Ihe atụ nke Nsogbu Ndị Na-ekwu Maka Ndị Na-ahụ Maka Ọnọdụ
Vektọ bụ echiche dị mkpa na mgbakọ na mwepụ na fiziki, na-anọchite anya ọnụọgụgụ ma n'akụkụ ma n'ịdị ukwuu. N'ọtụtụ ojiji, a na-ejikarị vektọ akọwa ọnọdụ, ọsọ, ike, na ọtụtụ paramita ndị ọzọ. N'etiti ụdị vektọ dị iche iche, vektọ ọnọdụ na-arụ ọrụ dị oke mkpa n'ịkọwa ebe isi ihe dị na mbara igwe.
Nkọwa nke Vektọ Ọnọdụ
Vektọ ọnọdụ bụ vektọ nke na-akọwa ebe isi ihe dị ma e jiri ya tụnyere mmalite ya na sistemụ nhazi. N'ozuzu, a na-ede vektọ ọnọdụ n'ụdị nhazi Cartesian dị ka:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
N'ebe a, \(\mathbf{r}\) bụ vektọ ọnọdụ, \(x\), \(y\), na \(z\) bụ ihe mejupụtara ya n'akụkụ axes \(x\), \(y\), na \(z\), n'otu n'otu, ebe \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), na \(\mathbf{k}\) bụ vektọ nkeji ndị yiri axes nhazi, n'otu n'otu. N'ime oghere akụkụ abụọ, ihe mejupụtara \(z\) anaghị adị, yabụ vektọ ọnọdụ na-aghọ:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Ngwa Vektọ Ọnọdụ
Dịka ọmụmaatụ, na fiziki, vektọ ọnọdụ na-arụ ọrụ dị oke mkpa n'ịkọwa mmegharị nke ihe. Ọnọdụ ihe metụtara mmalite (ebe ntụaka) nwere ike ịnọchite anya vektọ ọnọdụ. Ọzọkwa, na injinịa igwe, ngụkọ nke ike na oge na-agụnyekarị iji vektọ ọnọdụ.
Ajụjụ na Mkparịta ụka gbasara Vektọ Ọnọdụ
Ajụjụ nke Atọ
Ka e were ya na e nwere isi ihe abụọ dị na oghere 3D, isi ihe A nwere nhazi \( (1, 2, 3) \) na isi ihe B nwere nhazi \( (4, 0, -2) \). Chọpụta vektọ ọnọdụ nke isi ihe A na B. Na mgbakwunye, gbakọọ ebe njikọ vektọ A na isi ihe B.
Azịza:
Vọktọ ọnọdụ maka isi A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Vektọ ọnọdụ maka isi ihe B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Na-esote, iji chọta ebe njikọ vektọ A na isi B (a na-akpọ \(\mathbf{AB}\)), anyị kwesịrị iwepụ vektọ ọnọdụ nke A site na vektọ ọnọdụ nke B:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Ya mere, iji dochie vektọ ọnọdụ abụọ dị n'elu:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) - (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Ya mere, ebe njikọ vektọ A na B bụ \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
Ajụjụ nke Atọ
Ọ bụrụ na isi ihe P dị na \((2, 3)\) n'ime oghere 2D, chọta ogologo (nhazi) nke vektọ ọnọdụ \(\mathbf{r_P}\).
Azịza:
Vektọ ọnọdụ nke isi ihe P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Enwere ike ịgbakọ ogologo nke vektọ ọnọdụ \(\mathbf{r_P}\) site na iji usoro nhazi vektọ (ma ọ bụ ogologo):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Dochie ụkpụrụ nke \(x\) na \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Ya mere, ogologo nke vektọ ọnọdụ \(\mathbf{r_P}\) bụ \(\sqrt{13}\).
Ajụjụ nke Atọ
Ka e were ya na isi ihe Q dị na \( (5, -4, 2) \). Chọta akụkụ dị n'etiti vektọ ọnọdụ \(\mathbf{r_Q}\) na axis \(x\).
Azịza:
Vektọ ọnọdụ nke isi Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Iji chọta akụkụ dị n'etiti vektọ \(\mathbf{r_Q}\) na axis \(x\), anyị nwere ike iji echiche nke ngwaahịa ntụpọ. Nke mbụ, anyị na-ekpebi ngwaahịa ntụpọ dị n'etiti \(\mathbf{r_Q}\) na \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Ebe ọ bụ na \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), na \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), mgbe ahụ:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Ụkpụrụ nke \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = sqrt{45}
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3 sqrt{5} \]
Ụkpụrụ nke \(\mathbf{i}\) bụ 1, n'ihi na \(\mathbf{i}\) bụ vektọ nkeji.
Iji usoro ngwaahịa ntụpọ chọta akụkụ \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \\ ihe \]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Ya mere, akụkụ \(\theta\) dị n'etiti vektọ ọnọdụ \(\mathbf{r_Q}\) na axis \(x\) bụ:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Mmechi
Vektọ ọnọdụ na-arụ ọrụ dị oke mkpa na sayensị na injinia, ọkachasị n'ịhazi ọnọdụ ihe dị na oghere nhazi. Ihe atụ ndị dị n'elu na-egosi otu esi agbakọ vektọ ọnọdụ, ogologo ha, na akụkụ dị n'etiti ha na axes nhazi. Ịghọta echiche ndị a dị mkpa bara uru n'ịdozi nsogbu dị iche iche metụtara oghere na nhazi na mgbakọ na mwepụ na fiziki.
