מומנטום זוויתי

מומנטום זוויתי

כמות התנועה הסיבובית, הזהה למסה (m) בתנועה ליניארית, היא מומנט האינרציה (I). כמות התנועה הסיבובית, הזהה למהירות (v) בתנועה ליניארית, היא המהירות הזוויתית (ω). לכן, לעצם המסתובב יש תנע זוויתי שניתן לחשב באמצעות המשוואה:

L = I ω

L = תנע זוויתי (ק"ג מ"ר ^/ שנייה), I = מומנט אינרציה (ק"ג מ"ר ⁾ , ω = מהירות זוויתית (רדיאנים/שנייה)

בעיות לדוגמה של תנע זוויתי

בעיה לדוגמה 1.

חלקיק בעל מסה של 0.5 גרם נע במעגל במהירות זוויתית קבועה של 2 רדיאנים לשנייה. קבע את התנע הזוויתי של החלקיק אם רדיוס מסלולו של החלקיק הוא 10 ס"מ.

פתרון:

מומנט האינרציה של החלקיק:

אני = mr² ⁼ (0.5 x 10-3 ^ק"ג )(1 x 10-1 ^מ"ר ) ^² = (0.5 x 10-3 ^ק"ג )(1 x ^10-2 מ"ר ⁾ = 0.5 x ^10-5 ק"ג ^מ"ר

מהירות הזווית של החלקיק:

ω = 2 רד/s

התנע הזוויתי של החלקיק:

L = (0.5 x 10-5 ^ק"ג מ"ר ⁾ (2 רדיאנים/שנייה) = 1 x 10-5 ^ק"ג מ"ר ^/ שנייה

חוק שימור התנע הזוויתי

חוק שימור התנע הזוויתי קובע שאם מומנט הכוח המתקבל על גוף קשיח בעת סיבובו הוא אפס, אזי התנע הזוויתי של הגוף הקשיח בעת סיבובו תמיד קבוע. ניתן לגזור את חוק שימור התנע הזוויתי באופן מתמטי על ידי שינוי משוואת החוק השני של ניוטון לתנע הזוויתי. להלן משוואת החוק השני של ניוטון על התנע הזוויתי:

אם מומנט הכוח המתקבל הוא אפס, אז המשוואה לעיל משתנה ל:

I _t = מומנט האינרציה הסופי, I _o = מומנט האינרציה ההתחלתי, ω _t = המהירות הזוויתית הסופית, ω _o = המהירות הזוויתית ההתחלתית, L _t = התנע הזוויתי הסופי, L _o = התנע הזוויתי ההתחלתי.

בעיות לדוגמה של חוק שימור התנע הזוויתי

בעיה לדוגמה 1.

דיסק גליל מוצק הומוגני מסתובב בתחילה סביב צירו במהירות של 4 רדיוסים לשנייה. המסה והרדיוס של הדיסק הם 1 ק"ג ו-0.5 מטר. אם מעל הפלטה מונחת טבעת בעלת מסה ורדיוס של 0.2 ק"ג ו-0.1 מטר ומרכז הטבעת,

ממש מעל מרכז הדיסק, אז הדיסק והטבעת יסתובבו יחד במהירות זוויתית של...

פתרון:

מומנט האינרציה של גליל מוצק: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 ק"ג)(0.5 מ"ר) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 ק"ג ^מ"ר

מומנט האינרציה של הטבעת: I = mr² ⁼ (0.2 ק"ג)(0.1 מ') ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 ק"ג ^מ"ר

תנע זוויתי התחלתי (L1 ₎ = תנע זוויתי סופי ( _L2 )

אני ₁ ω ₁ = אני ₂ ω ₂

(0.125 ק"ג מ"ר ⁾ (4 רדיאנים לשנייה) = (0.125 ק"ג מ"ר ⁺ 0.002 ק"ג מ"ר ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ רדיאנים לשנייה

שאלות ותשובות קונספטואליות

1. מהו תנע זוויתי?
   תשובה: תנע זוויתי הוא מדד לכמות הסיבוב של גוף, בהתחשב במסה ובצורתו. זהו האנלוג הסיבובי של תנע ליניארי.
2. כיצד נקבע תנע זוויתי מתמטי?
   תשובה: תנע זוויתי (L) מוגדר כ $L=r\times p$, שם $r$ הוא וקטור המיקום מציר הסיבוב לנקודת היישום, ו $p$ הוא התנע הליניארי.
3. האם תנע זוויתי הוא גודל סקלרי או וקטורי?
   תשובה: תנע זוויתי הוא גודל וקטורי.
4. מהי יחידת המדידה של תנע זוויתי במערכת SI?
   תשובה: יחידת המומנטום הזוויתי במערכת SI היא קילוגרם-מטר בריבוע לשנייה (ק"ג·מ"ר).²/s).
5. כיצד נשמר תנע זוויתי?
   תשובה: במערכת סגורה ללא מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי הכולל נשאר קבוע.
6. מהו עקרון שימור התנע הזוויתי?
   תשובה: העיקרון קובע כי התנע הזוויתי הכולל של מערכת סגורה נשאר קבוע אלא אם כן מופעל עליו מומנט כוח חיצוני.
7. כיצד הסיבוב של מחליק אמנותי קשור לתנע זוויתי?
   תשובה: כאשר מחליק אמנותי מקרב את זרועותיו ורגליו לגופו במהלך סיבוב, הוא מקטין את מומנט האינרציה שלו, מה שגורם לו להסתובב מהר יותר. זה מדגים את שימור התנע הזוויתי.
8. מה הקשר בין מומנט תנועה לתנע זוויתי?
   תשובה: מומנט ($\tau$) הוא קצב השינוי של התנע הזוויתי. מבחינה מתמטית, τ=dליטר/שנייה​.
9. האם ייתכן שלגוף תהיה תנע זוויתי ללא מהירות זוויתית?
   תשובה: לא, אם לעצם יש תנע זוויתי, יש לו מהירות זוויתית. גודל וכיוון התנע הזוויתי תלויים הן במומנט האינרציה והן במהירות הזוויתית.
10. כיצד מומנט האינרציה משפיע על התנע הזוויתי?
    תשובה: תנע זוויתי (L) הוא מכפלת מומנט האינרציה (I) והמהירות הזוויתית (ω). US $L=I\omega$, עלייה במומנט האינרציה עבור מהירות זוויתית נתונה תגדיל את התנע הזוויתי.
11. מה ההבדל בין ספין לתנע זוויתי מסלולי במכניקת הקוונטים?
    תשובה: תנע זוויתי של ספין הוא תכונה מהותית של חלקיקים, כמו אלקטרונים, ואינו נובע מתנועה במרחב. תנע זוויתי מסלולי, לעומת זאת, נובע מתנועת חלקיק סביב נקודה מרכזית.
12. איזה תפקיד ממלא התנע הזוויתי בהיווצרותן של מערכות פלנטריות?
    תשובה: כאשר ענן מולקולרי קורס ויוצר כוכבים וכוכבי לכת, שימור התנע הזוויתי גורם לחומר להשתטח לדיסק סביב הכוכב שזה עתה נולד, שממנו יכולים להיווצר כוכבי לכת.
13. כיצד גירוסקופ שומר על כיוון כיוון במרחב?
    תשובה: לגירוסקופ מסתובב יש תנע זוויתי. כאשר מומנט חיצוני מנסה לשנות את כיוונו, הגירוסקופ עובר נקודה, או משנה את ציר הסיבוב שלו, בכיוון הניצב למומנט המופעל עקב שימור התנע הזוויתי.
14. מה גורם לפרצסיה בסביבון?
    תשובה: פרצסיה בסביבון נגרמת על ידי מומנט כוח המשיכה הפועל על מרכז המסה של סביבון, אשר מוטה מנקודת הציר שלו. מומנט זה גורם לשינוי בכיוון התנע הזוויתי של סביבון, מה שגורם לו לבצע פרצסיה.
15. מדוע כוכבים משתטחים בקטבים שלהם?
    תשובה: כאשר כוכבים מסתובבים, הם חווים כוח צנטריפוגלי הדוחף את החומר החוצה. השפעה זו חזקה יותר בקו המשווה מאשר בקטבים, מה שמוביל לצורה שטוחה, או אלכסונית.
16. כיצד קשור תנע זוויתי לחוק השני של קפלר?
    תשובה: החוק השני של קפלר קובע כי קטע קו המחבר כוכב לכת ושמש משתרע על פני שטחים שווים במרווחי זמן שווים. זוהי תוצאה של שימור התנע הזוויתי.
17. למה חתול תמיד נוחת על הרגליים כשהוא נופל?
    תשובה: חתולים משתמשים בשיטת שימור התנע הזוויתי. על ידי סיבוב גופם ושינוי מומנט האינרציה שלהם באוויר, הם יכולים לשנות את כיוון התנועה שלהם ולנחות על רגליהם מבלי להפר את חוקי השימור.
18. כיצד מומנט מגנטי קשור לתנע זוויתי באלקטרונים?
    תשובה: המומנט המגנטי של אלקטרון נובע מהסיבוב שלו ומהמומנט הזוויתי המסלולי שלו. המומנט המגנטי פרופורציונלי לתנע הזוויתי של האלקטרון.
19. מהו תנע זוויתי במונחים של קואורדינטות פולריות?
    תשובה: בקואורדינטות פולריות, תנע זוויתי $L$ עבור מסה נקודתית ניתן לבטא זאת כ $L=mrv$, שם $m$ היא המסה, $r$ הוא המרחק הרדיאלי, ו $v$ היא המהירות המשיקית.
20. מה קורה לתנע הזוויתי של מערכת סגורה כאשר שני גופים מתנגשים?
    תשובה: במערכת סגורה שבה שני עצמים מתנגשים, התנע הזוויתי הכולל לפני ההתנגשות שווה לתנע הזוויתי הכולל לאחר ההתנגשות, בהנחה שלא פועלים על המערכת מומנטים חיצוניים.

בעיות ופתרונות

1. בעיה: מסה נקודתית m = 2 ק"ג נעה במהירות v = 3 מטר/שנייה במעגל ברדיוס r = 4 מטר. חשב את התנע הזוויתי שלה סביב מרכז המעגל.

פתרון: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 ק"ג.מ"ר ^/ שנייה

2. בעיה: כדור מוצק בעל מסה של 3 ק"ג ורדיוס של 0.5 מטר מסתובב סביב קוטרו במהירות זוויתית ω = 2 רדיאנים לשנייה. מהו התנע הזוויתי שלו?

פתרון: עבור כדור מוצק, I = 2/5 m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. בעיה: מסה נקודתית במשקל 3 ק"ג נעה במהירות של 4 מטר לשנייה בקו ישר. מהו התנע הזוויתי שלה סביב נקודה המרוחקת 5 מטר מקו התנועה שלה?

פתרון:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 ק"ג.מ"ר / ^שנייה

4. בעיה: דיסקה שמסתה 5 ק"ג ורדיוסה 3 מטר מסתובבת במהירות זוויתית של 2 רדיאנים לשנייה. חשב את התנע הזוויתי שלה.

פתרון: ^עבור דיסק, I = 1/2 m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. בעיה: מוט באורך 4 מטר ומסה 2 ק"ג מסתובב סביב קצהו במהירות זוויתית של 3 רדאן/שנייה. מצא את התנע הזוויתי שלו.

פתרון: עבור מוט בקצה אחד, I = 1/3 מ"ל / ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. בעיה: מהו השינוי בתנע הזוויתי אם גוף מסתובב מכפיל את מהירותו הזוויתית?

פתרון: הקשר בין תנע זוויתי (L) למהירות זוויתית (ω) הוא $L=I\times \omega$ . אם ω מוכפל, גם התנע הזוויתי יוכפל.

7. בעיה: אם רדיוס המסלול המעגלי של חלקיק נע מוכפל תוך שמירה על מהירות קבועה, באיזה גורם משתנה התנע הזוויתי?

פתרון: תנע זוויתי, $L=m\times r\times v$ . אם r מוכפל, גם L יוכפל.

8. בעיה: ילד בעל מסה של 30 ק"ג עומד בקצה של קרוסלה שנמצאת במנוחה. רדיוס הקרוסלה הוא 2 מטר. אם הילד מתחיל לרוץ במהירות של 2 מטר/שנייה ביחס לקרקע לאורך הקצה, מצא את התנע הזוויתי של הילד ביחס למרכז.

פתרון: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 ק"ג.מ"ר ^/ שנייה

9. בעיה: גליל בעל מסה של 6 ק"ג ורדיוס של 2 מטר מסתובב סביב צירו המרכזי במהירות זוויתית של 5 רדיאנים לשנייה. חשב את התנע הזוויתי שלו.

פתרון: ^עבור גליל, I = 1/2 m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5=120 ק"ג ^/ מ"ר/שנייה

10. בעיה: מה יהיה התנע הזוויתי החדש של גוף אם מומנט האינרציה שלו יופחת בחצי ומהירותו הזוויתית תשולש?

פתרון: בהינתן $L=I\times \omega$ , אם $I$ נחצה ו- $\omega$ שולש, ה- $L$ החדש יהיה 1/2×3=1.5 × המקורי.

11. בעיה: חישוק בעל מסה 2 ק"ג ורדיוס 1 מטר מסתובב במהירות זוויתית של 4 רדיאנים לשנייה. חשב את התנע הזוויתי שלו.

פתרון: עבור חישוק, I = m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 ק"ג.מ"ר ^/ שנייה

12. בעיה: למאוורר יש להבים באורך 0.5 מטר ומסה כוללת של 1 ק"ג. אם הוא מסתובב במהירות זוויתית של 10 רדאן/שנייה, קבע את התנע הזוויתי שלו.

פתרון: בהנחה שללהבי המאוורר הם כמו מוטות המסתובבים סביב קצה אחד, I = 1/3 מ"ל / ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10=0.833 ק"ג ^/ מ"ר/שנייה

13. בעיה: חשב את התנע הזוויתי של כדור הארץ סביב צירו עקב סיבובו. נתון: מסת כדור הארץ = 5.972×10^ ²⁴ ק"ג , רדיוס $r=6371\text{ק"מ}$ , ω = 7.27 × 10 ^{^-5} רדיאנים לשנייה.

פתרון: בהנחה שכדור הארץ הוא כדור מוצק, I = 2/5 m ^/ r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. בעיה: ילד נע לעבר מרכז של משטח מסתובב. האם התנע הזוויתי עולה, יורד או נשאר זהה?

פתרון: התנע הזוויתי נשמר. ככל שהילד נע לכיוון המרכז, מומנט האינרציה יורד. כדי לשמר את התנע הזוויתי, המהירות הזוויתית עולה. לכן, התנע הזוויתי נשאר זהה.

15. בעיה: אם האנרגיה הקינטית של גוף מסתובב מוכפלת, באיזה גורם משתנה התנע הזוויתי שלו?

פתרון: אנרגיה קינטית K = 1/2 ​I ω ² ותנע זוויתי $L=I\omega$ . אם האנרגיה הקינטית מוכפלת ו- $I$ נשאר קבוע, ω ² מוכפל. משמעות הדבר היא ש- $\omega$ גדל פי √2 ​. לכן , גם $L$ גדל פי √2 ​.

16. בעיה: לגלגל אופניים ברדיוס של 0.3 מטר יש חישוק שמסתו 1.5 ק"ג. אם הוא מסתובב במהירות זוויתית של 5 רדיאנים לשנייה, מצא את התנע הזוויתי שלו.

פתרון: בהנחה שהשיפה היא חישוק, I = m ^/ r²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 ק"ג ^מ"ר /שנייה

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 ק"ג.מ"ר ^לשנייה​​

17. בעיה: מחליקה על הקרח מושכת את זרועותיה פנימה תוך כדי סיבוב. מה קורה לתנע הזוויתי שלה?

פתרון: התנע הזוויתי של המחליקה נשמר. על ידי משיכת זרועותיה פנימה, היא מקטינה את מומנט האינרציה שלה, וכך היא מסתובבת מהר יותר (מהירות זוויתית מוגברת) כדי לשמר את התנע הזוויתי שלה.

18. בעיה: לגלגל תנופה יש מומנט אינרציה של 0.2 ק"ג ^/ מ"ר (kg /מ"ר ⁾ והוא מסתובב במהירות זוויתית של 10 רדאן/שנייה. מצא את התנע הזוויתי שלו.

פתרון:

$L=I\times \omega$ = 0.2×10=2 ק"ג.מ"ר ^/ שנייה

L = 0.2 × 10 = 2 ק"ג.מ"ר ^/ שנייה​

19. בעיה: על מערכת פועל מומנט חיצוני נטו של אפס. מה ניתן לומר על התנע הזוויתי שלה?

פתרון: אם מומנט הכוח החיצוני נטו הוא אפס, אז לפי שימור התנע הזוויתי, התנע הזוויתי הכולל של המערכת נשאר קבוע.

20. בעיה: מסה נקודתית m = 5 ק"ג נעה במהירות v = 3 מטר/שנייה הניצבת לקו המחבר אותה לנקודה P. אם המרחק מנקודה P הוא 4 מטר, מצא את התנע הזוויתי שלה סביב נקודה P.

פתרון:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s