Ajụjụ Ihe Nlereanya Na-ekwu Maka Mgbakwunye Vektọ site na Akụkụ
Mgbakwunye vektọ bụ usoro dị mkpa na fiziki na mgbakọ na mwepụ nke e ji achọpụta ihe si na vektọ abụọ ma ọ bụ karịa pụta. Ụzọ e si edozi mgbakwunye vektọ n'ụzọ dị iche iche bụ ụzọ bara uru karịsịa, ọkachasị mgbe a na-emeso vektọ n'akụkụ abụọ ma ọ bụ atọ. Isiokwu a ga-akọwa echiche nke mgbakwunye vektọ n'ụzọ dị iche iche ma nye ọtụtụ ihe atụ nke nsogbu na ngwọta.
Echiche nke Mgbakwunye Vektọ Akụkụ
Enwere ike kewaa vektọ ọ bụla dị na oghere akụkụ abụọ (2D) ụzọ abụọ: akụkụ x (kwụ ọtọ) na akụkụ y (kwụ ọtọ). Na akụkụ atọ (3D), vektọ nwere akụkụ ọzọ, akụkụ z (omimi).
Ka anyị were ya na anyị nwere vektọ abụọ A na B. Enwere ike ịkọwa ihe mejupụtara vektọ ndị a dịka ndị a:
– Vektọ A nwere ihe ndị mejupụtara \(A_x\) na \(A_y\) na 2D (maọbụ \(A_z\) na 3D).
– Vektọ B nwere ihe ndị mejupụtara \(B_x\) na \(B_y\) na 2D (maọbụ \(B_z\) na 3D).
Mgbakwunye nke vektọ abụọ a ga-emepụta vektọ R nke nwere ihe ndị a:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Maka vektọ na 3D, ihe mejupụtara z bụkwa ihe ndị a:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Mgbe anyị gbakọchara akụkụ ọ bụla nke vektọ sitere na ya, anyị nwere ike ịchọta modulus (nha) na ntụziaka nke vektọ sitere na ya site na iji usoro a:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (maka 2D)
Ma ọ bụ maka eserese 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
A pụkwara ịchọpụta ntụziaka nke vektọ sitere na ya site n'akụkụ nke axes nhazi.
Ajụjụ na Mkparịta ụka Ihe Nlereanya
Ajụjụ nke Atọ
Enyere vektọ abụọ n'ime ụgbọelu nwere akụkụ abụọ:
– A bụ \(5 \, \text{unit}\) n'ebe ọwụwa anyanwụ.
– B bụ \(3 \, \text{unit}\) n'ebe ugwu.
Chọpụta ihe na-esi na ya pụta bụ vektọ R.
Mkparịta ụka
Nke mbụ, anyị na-agbanwe vektọ ahụ ka ọ bụrụ akụkụ ya dị iche iche.
– Vektọ A: \(A = (5, 0)\) n'ihi na ọ nwere naanị ihe dị na x.
– Vektọ B: \(B = (0, 3)\) n'ihi na ọ nwere naanị ihe mejupụtara y.
Nke a bụ mkpokọta nke ihe mejupụtara ya:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Mgbe ahụ, vektọ R nke sitere na ya bụ:
\[ R = (5, 3) \]
Iji gbakọọ ogologo (modulu) nke vektọ R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \ihe dị ka 5.83 \]
Enwere ike ịgbakọ ntụziaka nke vektọ R site na iji akụkụ θ gaa na axis-x:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \ihe dị ka 30.96^\circ \]
Ya mere, vektọ R nke sitere na ya nwere ogologo ihe dị ka nkeji 5.83 ma na-emepụta akụkụ nke 30.96° na axis-x.
Ajụjụ nke Atọ
E nyere vektọ abụọ n'akụkụ atọ:
– A bụ \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B bụ \(1\okpu{i} + 4\okpu{j} + 2\okpu{k}\)
Chọpụta ihe na-esi na ya pụta bụ vektọ R.
Mkparịta ụka
Nke mbụ, anyị na-achọpụta ihe mejupụtara vektọ ọ bụla:
– Vektọ A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vektọ B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Nke a bụ mkpokọta nke ihe mejupụtara ya:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Mgbe ahụ, vektọ R nke sitere na ya bụ:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Iji gbakọọ ogologo (modulu) nke vektọ R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \ihe dị ka 7.81 \]
Enwere ike ịgbakọ ntụziaka nke vektọ R gbasara x, y, na z site na iji cosine nke onye nduzi:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \ihe dị ka 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \ihe dị ka 59.50^\cir \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \ihe dị ka 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \ihe dị ka 39.50^\cir \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \ihe dị ka 0.384 \]
\[ \gamma = \arccos(0.384) \ihe dị ka 67.64^\cir \]
Ya mere, vektọ R nke sitere na ya nwere ogologo ihe dị ka nkeji 7.81 na ntụziaka ya gbasara axes x, y, na z bụ 59.50°, 39.50°, na 67.64°.
Ajụjụ nke Atọ
E nyere vektọ abụọ:
– P nwere nha nke nkeji anọ ma na-emepụta akụkụ nke 45° na akuku x dị mma.
– Q nwere nha nke nkeji isii ma na-emepụta akụkụ nke 120° na akuku x dị mma.
Chọpụta ihe na-esi na ya pụta bụ vektọ R.
Mkparịta ụka
Nke mbụ, anyị na-ekewa vektọ ahụ n'ime ihe ndị mejupụtara x na y ya:
– Vektọ P: \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Vektọ Q: \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Nke a bụ mkpokọta nke ihe mejupụtara ya:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Mgbe ahụ, vektọ R nke sitere na ya bụ:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
Iji gbakọọ ogologo (modulu) nke vektọ R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \ihe dị ka 8.03 \]
Ntuziaka nke vektọ R:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \ihe dịka -88.99^\circle \]
Agbanyeghị, a na-atụ akụkụ a n'ihe gbasara axis-x na-adịghị mma, yabụ akụkụ ahụ n'ezie n'ihe gbasara nsogbu ahụ bụ:
\[ 180^\gburugburu – 88.99^\gburugburu \ihe dịka 91.01^\gburugburu \]
Ya mere, vektọ R nke sitere na ya nwere ogologo ihe dị ka nkeji 8.03 ma na-emepụta akụkụ nke 91.01° na oghere x dị mma.
Edemede a atụleela mgbakwunye vektọ n'ihe gbasara akụkụ, na-enye ọtụtụ ihe atụ nke nsogbu na ngwọta. Usoro nke ihe mejupụtara ya bara ezigbo uru n'ịme ka mgbakọ na mwepụ dị mfe ma na-enye ụzọ usoro iji dozie nsogbu vektọ n'ihe gbasara mgbakọ na mwepụ nke oghere.
