Einingarvigrar – vandamál og lausnir

Einingarvigrar – vandamál og lausnir

1. Hlutur hreyfist með hraðanum v = (2i − 1.5j) m/s. Hver er tilfærsla hlutarins eftir 4 sekúndur?

Þekkt:

Láréttur hluti hraðans (v _x ) = 2 m/s

Lóðrétta þátturinn af hraðanum (v _y ) = 1.5 m/s

Tímabil (t) = 4 sekúndur

Óskað eftir: Flutningur

Lausn:

Niðurstaða hraðans (v):

Tilfærsla:

s = vt = (2.5 m/s)(4 s)

s = 10 metrar

2. Vigur F1 = ₁₄ N og F2 ₌ 10 N. Ákvarðið niðurstöðuvigurinn ef hann er tilgreindur í R = i + j.

Lausn:

Þættir vigra:

F1x ₌ (F1 ₎ (cos 60 ^o ) = (14)(0.5) = -7 N (Neikvætt vegna þess að þessi vigurþáttur bendir eftir neikvæða x-ásnum (til vinstri))

F1y ₌ (F1 ₎ (sin 60 ^o ) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (Jákvæð vegna þess að þessi vigurþáttur bendir eftir jákvæða y-ásnum (til hægri))

F²x = ₁₀ N

F²y ₌ 0

Þættir vigranna sem myndast:

Fx ₌ F1x + _F2x + _{F3x = -7 + 10} = 3N

F _y = F _1y + F _2y + F _3y = 7√3 + 0 = 7√3 N

Niðurstöðuvigurinn í einingarvigri:

R = 3 i + 7√3 j

1. Hvað er einingarvigur? svarEiningarvigur er vigur sem hefur stærðargráðuna 1. Hann táknar venjulega stefnu án þess að gefa neinar upplýsingar um stærðargráðu.
2. Hvers vegna eru einingavigrar mikilvægir í vigurstærðfræði og eðlisfræði? svarEiningarvigrar eru nauðsynlegir því þeir bjóða upp á stöðlaða leið til að lýsa áttum. Hægt er að kvarða þá um stærðargráðu til að framleiða vigur með æskilegri lengd í ákveðna átt.
3. Hvernig færðu einingarvigur út frá gefnum vigri? svarEiningarvigur í stefnu gefns vigurs fæst með því að deila vigrinum með stærð hans.
4. Hvaða einingavigrar eru staðlaðir í kartesískum hnitum og hverjar eru stefnur þeirra? svarStaðlaðir einingavigrar í kartesískum hnitum eru i, jog k. i bendir í átt að x-ásnum, j bendir í átt að y-ásnum, og k bendir í átt að z-ásnum.
5. Getur einingarvigur haft aðra þætti en 1 eða -1? svarJá. Þættir einingarvigurs eru háðir stefnu hans. Aðeins einingarvigrarnir eru í takt við hnitaásana (eins og i, j, k í kartesískum hnitum) mun hafa hluta 1, -1 eða 0.
6. Er summa tveggja einingavigra endilega einingavigur? svarNei. Summa tveggja einingavigra er almennt ekki einingarvigur nema vigrarnir tveir séu samlínulegir og gagnstætt stefnufullir.
7. Er hægt að kvarða einingarvigur til að tákna vigur með mismunandi stærðargráðu en sömu stefnu? svarJá. Að margfalda einingarvigur með skalar breytir stærð hans en heldur stefna hans óbreyttri.
8. Hver er stærð víxlmargfeldi tveggja einingavigra? svarStærð víxlmargfeldis tveggja einingarvigra er jöfn sínus hornsins á milli þeirra. Hámarksgildið er 1 þegar vigrarnir eru hornréttir og lágmarksgildið er 0 þegar vigrarnir eru samsíða.
9. Hvers vegna gefur punktmargfeldi tveggja einingarvigra kósínus hornsins á milli þeirra? svarFormúlan fyrir punktmargfeldið fyrir tvo vigra er gefin með margfeldi stærða þeirra og kósínus hornsins á milli þeirra. Þegar báðir vigrarnir eru einingarvigrar eru stærðir þeirra 1, þannig að punktmargfeldið einfaldast í aðeins kósínus hornsins.

10. Hvernig er hugtakið einingarvigur útvíkkað í hnitakerfi sem ekki eru kartesísk? Svar : Í hnitakerfum sem ekki eru kartesísk, eins og kúlu- eða sívalningshnitum, eru mismunandi einingarvigrar sem samsvara hverri hnitastefnu. Til dæmis, í kúluhnitum eru einingarvigrarnir r (geislastefnu), θ (pólhornsstefnu) og φ (asimútstefna).