Կեպլերի երրորդ օրենքը. մոլորակների և երկնային մարմինների շարժման ուսումնասիրությունը
Կեպլերի օրենքները հիմնարար նշանակություն ունեն Արեգակնային համակարգի մոլորակների և այլ երկնային մարմինների շարժումը հասկանալու համար: Գերմանացի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը ձևակերպել է երեք օրենք, որոնք նկարագրում են մոլորակների շարժումը Արեգակի շուրջը: Այս հոդվածում կքննարկվեն Կեպլերի երրորդ օրենքը, որը հայտնի է նաև որպես Հարմոնիկ օրենք, դրա հետ կապված բանաձևերը և դրա կիրառումը ժամանակակից աստղագիտության մեջ:
Ներածություն Կեպլերի օրենքներին
Նախքան Կեպլերի 3-րդ օրենքին կոնկրետ անդրադառնալը, կարևոր է հասկանալ Կեպլերի երեք օրենքների համատեքստը.
1. Կեպլերի առաջին օրենքը (էլիպսների օրենք). Մոլորակները շարժվում են էլիպսաձև ուղեծրերով, որոնց մեկ կիզակետում է Արեգակը։
2. Կեպլերի երկրորդ օրենքը (արևելյան արագությունների օրենք). Մոլորակն ու Արեգակը միացնող գիծը հավասար ժամանակահատվածներում անցնում է հավասար մակերեսներ, ինչը նշանակում է, որ մոլորակն ավելի արագ է շարժվում, երբ ավելի մոտ է Արեգակին, և ավելի դանդաղ, երբ ավելի հեռու է Արեգակից։
3. Կեպլերի երրորդ օրենքը (հարմոնիկ օրենք). Մոլորակի ուղեծրային պարբերության քառակուսին ուղիղ համեմատական է նրա ուղեծրի մեծ կիսաառանցքի խորանարդին։
Կեպլերի երրորդ օրենքը
Կեպլերի 3-րդ օրենքը նշում է, որ Արեգակի շուրջը պտտվող բոլոր մոլորակների համար ուղեծրային պարբերության քառակուսու (T) և մեծ կիսաառանցքի (a) խորանարդի հարաբերությունը հաստատուն է։ Մաթեմատիկորեն այս օրենքը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
\[ \frac{T^2}{a^3} = \text{cons} \]
Որտեղ՝
– T-ն մոլորակի ուղեծրային պարբերությունն է, որը մոլորակի համար անհրաժեշտ ժամանակն է Արեգակի շուրջ մեկ պտույտ կատարելու համար (տարիներով, եթե a-ն AU-ով է):
– a-ն մոլորակի էլիպտիկ ուղեծրի մեծ կիսաառանցքն է (աստղագիտական միավորներով, AU):
– այս հաստատունը վերաբերում է Արեգակնային համակարգի բոլոր մոլորակներին։
Կեպլերի 3-րդ օրենքի ձևակերպումը
Մեր Արեգակնային համակարգի համար Կեպլերի երրորդ օրենքը կարգավորող հաստատունները նույնն են Արեգակի շուրջը պտտվող բոլոր մոլորակների համար: Վերը նշված բանաձևը ցույց է տալիս ուղեծրային պարբերության և ուղեծրի չափի միջև մաթեմատիկական կապը, որը կարող է օգտագործվել մեկ փոփոխականը կանխատեսելու համար, եթե մյուսը հայտնի է:
Մեծ կիսաառանցքի աստղագիտական միավորներով (AU) և ուղեծրային պարբերության տարեթվերով այս հաստատունը 1 է։
\[ \frac{T^2}{a^3} = 1 \]
Սակայն, եթե մենք օգտագործում ենք այլ միավորներ կամ չափում ենք Արեգակից բացի այլ աստղերի շուրջ մարմինների ուղեծրերը, ապա պետք է հաշվի առնենք համընդհանուր գրավիտացիոն հաստատունը (G) և կենտրոնական մարմնի զանգվածը (M):
Այս դեպքում Կեպլերի 3-րդ օրենքի ընդհանուր բանաձևը հետևյալն է.
\[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4 \pi^2}{G (M+m)} \]
Որտեղ՝
– G-ն ունիվերսալ գրավիտացիոն հաստատունն է (\( 6,674 \times 10^{-11} \, \text{Նմ}^2 \text{կգ}^{-2} \))։
– M-ը կենտրոնական մարմնի զանգվածն է (օրինակ՝ Արեգակի զանգվածը):
– m-ը մոլորակի զանգվածն է, բայց շատ դեպքերում \(m\)-ը շատ ավելի փոքր է \(M\)-ից և կարող է անտեսվել։
Կեպլերի 3-րդ օրենքի կիրառմամբ հաշվարկի օրինակ
Այս օրենքի կիրառման եղանակը պարզաբանելու համար ահա հաշվարկների մի քանի օրինակներ.
