Hringhreyfing – vandamál og lausnir

Hringlaga hreyfing – vandamál og lausnir

1. Hlutur sem vegur 10 kg hreyfist í hring með föstum hraða, 4 m/s. Ef radíus hringsins er 0.5 metrar, þá:

1) Tíðni hringja er 4/π Hz

2) Miðlægingarhröðunin er 32 ms ^-2

3) Miðlægingarkrafturinn er 320 N

4) Tímabilið er 4π s.

Hverjar eru sannar fullyrðingar?

Þekkt:

Massi hlutar (m) = 10 kg

Línulegur hraði (v) = 4 m/s

Radíus hringsins (r) = 0.5 metrar

Lausn:

1) Tíðni hringsins

v = 2π rf

4 = 2π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π Hertz

2) Miðlæga hröðunin

a _s = ^v² / r = 4² ^/ 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/ ^s²

3) Miðlægingarkrafturinn

F = ma _s = (10)(32) = 320 N

4) Tímabil

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. Hlutur hreyfist í hring með radíus 6 metra. Ef hluturinn fer 16 hringi á 2 mínútum, hver er þá línuhraði hlutarins?

Þekkt:

Radíus (r) = 6 metrar

Hornhraðinn (ω) = 16 snúningar / 2 mínútur = 8 snúningar / mínútur = 8 snúningar / 60 sekúndur = 0.13 snúningar/sekúnda.

Óskað eftir: Línulegur hraði (v)?

Lausn:

v = r ω = (6 metrar)(0.13 snúningar/sekúndu) = 0.8 metrar/sekúndu

Í radíönum:

1 bylting = 2π radíanar = 2(3.14) = 6.28 radíanar

Hornhraðinn = 8 (6.28) radíanar / 60 sekúndur = 50.24 radíanar / 60 sekúndur = 0.84 radíanar/sekúndu

v = r ω = (6 metrar)(0.84 radíanar/sekúndu) = 5.04 radíanar/sekúndu.

3. Hlutur með radíus 20/π cm snýst 4 sinnum á 1 sekúndu. Hver er línulegur hraði brúnar hlutar?

Þekkt:

Radíus (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 metrar

Hornhraðinn (ω) = 4 snúningar / 1 sekúnda = 4 snúningar / sekúnda.

1 bylting = (2)(3.14) radíanar = 6.28 radíanar

Hornhraðinn (ω) = (4)(6.28) radíanar/sekúndu = 25.12 radíanar/sekúndu

Óskað: Línulegur hraði brúnar hlutarins (v)

Lausn:

v = r ω = (0.064 metrar)(25.12 radíanar/sekúndu) = 1.6 metrar/sekúndu

4. Hlutur sem hreyfist í hring með föstum hraða, línulegur hraði hlutarins fer eftir…

Lausn:

Jafna línuhraða hringhreyfingarinnar:

v = línulegur hraði

d = 2πr = ummál

T = tímabil = tíminn sem þarf til að framkvæma eina heila snúning.

5. Hlutur hreyfist í hring með 50 metra radíus. Ef hornhraði hlutarins er 120 snúningar á mínútu (rpm), hver er þá tímabilið og línuhraði hlutarins?

Þekkt:

Radíus (r) = 50 cm = 0.5 metrar

Hornhraðinn (ω) = 120 snúningar á mínútu = 120 snúningar / 1 mínúta = 120 snúningar / 60 mínútur = 2 snúningar / 1 sekúnda

1 bylting = 2π radíanar

Hornhraðinn (ω) = 2 (2π radíanar) / 1 sekúnda = 4π radíanar/sekúnda

Óskað er eftir: Tímabilið (T) og línuhraðinn (v)

Lausn:

Tímabil (T):

Tímabil er sá tími sem þarf til að framkvæma eina heila byltingu.

Hlutur snýst tvær snúningar á 1 sekúndu = 1 snúningur á 0.5 sekúndum. Snúningstími = 0.5 sekúndur.

Línulegur hraði (v):

v = r ω = (0.5 metrar)(4π radíanar/sekúndu) = 2π metrar/sekúndu.

Hver er munurinn á snertihraða og hornhraða í hringhreyfingu?
Svar : Tangenshraði er línulegur hraði punkts á snúningshluta og hann gefur til kynna hversu hratt punkturinn hreyfist eftir hringlaga braut sinni. Hornhraði vísar hins vegar til þess hversu hratt hornið breytist þegar hluturinn snýst. Tangenshraði er venjulega mældur í metrum á sekúndu (m/s) en hornhraði er venjulega mældur í radíönum á sekúndu (rad/s).
Hvað er miðleiðingarhröðun og hvernig tengist hún hringhreyfingu?
Svar : Miðlægingarhröðun er sú hröðun sem hlutur upplifir þegar hann hreyfist í hringlaga braut. Hún bendir alltaf að miðju hringsins og ber ábyrgð á að halda hlutnum í hringlaga braut sinni. Formúlan fyrir miðlæga hröðun er $a_{c} = v² ^{/ r}$ þar sem $v$ er snertihraðinn og $r$ er radíus hringsins.
Hvers vegna hefur hlutur í jafnri hringlaga hreyfingu hröðun jafnvel þótt hraði hans sé stöðugur?
Svar : Þó að stærð (eða stærð) hraðans sé stöðug í jafnri hringhreyfingu, breytist stefna hraðans. Þar sem hröðun er skilgreind sem breyting á hraða og hraði er vigurstærð með bæði stærð og stefnu, þá telst öll breyting á stefnu hröðun. Í þessu tilfelli er það miðgönguhröðun.
Hvernig tengist krafturinn sem þarf til að viðhalda hringhreyfingu massa hlutarins og radíus hringsins?
Svar : Krafturinn sem þarf til að viðhalda hringhreyfingu er gefinn með formúlunni fyrir miðleiðingarkraftinn: $F_{c} = m \times a_{c} = m \times v² ^{/ r}$
Af hverju finnst þér þú vera ýtt út á við þegar bíll tekur skarpa beygju (t.d. í hringtorg)?
Svar : Þetta er vegna „uppspunnins“ miðflóttaafls, sem er skynjaður kraftur sem verkar út á við á hlut sem hreyfist í hringlaga braut. Þetta er ekki raunverulegur kraftur í þeim skilningi að hann ýtir eða togar, heldur frekar áhrif tregðu. Líkaminn vill hreyfast í beinni línu (fyrsta lögmál Newtons), en veggir bílsins eða öryggisbelti beita krafti til að halda þér á hreyfingu í hring. Þetta skapar tilfinningu um að vera ýtt út á við.
Hvaða hlutverki gegnir núningur í hringlaga hreyfingu, sérstaklega þegar bíll beygir á vegi?
Svar : Núningur milli dekkja og vegarins veitir nauðsynlegan miðleiðingarkraft sem gerir bíl kleift að snúa. Án nægilegs núnings myndi bíllinn renna eða skríða og ekki fylgja fyrirhugaðri hringleið.
Hvernig breytist miðleiðingarkrafturinn ef radíus hringleiðarinnar er helmingaður en hraðinn helst sá sami?
Svar : Ef radíusinn er helmingaður og hraðinn helst sá sami, þá tvöfaldast miðleiðingarkrafturinn, þar sem miðleiðingarkrafturinn er í öfugu hlutfalli við radíusinn.
Af hverju getum við ekki haft miðflóttaafl án miðleiðingarafls í hringlaga hreyfingu?
Svar : Miðflóttakraftur er hvarfgjarn eða „uppspunninn“ kraftur sem sést í snúningsviðmiðunarkerfi. Hann virðist ýta hlutum út á við frá snúningsmiðju. Hins vegar, til þess að hlutur hreyfist í hringlaga braut, verður að vera raunverulegur kraftur sem verkar að miðjunni, sem er miðflóttakrafturinn. Án miðflóttakrafts væri engin hringhreyfing til að byrja með og því engin skynjun á miðflóttakrafti.
Hvernig er þyngdarkrafturinn milli jarðar og tunglsins ábyrgur fyrir hringlaga braut tunglsins?
Svar : Þyngdarkrafturinn milli jarðar og tunglsins virkar sem miðgöngukraftur sem heldur tunglinu á braut sinni um jörðina. Án þessa þyngdarafls myndi tunglið hreyfast í beinni línu í stað þess að vera hringlaga (eða réttara sagt sporöskjulaga) braut.
Ef strengur sem er bundinn við kúlu er styttur um helming á meðan kúlunni er snúist í hring á sama hraða, hvernig myndi spennan í strengnum breytast?

Svar : Ef lengd strengsins (sem samsvarar radíus hringleiðarinnar) er helminguð en hraðinn helst stöðugur, þá tvöfaldast miðleiðingarkrafturinn sem þarf (og þar með spennan í strengnum). Þetta er vegna þess að miðleiðingarkrafturinn (og að mismunandi mæli, spennan í þessu tilfelli) er í öfugu hlutfalli við radíusinn.