חומר כפל צולב באמצעות רכיבי וקטור יחידה
אנו יכולים לחשב את המכפלה הצולבת ישירות אם אנו יודעים את רכיבי הווקטורים. ההליך זהה לזה של המכפלה הנקודה . ראשית, אנו מכפילים את וקטורי היחידה i , j ו- k . המכפלה הווקטורית בין אותם וקטורי יחידה היא אפס.
ixi = jxj = kxk = 0
על ידי התייחסות למשוואת הכפל הווקטורית שנגזרה קודם לכן (A x B = AB חטא θ) והתכונה האנטי-קומוטטיבית של כפל וקטורי (A x B = - B x A), אז נקבל:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
כעת נבטאי את וקטורים A ו- B במונחים של רכיביהם, מפרקים את המכפלה שלהם ונשתמש במכפלה של וקטורי היחידה.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) איקס (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
כי i x i = j x j = k x k = 0 דן i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, אז:
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
AzBx ( j ) + AzBy ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
אם C = A x B אז המרכיבים של C הם כדלקמן:
Cx = Ay Bz – Az By
Cy = A z B x – A x B z
Cz = AxBy – AyBx