Օրինակ 1. Երկրի ուղեծրային պարբերությունը
Հայտնի է, որ Երկրի կիսաառանցքը մոտ 1 ԱՄ է։ Կիրառելով Կեպլերի 3-րդ օրենքը՝
\[ \frac{T^2}{1^3} = 1 \]
Այսպիսով, Երկրի ուղեծրային պարբերությունը (T) 1 տարի է, ինչը համապատասխանում է այն դիտարկմանը, որ Երկրին մեկ տարի է պահանջվում Արեգակի շուրջը պտտվելու համար։
Օրինակ 2. Մարսի ուղեծրային պարբերությունը
Մարսի մեծ կիսաառանցքը կազմում է մոտ 1,524 ԱՄ։ Մարսի ուղեծրային պարբերությունը հաշվարկելու համար կատարեք հետևյալը.
\[ \frac{T^2}{(1,524)^3} = 1 \]
\[ T^2 = (1,524)^3 \]
\[ T^2 \մոտավորապես 3,54 \]
T մոտավորապես 3,54
\[ T \մոտավորապես 1,88 \text{ տարի} \]
Այսպիսով, Մարսի ուղեծրային պարբերությունը մոտ 1,88 տարի է:
Կեպլերի 3-րդ օրենքի կիրառումը
Կեպլերի 3-րդ օրենքն ունի բազմաթիվ գործնական և տեսական կիրառություններ աստղագիտության և տիեզերական գիտության մեջ.
1. Աստղի զանգվածի որոշումը. Աստղի շուրջը պտտվող մոլորակի պտտման պարբերությունը և մեծ կիսաառանցքը դիտարկելով՝ աստղագետները կարող են որոշել աստղի զանգվածը՝ օգտագործելով Կեպլերի 3-րդ օրենքի ընդհանրացված տարբերակը։
2. Արբանյակների ուղեծրերի կանխատեսում. Այս օրենքը վերաբերում է նաև մոլորակների շուրջ պտտվող արհեստական արբանյակներին, որոնք օգնում են արբանյակների նախագծմանը և մոնիթորինգին։
3. Արեգակնային համակարգի հետազոտություն. Միջմոլորակային առաքելություններում այս օրենքը օգնում է պլանավորել տիեզերանավի ուղեծրային ուղին՝ որոշակի մոլորակի կամ արբանյակի հասնելու և նրա շուրջը պտտվելու համար։
4. Երկուական աստղային համակարգերի ուսումնասիրություն. Երկուական աստղային համակարգերում Կեպլերի 3-րդ օրենքն օգտագործվում է երկու աստղերի ուղեծրային պարամետրերը և զանգվածները որոշելու համար՝ հիմնվելով դրանց շարժման դիտարկումների վրա:
Եզրակացություն
Կեպլերի երրորդ օրենքը, կամ Հարմոնիկների օրենքը, մոլորակների և այլ երկնային մարմինների ուղեծրային դինամիկան հասկանալու հիմնական հենասյունն է: Ցույց տալով, որ ուղեծրային պարբերության քառակուսին ուղիղ համեմատական է ուղեծրի մեծ կիսաառանցքի խորանարդին, այս օրենքը հզոր մաթեմատիկական գործիք է տրամադրում ուղեծրային շարժումը վերլուծելու և կանխատեսելու համար:
Հաշվարկային օրինակների և գործնական կիրառությունների միջոցով մենք տեսնում ենք, թե որքան կարևոր է այս օրենքը աստղագիտության և տիեզերքի ուսումնասիրության տարբեր ասպեկտներում: Աստղերի զանգվածների որոշումից մինչև միջմոլորակային առաքելությունների պլանավորում, Կեպլերի երրորդ օրենքը շարունակում է մնալ կարևորագույն հիմք տիեզերքը ուսումնասիրող և հասկանալու գիտնականների և ինժեներների համար:
Այս գիտելիքների շնորհիվ մենք կարող ենք ոչ միայն գնահատել մոլորակային շարժման մաթեմատիկական գեղեցկությունն ու կանոնավորությունը, այլև օգտագործել այս օրենքները՝ աստղագիտական հետազոտությունների և հայտնագործությունների նոր հորիզոններ բացելու համար: Կեպլերի երրորդ օրենքը, չնայած իր պարզ ձևին, խորը և հեռահար ազդեցություն է ունեցել գիտության վրա:
