסימלית, מרחק התמונה המופק על ידי זכוכית המגדלת זהה לנקודת הקרוב של עין רגילה. תמונות הן וירטואליות, ולכן מרחק התמונה (באינצ'ים) הוא שלילי.

כאשר מרחק התמונה (di) זהה לנקודה הקרובה (N), מרחק האובייקט (do):

אם הזווית קטנה אז המשיק θ ≈ θ

משוואת ההגדלה הזוויתית של זכוכית מגדלת כאשר העין ממוקדת בנקודה הקרובה (ההגדלה היא מקסימלית):

M = הגדלה זוויתית, N = נקודה ליד העין הרגילה, f = אורך המוקד של הזכוכית המגדלת.

השוו את משוואת ההגדלה הזוויתית כאשר האקומודציה מינימלית (העין ממוקדת בנקודה הרחוקה) עם משוואת ההגדלה הזוויתית כאשר האקומודציה מקסימלית (העין ממוקדת בנקודה הקרובה).

בהתבסס על שתי משוואות אלו, ניתן להסיק כי ההגדלה הזוויתית גדולה יותר כאשר האקומודציה מקסימלית (העין ממוקדת בנקודה הקרובה).