30 Beiting fyrsta lögmáls varmafræðinnar í sumum varmafræðilegum ferlum (ísóberísk ísótermísk ísókórísk)
1. Grafið hér að neðan sýnir varmafræðilega hringrás gass. Vinna sem gasið vinnur í ferlinu ABCD er …
Þekkt:
Þrýstingur 1 (P1 ) = 2 x 105 Pa
Þrýstingur² (P² ) = 4 x 105 Pa
Rúmmál 1 (V² ) = 1 m³
Rúmmál 2 (V² ) = 3 m³
Óskað er eftir: Vinna sem gas framkvæmir með ferlinu ABCD (W).
Lausn:
Vinna sem gas vinnur er jöfn flatarmáli ABCD.
W = (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
W = (4 x 10 5 – 2 x 10 5 )(3 – 1)
W = (2 x 105 ) (2)
W = 4 x 10⁶ Júl
2. Vinna sem gas vinnur á ferli ABC er…
Þekkt:
Þrýstingur² (P² ) = 3 x 105 Pa
Þrýstingur² (P² ) = 6 x 105 Pa
Rúmmál 1 (V1 ) = 20 cm³ = 20 x 10⁻⁶ m³
Rúmmál 2 (V2 ) = 60 cm³ = 60 x 10⁻⁶ m³
Óskað er eftir : Vinna sem gas vinnur á ferli ABC
Lausn:
Vinna sem gasið vinnur = flatarmál ABC.
W = ½ (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
B = 1/2 (6 x 10⁻⁶ – 3 x 10⁻⁶ )(60 x 10⁻⁶ – 20 x 10⁻⁶ )
B = 1/2 (3 x 10⁻⁶ ) (40 x 10⁻⁶ )
W = 1/2 (120 x 10-1 Júl )
W = 1/2 (12 joule)
W = 6 Júl
3. PV-rit fyrir gas í lokuðu íláti eins og sýnt er á myndinni hér að neðan. Vinna sem gasið vinnur í hvaða ferli er sýnd.
lausn
Ferli AB og ferli DC eru ísóbarísk ferli (þrýstingurinn er haldið stöðugum) . Ferli AD og ferli BC eru ísóbarísk ferli ( rúmmál breytist ekki).
Vinnan var unnin með gasi þegar gasið þenst út (ferli jafnstraumur).
Hér eru 9 vandamál og lausnir sem tengjast ísóbarferlinu (stöðugum þrýstingi):
Vandamál 1:
3.0 m³ gas við fastan þrýsting er þjappað niður í 2.0 m³. Ef upphafshitastigið er 300 K, hvert er þá lokahitastigið?
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir ísóbarískt ferli: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\), getum við leyst lokahitastigið:
\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} \implises T_2 = \frac{2.0 \times 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]
Vandamál 2:
Reiknið vinnuna sem 2 mól af gasi vinna þegar þau þenjast út ísóbarískt úr 1 lítra í 3 lítra við 2 atm.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir vinnu sem unnin er í ísóbarískum ferli: \( W = P \ΔV \):
\[
W = 2, atm x (3 – 1), lítrar = 4, atm
\]
Vandamál 3:
Hver er breytingin á innri orku þegar 4 mól af kjörinni tvíatóma gasi eru hituð við stöðugan þrýsting frá 200 K upp í 300 K?
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á innri orku við fastan þrýsting fyrir tvíatóma gas: \( ΔU = nC_pdT \), þar sem \( C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
ΔU = 4 × −7 × 2 × 8.314 × (300 – 200) u.þ.b. 6990, J
\]
Vandamál 4:
Reiknið út þann varma sem bætist við í ísóbarísku ferli þegar 2 mól af einatóma gasi þenjast út úr 5 lítrum í 10 lítra við 400 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir varmaflutning í ísóbarísku ferli: \( Q = nC_pdT \), þar sem \( C_p = \frac{5}{2}R \) og \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):
\[
Q = 2 × 5 × 2 × 8.314 × (400 × 10 × 5 – 400) = 3316, J
\]
Vandamál 5:
Ákvarðið breytingu á entalpíu þriggja móla af þríatóma gasi sem þenst út úr 1 lítra í 2 lítra við hitastigið 200 K.
lausn:
Með því að nota formúluna fyrir breytingu á entalpíu fyrir ísóbarískt ferli: \(ΔH = nC_pdT \), þar sem \(C_p = \frac{f}{2}R \) og \(f = 6 \):
\[
ΔH = 3 × 6 × 2 × 8.314 × (200 × 2 × 1 – 200) = 4989, J
\]
Vandamál 6:
Reiknið lokarúmmál tveggja móla af gasi við 300 K og 5 lítra í upphafi þegar það er hitað í 500 K við fastan þrýsting.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir ísóbarískt ferli:
\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implises V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{5 \times 500}{300} \approx 8.33\, \text{lítrar}
\]
Vandamál 7:
Finndu vinnuna sem einatómeg gas vinnur þegar það er þjappað úr 6 lítrum í 3 lítra við 2 atm.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir vinnu sem unnin er í ísóbarískum ferli:
\[
W = P ΔV = 2 × (3 – 6) = -6, atm lítrar
\]
Vandamál 8:
Tvíatóma gas gengst undir ísóbaríska útþenslu úr 3 lítrum í 6 lítra við 300 K. Finndu breytinguna á entropíu.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á entropíu í ísóbarísku ferli fyrir tvíatóma gas, þar sem \( C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 × \frac{7}{2} × 8.314 × \ln\frac{300 × \frac{6}{3}}{300} + 2 × 8.314 × \ln\frac{6}{3} u.þ.b. 34.76, \text{J/K}
\]
Vandamál 9:
Reiknið varmaflutninginn við ísóbaríska þjöppun á 5 mólum af þríatóma gasi frá 10 lítrum upp í 5 lítra við 500 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir varmaflutning í ísóbarísku ferli, þar sem \(C_p = \frac{f}{2}R \) og \(f = 6 \):
\[
Q = 5 × 6 × 2 × 8.314 × (500 × 5 × 10 – 500) = -12473, J
\]
Þessi dæmi ættu að gefa ítarlega yfirsýn yfir ýmis hugtök sem tengjast ísóbaríska ferlinu.
Hér eru 9 vandamál og lausnir sem tengjast jafnhitaferlinu (stöðugt hitastig):
Vandamál 1:
Dæmi: Reiknið vinnuna sem 2 mól af kjörgasi vinna þegar þau þenjast út í jafnhita frá 1 lítra í 2 lítra við 300 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir vinnu sem unnin er í jafnhitaferli fyrir hugsjóngas:
\[ W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]
\[
W = 2 × 8.314 × 300 × ln(2/1) = u.þ.b. 3454, J
\]
Vandamál 2:
Verkefni: Finndu varmaflutninginn þegar 3 mól af gasi eru þjappað saman í jafnhita úr 4 lítrum í 2 lítra við 400 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir varmaflutning í jafnhitaferli: \( Q = W \):
\[
Q = 3 × 8.314 × 400 × ln(2/4) = -3462, J
\]
Vandamál 3:
Ákvarðið breytinguna á entropíu þegar 4 mól af gasi þenjast út úr 1 lítra í 5 lítra við 300 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á entropíu í jafnhitaferli:
\[
\DeltaS = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 × 8.314 × \ln\frac{5}{1} \u.þ.b. 46.15\, \text{J/K}
\]
Vandamál 4:
Reiknið vinnuna sem unnin er þegar 1 mól af kjörgasi er þjappað í jafnhita úr 6 lítrum í 3 lítra við 200 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir vinnu sem unnin er í jafnhitaferli:
\[
W = 1 × 8.314 × 200 × ln(3/6) = -575, J
\]
Vandamál 5:
Ákvarðið breytingu á innri orku 3 móla af gasi við jafnhitaþenslu úr 2 lítrum í 6 lítra við fast hitastig.
lausn:
Fyrir jafnhitaferli hugsjónargass er breytingin á innri orku núll:
\[
\Delta U = 0\, \text{J}
\]
Vandamál 6:
Reiknið varmaflutninginn þegar 5 mól af gasi þenjast út í jafnhita úr 3 lítrum í 6 lítra við 250 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir varmaflutning í jafnhitaferli:
\[
Q = 5 × 8.314 × 250 × ln(6/3) = u.þ.b. 2879, J
\]
Vandamál 7:
Hver er vinnan sem 2 mól af gasi vinna við jafnhitaþjöppun frá 4 lítrum í 2 lítra við 150 K?
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir vinnu sem unnin er í jafnhitaferli:
\[
W = 2 × 8.314 × 150 × ln(2/4) = -1151, J
\]
Vandamál 8:
Finndu breytinguna á entropíu þegar 3 mól af gasi eru þjappað saman í jafnhita úr 5 lítrum í 1 lítra við 500 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á entropíu í jafnhitaferli:
\[
ΔS = 3 × 8.314 × ln (1/5) = -34.77, J/K
\]
Vandamál 9:
Ákvarðið vinnuna sem 4 mól af kjörgasi vinna þegar það þenst út í jafnhita frá 2 lítrum upp í 8 lítra við 100 K.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir vinnu sem unnin er í jafnhitaferli:
\[
W = 4 × 8.314 × 100 × ln(8/2) = u.þ.b. 2304, J
\]
Þessi dæmi ná yfir ýmis hugtök sem tengjast jafnhitaferli, svo sem unnin vinna, varmaflutning og breytingar á entropíu.
Hér eru 9 vandamál og lausnir sem tengjast ísókóríska ferlinu (fast rúmmál):
Vandamál 1:
Reiknið breytinguna á innri orku þriggja móla af einatóma kjörgasi þegar hitastigið er hækkað úr 200 K í 400 K við fast rúmmál.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á innri orku við fast rúmmál: \( ΔU = nC_v ΔT \), þar sem \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔU = 3 × −3 × 2 × 8.314 × (400 – 200) u.þ.b. 3741, J
\]
Vandamál 2:
Ákvarðið varmaflutninginn fyrir tvö mól af tvíatóma gasi þegar hitastigið er lækkað úr 300 K í 200 K við fast rúmmál.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir varmaflutning við fast rúmmál: (Q = ΔU = nC_vΔT), þar sem (C_v = \frac{5}{2}R):
\[
Q = 2 × 5 × 2 × 8.314 × (200 – 300) ~ -4157, J
\]
Vandamál 3:
Reiknið breytinguna á entropíu fyrir 4 mól af þríatóma gasi þegar hitastigið hækkar úr 100 K í 300 K við fast rúmmál.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á entropíu við fast rúmmál, þar sem \( C_v = \frac{f}{2}R \) og \( f = 6 \):
\[
\Delta S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 \frac{6}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300}{100} \u.þ.b. 115.36\, \text{J/K}
\]
Vandamál 4:
Hver er vinnan sem gas vinnur í ísókórískum ferli?
lausn:
Þar sem rúmmálið er stöðugt í ísókórískum ferli, þá er engin vinna unnin:
\[
W = 0, J
\]
Vandamál 5:
Ákvarðið varmaflutninginn fyrir 5 mól af einatóma kjörgasi þegar það er kælt úr 500 K í 300 K við fast rúmmál.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir varmaflutning við fast rúmmál, þar sem \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
Q = 5 × 3 × 2 × 8.314 × (300 – 500) ~ -6232, J
\]
Vandamál 6:
Reiknið breytinguna á innri orku eins móls af tvíatóma gasi þegar hitastigið er hækkað úr 150 K í 250 K við fast rúmmál.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á innri orku við fast rúmmál, þar sem \( C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
ΔU = 1 × −5 × 2 × 8.314 × (250 – 150) u.þ.b. 2079, J
\]
Vandamál 7:
Ákvarðið breytinguna á entropíu fyrir 3 mól af einatóme gasi þegar hitastigið lækkar úr 600 K í 300 K við fast rúmmál.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á entropíu við fast rúmmál, þar sem \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
\Delta S = 3 × \frac{3}{2} × 8.314 × \ln\frac{300}{600} \u.þ.b. -34.59\, \text{J/K}
\]
Vandamál 8:
Hver er varmaflutningurinn fyrir 2 mól af þríatóma gasi þegar hitastigið er hækkað úr 200 K í 400 K við fast rúmmál?
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir varmaflutning við fast rúmmál, þar sem \( C_v = \frac{6}{2}R \):
\[
Q = 2 × −6 × 2 × 8.314 × (400 – 200) = u.þ.b. 4986, J
\]
Vandamál 9:
Reiknið breytinguna á innri orku fjögurra móla af einatóma kjörgasi þegar það er hitað úr 250 K í 350 K við fast rúmmál.
lausn:
Með því að nota jöfnuna fyrir breytingu á innri orku við fast rúmmál, þar sem \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
ΔU = 4 × −3 × 2 × 8.314 × (350 – 250) u.þ.b. 4986, J
\]
Þessi vandamál ná yfir ýmsa þætti ísókórískra ferla, svo sem varmaflutning, breytingar á innri orku og entropíu, fyrir mismunandi gerðir lofttegunda.
