Bootstrap aðferðin í tölfræði
Pendahuluan
Tölfræði er sú vísindagrein sem miðar að því að safna, greina, túlka og kynna gögn. Tölfræðileg greining byggir oft á ákveðnum forsendum eða líkindakenningum sem krefjast stórra úrtaksstærða til að fá nákvæmar áætlanir. Hins vegar er í mörgum tilfellum hvorki hagnýtt né mögulegt að fá stór úrtök. Þá verður endurúrtaksaðferðin (e. bootstrap method), sem er aðferð til að endurtaka úrtök, mjög gagnleg.
Bootstrap-aðferðin var fyrst kynnt af Bradley Efron árið 1979 og hefur orðið ein vinsælasta aðferðin í tölfræði vegna sveigjanleika hennar og getu til að framleiða nákvæmar áætlanir fyrir marga íbúafjöldabreytur án þess að þurfa að gera sérstakar forsendur um dreifingu. Í þessari grein verður fjallað um grunnreglur bootstrap-aðferðarinnar, framkvæmdarskref hennar og nokkur dæmi um notkun hennar í tölfræði.
Grunnreglur Bootstrap aðferðarinnar
Bootstrap aðferðin er óbreytanleg aðferð sem gerir okkur kleift að meta dreifingu tölfræði (t.d. meðaltal, miðgildi, dreifni) með því að endurtaka úrtak úr upprunalegum gögnum. Grunnreglan á bak við þessa aðferð er að nota núverandi gögn (upprunalega úrtakið) til að herma eftir mörgum nýjum gagnasöfnum með endurtekinni úrtöku.
Eftirfarandi eru grunnskrefin sem tekin eru í bootstrap aðferðinni:
1. Endurtaka úrtak: Endurtaka úrtakið N sinnum úr upprunalega gagnasafninu af stærð N með endurnýjun. Þetta þýðir að hægt er að velja þættina sem valdir eru til greiningar oftar en einu sinni.
2. Reikna tölfræði: Reiknaðu út æskilega tölfræði (t.d. meðaltal, miðgildi) fyrir hvert endurúrtak.
3. Endurtakið ferlið: Endurtakið skref 1 og 2 nokkrum sinnum (t.d. B=1000 eða meira) til að fá „bootstrap“-dreifingu þeirrar tölfræði sem þið hafið áhuga á.
4. Mat og niðurstaða: Notið þessa bootstrap-dreifingu til að búa til öryggisbil, prófa tilgátur eða búa til aðra ályktunartölfræði.
Innleiðingarstig Bootstrap
Hægt er að útskýra bootstrap aðferðina nánar í eftirfarandi skrefum:
1. Endurtaka sýnatöku
Endurúrtak með endurnýjun er kjarni ræsiaðferðarinnar. Með því að nota upprunalegu gögnin búum við til mörg ný gagnasöfn, kölluð ræsisýni. Hvert ræsisýni er niðurstaða úrtaks N sinnum úr upprunalega gagnasafninu af stærð N, en með endurnýjun, þannig að þættir í upprunalega úrtakinu geta komið fyrir oftar en einu sinni í ræsisýnunum.
Dæmi:
Ef við höfum upprunalegu gögnin \[3, 5, 7, 9\], þá gæti eitt mögulegt bootstrap sýni verið \[3, 9, 9, 5\].
2. Útreikningur á Bootstrap tölfræði
Fyrir hvert bootstrap úrtak, reiknið út æskilega tölfræði. Segjum sem svo að við höfum áhuga á meðaltalinu, þá myndum við reikna meðaltalið fyrir hvert bootstrap úrtak. Ef við endurtökum þetta ferli B sinnum, þá fáum við B mat á meðaltalinu.
3. Að mynda Bootstrap-dreifingu
Með því að sameina alla tölfræði sem reiknuð er út frá B bootstrap úrtökum, búum við til bootstrap dreifingu fyrir viðkomandi tölfræði. Þessi dreifing er notuð til að nálga úrtaksdreifingu tölfræðinnar.
4. Tölfræðileg ályktun
Út frá þessari „bootstrap“-dreifingu getum við dregið ýmsar tölfræðilegar ályktanir. Til dæmis getum við ákvarðað öryggisbil með því að taka hundraðshluti úr „bootstrap“-dreifingunni eða prófað tilgátur með því að skoða p-gildið sem fæst úr þessari dreifingu.
Dæmi um notkun Bootstrap aðferðarinnar
Til að fá skýrari mynd skulum við skoða nokkur dæmi um hvernig bootstrap-aðferðin er notuð í hagnýtum samhengi.
Dæmi 1: Meðalöryggisbil
Segjum sem svo að við höfum úrtök af líkamsþyngd 10 einstaklinga sem hér segir: \[60, 62, 67, 70, 65, 68, 64, 60, 66, 63\].
1. Úr þessum gögnum tökum við 1000 bootstrap sýni af sömu stærð, til dæmis:
– Dæmi 1: \[62, 67, 70, 67, 64, 62, 63, 65, 68, 60\]
– Dæmi 2: \[60, 62, 70, 70, 63, 64, 63, 65, 68, 62\]
- o.s.frv.…
2. Út frá hverju bootstrap úrtaki reiknum við meðaltalið:
– Meðaltal úrtaks 1: (62+67+70+67+64+62+63+65+68+60) / 10
– Meðaltal úrtaks 2: (60+62+70+70+63+64+63+65+68+62) / 10
- o.s.frv.…
3. Með því að endurtaka þetta skref 1000 sinnum fáum við 1000 meðalþyngdir.
4. Með þessum 1000 meðaltölum af gögnum myndum við „bootstrap“-dreifingu og tökum 2.5. og 97.5. hundraðshlutann til að búa til 95% öryggisbil.
Dæmi 2: Prófun á margfeldi miðgildistilgátu
Segjum sem svo að við viljum prófa hvort miðgildi tveggja gagnasafna séu jöfn. Við getum notað bootstrapping til að búa til dreifingu mismunarins á miðgildunum.
1. Taktu bootstrap sýni úr hverju af upprunalegu gagnasöfnunum.
2. Reiknið miðgildi mismunarins fyrir hvert bootstrap úrtak.
3. Búðu til dreifingu á miðgildismismuninum í bootstrap.
4. Athugaðu hvort núllið fellur innan öryggisbils dreifingarinnar.
Kostir og takmarkanir Bootstrap aðferðarinnar
Ofgnótt
– Óparametrískt: Krefst ekki forsendna um gagnadreifingu.
– Árangur fyrir lítil úrtök: Árangursríkt jafnvel fyrir lítil úrtök.
– Sveigjanlegt: Hægt að nota á ýmsa tölfræði, þar á meðal meðaltal, miðgildi, aðhvarfsgreiningarstuðul o.s.frv.
– Auðveld innleiðing: Með framþróun tölvutækni er bootstrap-aðferðin frekar auðveld í innleiðingu með hjálp tölfræðihugbúnaðar eins og R eða Python.
Takmarkanir
– Reiknikostnaður: Getur krafist mikilla reikniauðlinda, sérstaklega þegar gögnin eru stór eða fjöldi ræsisýna (B).
– Fjölbreytni úrtaks: Hentar aðeins fyrir úrtök sem eru nægilega dæmigerð fyrir upprunalega þýðið.
– Verndar ekki gegn skekkju: Ef upprunalegu gögnin eru skekkt, þá munu öll bootstrap-sýni innihalda sömu skekkju.
Niðurstaða
Bootstrap-aðferðin býður upp á öfluga og sveigjanlega lausn á mörgum tölfræðilegum ályktunarvandamálum. Með getu sinni til að meta dreifingu ýmissa tölfræðigagna á skilvirkan hátt án þess að gera ráð fyrir neinum ákveðnum dreifingum hefur bootstrap-aðferðin orðið verðmætt tæki í gagnagreiningu. Þrátt fyrir takmarkanir sínar vega ávinningurinn sem hún býður upp á oft þyngra en útreikningskostnaðurinn. Þegar hún er notuð á réttan hátt getur bootstrap-aðferðin veitt ríka og nákvæmari innsýn í tölfræðilega greiningu.
