חומר כפל נקודות באמצעות רכיבי וקטור יחידה
נוכל לחשב את המכפלה הסקלרית ישירות אם אנו יודעים את רכיבי x, y ו-z של וקטורים A ו- B (הווקטורים הידועים).
כדי לבצע מכפלה נקודתית בדרך זו, ראשית נבצע מכפלה נקודתית של וקטורי היחידה, לאחר מכן נבטא את וקטורים A ו- B ברכיביהם, מפרקים את המכפלה ומשתמשים במכפלה של וקטורי היחידה.
וקטורי היחידה i , j ו- k ניצבים זה לזה, מה שמקל על החישובים. באמצעות משוואת הכפל הסקלרית שנגזרה לעיל ( AB = AB cos theta ), נקבל:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
כעת נבטאי את וקטורים A ו-B במונחים של רכיביהם, מפרקים את המכפלה שלהם ונשתמש במכפלה של וקטורי היחידה.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
כי i . i = j . j = k . k = 1 ו- i . j = i . k = j . k = 0, אז:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
א . ב = א x ב x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By ( 1 ) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
בהתבסס על תוצאות חישוב זה, ניתן להסיק כי המכפלה הסקלרית או המכפלה הנקודה של שני וקטורים היא סכום המכפלות של רכיביהם הדומים.
שאלה לדוגמה 1:
וקטור גדול A דן B בהתאמה הם 5 ו-4, כפי שמוצג בתמונה למטה. הזווית שנוצרת היא 90oספרו את זה מוצר נקודה שני הווקטורים.
דִיוּן
לפני שנחשב את המכפלה הנקודה של וקטורים A ו-B, עלינו לדעת תחילה את רכיבי הווקטור השני.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
Az = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
וקטור A מכיל רכיבי וקטור רק על ציר ה-x ולווקטור B מכיל רכיבי וקטור רק על ציר ה-y. רכיב ה-z שווה לאפס מכיוון שוקטורים A ו- B נמצאים במישור ה-xy.
כעת נחשב את המכפלה הנקודה בין וקטורים A ו- B באמצעות משוואת המכפלה הנקודה עם וקטורי הרכיב:
א. ב = אx Bx + AyBy + AzBz
א. ב = (5) (0) + (0) (4) + 0
א. ב = 0 + 0 + 0
א. ב = 0
בואו נשווה את זה לשיטה הראשונה
AB = AB קוס תטא
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
התוצאה זהה.
שאלה לדוגמה 2:
וקטור גדול A דן B הם 5 ו-4 בהתאמה, כפי שמוצג בתמונה למטה. חשב מוצר נקודה שני הווקטורים, אם הזווית שנוצרת היא 30o
דִיוּן
לפני שנחשב את המכפלה הנקודה של וקטורים A ו-B, עלינו לדעת תחילה את רכיבי הווקטור השני.
רכיב z הוא אפס מכיוון שהוקטורים A ו- B נמצאים במישור xy.
כעת נחשב את המכפלה הנקודה בין וקטורים A ו- B באמצעות משוואת המכפלה הנקודה עם וקטורי הרכיב:
השווה עם השיטה הראשונה.
