מאמר על עקרון ברנוליס ומשוואת ברנוליס
כשאנחנו רוכבים על אופנוע, הבגדים שאנחנו לובשים נפוחים לאחור. לפעמים, אם הרוח נושבת חזק, הדלת יכולה להיסגר מעצמה. למרות שהרוח נושבת מחוץ לבית, הדלת נמצאת בתוך הבית.
ניתן להסביר זאת באמצעות עקרון ברנולי. דניאל ברנולי (1700-1782) גילה עיקרון שניתן להשתמש בו כדי להסביר את התופעה הנ"ל.
העיקרון של ברנולי
עקרון ברנולי קובע שכאשר מהירות זרימת הנוזל גבוהה, לחץ הנוזל נמוך. לעומת זאת, אם מהירות זרימת הנוזל נמוכה, לחץ הנוזל גבוה. כאשר אופנוע נע במהירות, מהירות האוויר בקדמת הגוף ובצידיו גבוהה. לכן, לחץ האוויר נמוך. גב הגוף נחסם על ידי קדמת הגוף, כך שמהירות האוויר בגב הגוף אינה הופכת גבוהה. כתוצאה מכך, לחץ האוויר בחלק האחורי של הגוף גבוה יותר. מכיוון שיש הבדל בלחץ האוויר, כאשר בחלק האחורי של הגוף לחץ האוויר גבוה יותר, האוויר דוחף את החולצה לאחור כך שהבגדים נראים נפוחים לאחור.
מה לגבי דלת הבית שנסגרת מעצמה כאשר הרוח נושבת מחוץ לבית? האוויר מחוץ לבית נע מהר יותר מהאוויר בתוך הבית. כתוצאה מכך, לחץ האוויר מחוץ לבית קטן יותר מלחץ האוויר בתוך הבית. מכיוון שיש הפרש לחצים, כאשר לחץ האוויר בתוך הבית גדול יותר, הדלת נדחקת החוצה. במילים אחרות, כנף הדלת נעה ממקום שבו לחץ האוויר גדול למקום שבו לחץ האוויר קטן.
משוואת ברנולי
בעבר, למדנו על עקרון ברנולי. ברנולי גם פיתח את העיקרון באופן כמותי. כדי לגזור את משוואת ברנולי, אנו מניחים שזרימת הנוזל היא יציבה ולמינרית, לא דחוסה, והצמיגות מינימלית כך שניתן להתעלם ממנה.
בדיון על משוואת הרציפות, למדנו שקצב הזרימה של הנוזל יכול להשתנות גם בהתאם לשטח הזרימה של צינור הזרימה. בהתבסס על עקרון ברנולי שתואר לעיל, לחץ הנוזל יכול להשתנות גם בהתאם לקצב הזרימה של הנוזל. לחץ הנוזל יכול להשתנות גם בהתאם לגובה הנוזל. ניתן לקבל את הקשר בין לחץ, קצב זרימה וגובה זרימה במשוואת ברנולי.
משוואת ברנולי קריטית משום שניתן להשתמש בה לניתוח טיסות מטוסים, תחנות כוח הידרואלקטריות, מערכות צנרת וכו'. כדי לגזור את משוואת ברנולי באופן כללי, אנו מניחים שהנוזל זורם דרך צינור זרימה בעל שטח חתך שונה וגם הגובה שונה. כדי לגזור את משוואת ברנולי, אנו מיישמים את משפט העבודה והאנרגיה על הנוזל בצינור הזרימה.
הצבע האטום בצינור הזרימה באיור למטה מראה זרימת נוזל, בעוד שהצבע הלבן מראה שאין נוזל.
נוזל בשטח החתך 1 (צד שמאל) זורם עד L1 ומכריח את הנוזל בקטע 2 (צד ימין) לנוע עד L2 . מכיוון ששטח החתך 2 מימין קטן יותר, מהירות זרימת הנוזל בצד ימין של צינור הזרימה גדולה יותר (זכרו את משוואת הרציפות). זה גורם להפרש לחצים בין קטע 2 (הצד הימני של צינור הזרימה) לקטע 1 (הצד השמאלי של צינור הזרימה) – זכרו את עקרון ברנולי. הנוזל שנמצא משמאל לקטע 1 מפעיל לחץ (P1 ) על הנוזל מימין ומבצע עבודה:
אז ניתן לכתוב את משוואת W1 :
W 1 = p 1 A 1 L 1
בסעיף 2 (הצד הימני של צינור הזרימה), העבודה הנעשית על הנוזל היא:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
סימן שלילי מציין שהכוח המופעל הוא הפוך לכיוון התנועה. לכן, הנוזל מבצע עבודה מימין לחתך 2. יתר על כן, כוח הכבידה מבצע עבודה על הנוזל. במקרה שלעיל, מסות נוזל מסוימות מועברות מקטע 1 עד L1 לקטע 2 עד L2 , כאשר הוא נפח הנוזל בקטע 1 (A1L1 ) = נפח הנוזל בקטע 2 (A2L2 ) . העבודה הנעשית על ידי כוח הכבידה היא :
W3 = − מ"ג (שעה 2 − שעה 1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
סימן שלילי נגרם עקב זרימת הנוזל כלפי מעלה, בניגוד לכיוון הכבידה. לכן, העבודה נטו שנעשית על הנוזל היא:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - פ2 A2 L2 + מגה1 - מגה2
משפט עבודה-אנרגיה קובע כי העבודה נטו הנעשית על מערכת זהה לשינוי באנרגיה הקינטית. לכן, נוכל להחליף את העבודה (W) בשינויים באנרגיה הקינטית (EK2 – EK1 ).
ניתן לכתוב שוב את המשוואה לעיל:
W = P1 A1 L1 - פ2 A2 L2 + מגה1 - מגה2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - פ2 A2 L2 + מגה1 - מגה2
חצי מיליוואט22 – 1⁄2 מיליוואט12 = P1 A1 L1 - פ2 A2 L2 + מגה1 - מגה2
מסת הנוזל הזורמת עד L1 בחתך רוחב A1 = מסת הנוזל הזורם עד L2 (חתך רוחב א'2). למסת הנוזל, נניח m, יש נפח של A1 L1 א2 L2 איפה א'1 L1 = א2 L2 (L2 ארוך יותר מ-L1).
כעת אנו מציבים את m במשוואה לעיל ב- m = ρ AL:
זוהי משוואת ברנולי. משוואת ברנולי נגזרת על סמך עקרון העבודה-אנרגיה, כך שזוהי צורה של שימור אנרגיה.
P = לחץ, ρ = צפיפות, v = מהירות הנוזל, g = תאוצת הכבידה, h = גובה הצינור מעל הקרקע.
המקטעים השמאלי והימני של משוואת ברנולי לעיל יכולים להתייחס לשתי נקודות בכל מקום לאורך צינור הזרימה, כך שנוכל לכתוב מחדש את המשוואה לעיל ל:
כעת בואו נסקור את משוואת ברנולי עבור כמה מקרים.
משוואת ברנולי בנוזלים סטטיים
המקרה המיוחד של משוואת ברנולי הוא עבור נוזל סטטי, כאשר לנוזל אין מהירות. לכן, v1 = v2 = 0. במקרה של נוזל סטטי, נוכל לנסח את משוואת ברנולי כך:
אם h 2 – h 1 = h, ניתן לכתוב משוואה זו כך:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
משוואת ברנולי על צינור באותו גובה
אם גובה הצינור זהה, משוואת ברנולי משתנה ל:
