Articolo sull'addizione di vettori
1. Quantità di vettori e scalari
Oltre alle grandezze fondamentali e derivate, le grandezze fisiche possono essere ulteriormente suddivise in due tipi: grandezze scalari e grandezze vettoriali. Grandezze come massa, distanza, tempo e volume sono grandezze scalari, ovvero grandezze che possiedono solo un modulo ma non una direzione. Grandezze come spostamento, velocità, accelerazione e forza sono invece grandezze vettoriali, ovvero grandezze che possiedono sia un modulo che una direzione.
a. Differenza tra quantità scalare e vettoriale
Se dici che la massa di una palla è di 400 grammi, questa affermazione è sufficiente per conoscerne la massa. Non hai bisogno della direzione per scoprirla. Lo stesso vale per il tempo, la temperatura, il volume, la densità, ecc. Ci sono diverse grandezze fisiche che non possono essere espresse solo in termini di grandezza. Se dici che un bambino si è spostato di 100 metri, questa affermazione non è sufficiente. Potresti chiedere: dove si è spostato? A nord, a sud, a est o a ovest? Allo stesso modo, se dici di aver spinto un tavolo con una forza di 200 N...
Dove guidi? Bene, tali grandezze sono chiamate grandezze vettoriali, che richiedono una spiegazione della loro magnitudine e direzione. Esempi di grandezze vettoriali sono spostamento, accelerazione, impulso, quantità di moto , ecc. Puoi comprenderle più chiaramente studiando argomenti relativi a queste grandezze.
b. Disegna un vettore
Un vettore è indicato da una freccia. La freccia è sempre disegnata in modo da puntare nella direzione del vettore. La lunghezza della freccia è descritta come l'intensità del vettore. Ad esempio, nella figura è rappresentato un vettore forza (F) di intensità 2 N la cui direzione è verso nord-est o a 45° rispetto all'asse x.
c. Regole per scrivere quantità vettoriali
Nella rappresentazione grafica di un vettore, se si utilizza la scrittura a mano, il simbolo del vettore viene generalmente scritto in corsivo con lettere maiuscole, e sopra di esso va aggiunta una freccia. Nei libri stampati, i simboli vettoriali sono scritti in lettere maiuscole in grassetto, ad esempio F. Per quanto riguarda il modulo del vettore, se si utilizza la scrittura a mano, il modulo del vettore viene scritto, ad esempio, |F|. Nei libri stampati, il modulo del vettore viene scritto in corsivo, ad esempio , F.
2. Somma di vettori: metodi grafici
Esistono diversi modi per aggiungere vettori graficamente, tra cui il metodo coda-punta e il metodo del parallelogramma.
a. Metodo di somma dei vettori dalla coda alla punta
Sono noti i vettori A e B. Il vettore A = 3 cm coincide con l'asse x (verso est). Il vettore B = 2 cm forma un angolo di 30 ° con l'asse x (verso nord-est). Sommare A e B graficamente utilizzando il metodo coda-punta. a) R = A + B b) R = A – B
L'ampiezza del vettore risultante (R) si misura con un righello. La direzione del vettore risultante si misura con un goniometro.
Sono noti i vettori A, B e C. Il vettore A = 3 cm coincide con l'asse x (verso est). Il vettore B = 2 cm forma un angolo di 30 ° con l'asse x (verso nord-est). Il vettore C = 1 cm forma un angolo di 60 ° con l'asse x (verso nord-est). Sommare A, B e C graficamente utilizzando il metodo coda-punta.
a) R = A + B + C
b) R = A – B – C
Il vettore risultante (R) viene misurato con un righello. La direzione del vettore risultante viene misurata con un goniometro.
b. Metodo del parallelogramma
Sono noti i vettori A, B e C. Il vettore A = 3 cm coincide con l'asse x (verso est). Il vettore B = 2 cm forma un angolo di 30 ° con l'asse x (verso nord-est). Il vettore C = 1 cm forma un angolo di 60 ° con l'asse x (verso nord-est). Sommare graficamente A, B e C utilizzando un parallelogramma.
a) R = A + B
b) R = A – B
c) R = A + B + C
d) R = A – B – C
Il vettore risultante (R) viene misurato con un righello. La direzione del vettore risultante viene misurata con un goniometro.
3. Addizione di vettori – aanalitico metodo
Un metodo per determinare l'intensità e la direzione del vettore risultante è quello grafico. L'accuratezza dei risultati dipende dalla precisione con cui si disegna e si legge la scala. L'intensità e la direzione del vettore risultante si ottengono con maggiore precisione tramite calcoli matematici.
a. Calcolare la somma di 2 vettori utilizzando la regola del coseno
La formula per determinare il modulo del vettore risultante è la seguente:
La formula per determinare la direzione del vettore risultante è la seguente:
C = vettore risultante
A = vettore 1
B = vettore 2
cos ∠(A, B) = angolo formato dai vettori A e B
Esempio di problema 1:
F 1 = 2 N forma un angolo di 30° attorno all'asse x, F 2 = 3 N forma un angolo di 60 ° attorno all'asse x, θ = 30 °.
Esempio di problema 2:
F 1 = 2 N coincide con l'asse x, F 2 = 3 N forma un angolo di 90 ° attorno all'asse x, θ = 90 °.
b. Somma di vettori per componenti
Analizziamo un vettore F che forma un certo angolo attorno all'asse x, come mostrato nella figura seguente. Fx e Fy sono i vettori componenti del vettore F.
L'entità del vettore componente viene determinata utilizzando la formula:
F x = F cos θ
F y = F sin θ
Esamina i due vettori F1 e F2 che forma un certo angolo attorno all'asse x, come mostrato nella figura sottostante. F1x e F1y sono componenti del vettore F1, quindi F2x e F2y sono componenti del vettore F2.
Il vettore dei componenti viene determinato utilizzando la formula:
F1x =F1 cosθ
F 1y = F 1 sin θ
F 2x = F 2 cos θ
F 1y = F 1 sin θ
Aggiunta dei vettori dei componenti:
F x = F 1x + F 2x
F y = F 1y + F 2y
Il vettore risultante viene determinato utilizzando la formula:
La direzione del vettore risultante viene determinata utilizzando la formula:
Esempio di problema 1:
Determinare le componenti del vettore F, la cui intensità è di 20 N e che forma un angolo di 30 ° attorno all'asse x.
F x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F y = (20 N)(sen 30 o ) = 10 N
Esempio di problema 2:
La forza F1 = 20 N forma un angolo di 30 ° attorno all'asse x e la forza F2 = 15 N forma un angolo di 180° attorno all'asse x. Determinare il modulo e la direzione del vettore risultante.
F 1x = (20 N)(cos 30 o ) = 17 N
F 2x = F 1 = – 15 N
F 1y = (20 N)(sen 30 o ) = 10 N
F 2y = 0
Aggiunta dei vettori dei componenti:
F x = F 1x – F 2x = 17 N – 15 N = 2 N
F y = 10 N
Il vettore risultante:
F 2 = F x 2 + F y 2 = 2 2 + 10 2 = 4 + 100 = 104
F = 10.2 N
Direzione del vettore risultante:
θ = tan −15 = 78.7 ° rispetto all'asse x
Esempio di problema 3:
F1, F2, e F3 sono 20 N, 30 N e 40 N. F1 forma un angolo di 60o riguardo all'asse x, F2 forma un angolo di 150o riguardo all'asse x e F3 forma un angolo di 315o attorno all'asse x. Determinare il modulo e la direzione del vettore risultante.
F 1x = (20 N)(cos 60 o ) = 10 N
F 1y = (20 N)(sen 60 o ) = 17 N
F 2x = (30 N)(cos 30 o ) = -26 N
F 2y = (30 N)(sen 30 o ) = 15 N
F 3x = (40 N)(cos 45 o ) = 28 N
F 3y = (40 N)(sin 45 o ) = -28 N
Aggiunta del vettore dei componenti:
F x = F 1x – F 2x + F 3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N
Vettore risultante:
F 2 = F x 2 + F y 2 = 12 2 + 4 2 = 144 + 16 = 160
F = 13 N
Direzione del vettore risultante:
θ = tan −1 0.3 = 17 ° rispetto all'asse x
