Mann-Whitney prófið í tölfræði
Tölfræði er grein stærðfræðinnar sem fjallar um söfnun, greiningu, túlkun og framsetningu gagna. Tölfræði er notuð á ýmsum sviðum til að taka gagnadrifnar ákvarðanir. Ein algeng aðferð í tölfræði er Mann-Whitney prófið (einnig þekkt sem Mann-Whitney U prófið eða Wilcoxon raðsummuprófið). Þetta er óparametrísk aðferð sem notuð er til að ákvarða hvort marktækur munur sé á milli tveggja óparaðra hópa.
Kynning á Mann-Whitney prófinu
Mann-Whitney prófið var kynnt til sögunnar af Henry Mann og Donald Whitney árið 1947 sem óbreytanleg valkostur við t-prófið. Þessi aðferð krefst ekki þess að gengið sé út frá eðlilegri dreifingu. Þess vegna er hún sérstaklega gagnleg þegar gögnin fylgja ekki eðlilegri dreifingu eða þegar úrtaksstærðin er of lítil til að staðfesta eðlilega forsendu.
Grunnreglur Mann-Whitney prófsins
Mann-Whitney prófið er notað til að bera saman miðgildi tveggja hópa. Meginreglan er:
1. Röðun athugunarinnar: Öll gögn úr báðum hópunum eru sameinuð og raðað frá minnsta til hæsta. Ef gildin eru eins er hver athugun raðað eftir meðaltali réttrar röðunar.
2. Útreikningur á tölfræðilegri prófun: Tölfræðilega prófunargildið (U) er reiknað út frá summu röðunar fyrir hvern hóp. Það eru tvær leiðir til að reikna út: önnur sem byrjar á fyrri hópnum og hin með seinni hópnum.
– Almenna formúlan fyrir U er:
\[
U_1 = n_1 × n_2 + \frac{n_1 × (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
atau
\[
U_2 = n_1 × n_2 + \frac{n_2 × (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
Hvar:
– \(n_1\) og \(n_2\) eru fjöldi athugana í hverjum hópi,
– \(R_1\) og \(R_2\) eru fjöldi raða í hverjum hópi.
3. Marktæknipróf: Marktækniprófið er framkvæmt til að ákvarða p-gildi. Við stór úrtök er hægt að nálga U-dreifinguna með normaldreifingu.
Forsendur í Mann-Whitney prófinu
Þótt Mann-Whitney prófið sé óparametrískt próf og krefjist ekki forsendu um normaldreifingu, þá eru nokkrar tengdar forsendur sem verða að vera uppfylltar til að niðurstöðurnar séu réttmætar:
1. Óhæði: Hver athugun í báðum hópunum verður að vera óháð hver annarri.
2. Raðtölu- eða millibilskvarði: Gögnin verða að vera á raðtölu- eða millibilskvarða. Þetta þýðir að hægt er að flokka gögnin og þau innihalda upplýsingar um röðun.
3. Dreifingarsvið: Dreifing beggja hópa verður að hafa sömu lögun (þó miðgildið geti verið mismunandi).
Skref í framkvæmd Mann-Whitney prófsins
Eftirfarandi eru skrefin sem venjulega eru fylgt til að framkvæma Mann-Whitney prófið:
1. Sameina og raða gögnum: Sameina gögnin úr báðum hópunum og raða þeim í heild. Röðun er gefin eftir röð með leiðréttingum fyrir röðun tengdri meðaltali.
2. Reiknaðu fjölda röðunar: Reiknaðu fjölda röðunar fyrir hvern hóp.
3. Ákvörðun U-gildis tölfræðinnar: Notið formúluna sem útskýrð var áður til að reikna út U-gildi fyrir báða hópana.
4. Ákvörðun á gagnrýnu gildi eða p-gildi: Berið saman fengið U-gildi við gagnrýnu gildið úr U-dreifingartöflunni (eða reiknið p-gildið) til að ákvarða hvort munurinn á hópunum sé tölfræðilega marktækur.
Til dæmis, gerum ráð fyrir að við höfum tvö gagnasöfn, A og B. Þessi gögn gætu táknað tvær mismunandi meðferðir við tilteknum sjúkdómi og við viljum vita hvort önnur meðferðin sé áhrifaríkari en hin.
Hagnýtt dæmi
Segjum að við höfum tvo meðferðarhópa:
– Meðferð A: [85, 90, 88, 75, 91]
– Meðferð B: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Sameining og flokkun gagna:
– Samsett: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Röðun og röðun: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. Útreikningur á fjölda stiga:
– Fjöldi einkunna fyrir meðferð A: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– Fjöldi einkunna fyrir meðferð B: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. Útreikningur á U-gildi:
\[
U_A = n_1 × n_2 + \frac{n_1 × (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 × 5 + \frac{5 × (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 × n_2 + \frac{n_2 × (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 × 5 + \frac{5 × (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Veldu lægra U-gildi, þ.e. U = 11.
4. Að ákvarða mikilvægi:
Berið saman fengið U-gildi við gagnrýnið U-gildi úr Mann-Whitney dreifingartöflunni eða reiknið p-gildið. Ef U er minna en gagnrýnið gildi eða p-gildið er lægra en alfa (t.d. 0,05), höfnum við núlltilgátunni og drögum þá ályktun að marktækur munur sé á milli hópanna tveggja.
Kostir og takmarkanir Mann-Whitney prófsins
Yfirburðir:
1. Óparametrísk: Krefst ekki forsendu um normaldreifingu.
2. Sveigjanleiki: Hægt að nota þegar gögnin eru á raðtölukvarða eða innihalda útlæga gildi.
3. Einfalt og áhrifaríkt: Auðvelt að reikna út og túlka.
Keterbatasan:
1. Tap á skilvirkni: Í normaldreifingu er t-prófið skilvirkara.
2. Gert er ráð fyrir sömu dreifingarformi: Þessi prófun gerir ráð fyrir sömu dreifingarformi milli hópanna tveggja.
3. Bundið við lítil úrtök: Asymptotíska dreifingin gæti verið ónákvæmari fyrir mjög lítil úrtök.
Niðurstaða
Mann-Whitney prófið er öflugt og sveigjanlegt óparametrískt tól til að greina mun á tveimur ópöruðum hópum. Með því að skilja grunnreglur þess og framkvæmdarskref getum við notað þetta próf í fjölbreyttum tilgangi á ýmsum rannsóknarsviðum. Þótt það hafi sínar takmarkanir, þá gera kostir þess við ákveðnar aðstæður það að mjög verðmætri aðferð í tölfræði.
