Somma di vettori tramite componenti: problemi e soluzioni

Somma di vettori tramite componenti: problemi e soluzioni

1. Tre vettori come mostrato nella figura sottostante.

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

Quali sono i vettori risultanti?

Conosciuto :

V ₁ = 30, angolo tra V ₁ e l'asse x = 30 ^°

V ₂ = 30, angolo tra V ₂ e l'asse x = 30 ^°

V ₃ = 40, angolo tra V ₃ e l'asse x = 0 ^°

Cercasi: i vettori risultanti

soluzione:

Le componenti dei vettori :

V _1x = (V ₁ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x positivo (verso destra).

V _1y = (V ₁ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse y positivo (verso l'alto).

V _2x = (V ₂ )(cos 30 ^o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Negativo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x negativo (verso sinistra).

V _2y = (V ₂ )(sin 30 ^o ) = (30)(0.5) = 15. Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse y positivo (verso l'alto).

V _3x = (V ₃ )(cos 0 ^o ) = (40)(1) = 40. Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x positivo (verso destra).

V _3y = (V ₃ )(sen 0 ^o ) = (40)(0) = 0

Le componenti dei vettori risultanti:

V _x = V _1x – V _2x + V _3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40

Vy ₌ V1y ₊ V2y + V3y ₌ 15 + 15 = ₃₀

Il vettore risultante :

2. Due forze perpendicolari tra loro, F ₁ = 12 N e F ₂ = 5 N. Qual è la risultante di entrambe le forze?

Conosciuto :

Forza 1 (F ₁ ) = 12 Newton

Forza 2 (F ₂ ) = 5 Newton

Richiesto: I vettori risultanti ( ΣF)

soluzione:

ΣF ² = F ₁ ² + F ₂ ² = 12 ² + 5 ² = 144 + 25 = 169

ΣF = √ 169 = 13 Newton

3. Tre vettori,

V₁ = 30

V ₂ = 30

V ₃ = 40

Determinare i vettori risultanti.

Conosciuto :

v ₁ = 30, fa 30 ^° attorno all'asse x negativo

v ₂ = 30, fa sì che 30 ^{° sia} attorno all'asse x positivo

v ₃ = 40, fa sì che 0 ^{° sia} attorno all'asse x positivo

Cercasi: i vettori risultanti

soluzione:

Le componenti dei vettori:

v _1x = v ₁ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Negativo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x negativo (verso sinistra) )

v _1y = v ₁ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse y positivo (verso l'alto) )

v _2x = v ₂ cos 30 ^o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x positivo (verso destra ) )

v _2y = v ₂ sin 30 ^o = (30)(0.5) = 15 ( Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse y positivo (verso l'alto). )

v _3x = v ₃ cos 0 ^o = (40)(1) = 40 ( Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x positivo (verso destra). )

v _3y = v ₃ sin 0 ^o = (40)(0) = 0

Le componenti dei vettori risultanti:

v _x = – v _1x + v _2x + v _3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40

vy ₌ v1y ₊ v2y + _{v3y = 15} + 15 = 30

Il vettore risultante:

4. Qual è il vettore risultante dei tre vettori mostrati nella figura seguente?

Conosciuto :

F₁ = 3 Newton, fa 60^o riguardo all'asse x positivo

F ₂ = 3 Newton, fa sì che 0 ^{° sia} attorno all'asse x negativo

F ₃ = 6 Newton , compie 60 ^o attorno all'asse y negativo

Cercasi: il vettore risultante

soluzione:

Le componenti dei vettori:

F _1x = F ₁ cos 60 ^o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x positivo (verso destra ) )

F _1y = F ₁ sin 60 ^o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse y positivo (verso l'alto) )

F _2x = F ₂ cos 0 ^o = (3)(1) = -3 N ( Negativo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x negativo (verso sinistra) )

F _2y = F ₂ sin 0 ^o = (3)(0) = 0

F _3x = F ₃ cos 60 ^o = (6)(0.5) = 3 N ( Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x positivo (verso destra ) )

F _3y = F ₃ sin 60 ^o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Negativo perché questa componente vettoriale punta lungo l' asse y negativo (verso il basso ) )

Le componenti dei vettori risultanti:

ΣF _x = F _1x – F _2x + F _3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N

ΣF _y = F _1y + F _2y – F _3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N

Il vettore risultante:

5. Due forze, F1 = ₁₅ N e F2 _{= 9 N. L'angolo tra i due vettori è} di 60°. Qual è il vettore risultante?

Ricercato :

Forza 1 (F ₁ ) = 15 Newton

Forza 2 (F ₂ ) = 9 Newton

Angolo ( θ) = 60 ^°

Cercasi: il vettore risultante

soluzione:

6. Qual è il vettore risultante dei tre vettori mostrati nella figura sottostante?

Conosciuto :

F₁ = 20 Newton, angolo tra F₁ e asse x = 0

F ₂ = 20 Newton, angolo tra F ₂ e l'asse x = 60

F ₃ = 24 Newton, angolo tra F ₃ e l'asse x = 60

Cercasi: il vettore risultante

soluzione:

Le componenti dei vettori:

F _1x = (F ₁ )(cos 0) = (20)(1) = 20. Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x positivo (verso destra ).

F _1y = (F ₁ )(sen 0) = (20)(0) = 0

F _2x = (F ₂ )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Negativo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x negativo (verso sinistra)

F _2y = (F ₂ )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positivo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse y positivo (verso l'alto)

F _3x = (F ₃ )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Negativo perché questa componente vettoriale punta lungo l'asse x negativo (verso sinistra)

F _3y = (F ₃ )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N negativo perché questa componente vettoriale punta lungo l' asse y negativo (verso il basso )

Le componenti dei vettori risultanti:

F _x = F _1x – F _2x – F _3x = 20 – 10 – 12 = -2

F _y = FA _1y + FA _2y – FA _3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3

Il vettore risultante: