Անկյունային իմպուլս

Անկյունային իմպուլս

Գծային շարժման դեպքում զանգվածին (m) նույնական պտտական ​​շարժման մեծությունը իներցիայի մոմենտն է (I): Գծային շարժման դեպքում արագությանը (v) նույնական պտտական ​​շարժման մեծությունը անկյունային արագությունն է (ω): Այսպիսով, պտտվող մարմինն ունի անկյունային մոմենտ, որը կարելի է հաշվարկել հետևյալ հավասարման միջոցով.

Լ = Ի ω

L = անկյունային մոմենտ (կգ մ ² /վ), I = իներցիայի մոմենտ (կգ մ ² ), ω = անկյունային արագություն (ռադ/վ)

Անկյունային մոմենտի օրինակելի խնդիրներ

Նմուշային խնդիր 1.

0.5 գրամ զանգվածով մասնիկը շրջանագծով շարժվում է 2 ռադ/վ հաստատուն անկյունային արագությամբ։ Որոշեք մասնիկի անկյունային իմպուլսը, եթե մասնիկի հետագծի շառավիղը 10 սմ է։

Լուծում

Մասնիկի իներցիայի մոմենտը՝

Ես = պարոն ² = (0.5 x 10 ^-3 կգ)(1 x 10 ^-1 մ) ² = (0.5 x 10 ^-3 կգ)(1 x 10 ^-2 մ ² ) = 0.5 x 10 ^-5 կգ ​​մ ²

Մասնիկի անկյունային արագությունը՝

ω = 2 ռադ/վ

Մասնիկի անկյունային մոմենտը՝

L = (0.5 x 10 ^-5 կգ ​​մ ² )(2 ռադ/վ) = 1 x 10 ^-5 կգ ​​մ ² /վ

Անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքը

Անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքը նշում է, որ եթե պտտվող կոշտ մարմնի վրա ուժի արդյունարար մոմենտը զրո է, ապա պտտվող կոշտ մարմնի անկյունային մոմենտը միշտ հաստատուն է: Անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքը կարելի է մաթեմատիկորեն ստանալ՝ փոփոխելով Նյուտոնի անկյունային մոմենտի երկրորդ օրենքի հավասարումը: Ահա Նյուտոնի անկյունային մոմենտի երկրորդ օրենքի հավասարումը.

Եթե ​​արդյունքում ուժի մոմենտը զրո է, ապա վերը նշված հավասարումը կփոխվի հետևյալ կերպ.

I _t = իներցիայի վերջնական մոմենտը, I _o = իներցիայի սկզբնական մոմենտը, ω _t = վերջնական անկյունային արագությունը, ω _o = սկզբնական անկյունային արագությունը, L _t = վերջնական անկյունային մոմենտը, L _o = սկզբնական անկյունային մոմենտը։

Անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքի օրինակելի խնդիրներ

Նմուշային խնդիր 1.

Միատարր պինդ գլանաձև սկավառակը սկզբում պտտվում է իր առանցքի շուրջը 4 ռադ/վ արագությամբ: Սկավառակի զանգվածը և շառավիղը 1 կգ և 0.5 մ են: Եթե թիթեղի վերևում տեղադրված է 0.2 կգ զանգվածով և 0.1 մ շառավղով օղակ, և օղակի կենտրոնը, ապա

սկավառակի կենտրոնից անմիջապես վերև, ապա սկավառակը և օղակը կպտտվեն միասին անկյունային արագությամբ…

Լուծում

Պինդ գլանի իներցիայի մոմենտը՝ I = 1⁄2 մ ² = 1⁄2 (1 կգ)(0.5 մ) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 կգ մ ²

Օղակի իներցիայի մոմենտը՝ I = mr ² = (0.2 կգ)(0.1 մ) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 կգ մ ²

Սկզբնական անկյունային մոմենտ (L1 ₎ = Վերջնական անկյունային մոմենտ ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 կգ մ ² )(4 ռադ/վ) = (0.125 կգ մ ² + 0.002 կգ մ ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)( _ω2 )

ω2 = _0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 ռադ/վ

Հայեցակարգային հարցեր և պատասխաններ

1. Ի՞նչ է անկյունային մոմենտը։
   Պատասխան Անկյունային մոմենտը մարմնի պտույտի մեծության չափանիշ է՝ հաշվի առնելով դրա զանգվածն ու ձևը։ Այն գծային մոմենտի պտտական ​​անալոգն է։
2. Ինչպե՞ս է մաթեմատիկորեն որոշվում անկյունային մոմենտը։
   Պատասխան Անկյունային իմպուլսը (L) սահմանվում է որպես $L=r\times p$, Որտեղ $r$ -ն դիրքի վեկտորն է պտտման առանցքից մինչև կիրառման կետը, և $p$ գծային իմպուլսն է։
3. Անկյունային մոմենտը սկալյար, թե՞ վեկտորային մեծություն է։
   Պատասխան Անկյունային իմպուլսը վեկտորական մեծություն է։
4. Ո՞րն է անկյունային մոմենտի միավորը ՄՀ համակարգում։
   Պատասխան ՄՀ համակարգում անկյունային մոմենտի միավորը կիլոգրամ-մետր քառակուսի վայրկյանում է (կգ·մ)։²/ վ):
5. Ինչպե՞ս է պահպանվում անկյունային մոմենտը։
   Պատասխան Արտաքին մոմենտներ չունեցող փակ համակարգում ընդհանուր անկյունային մոմենտը մնում է հաստատուն։
6. Ո՞րն է անկյունային մոմենտի պահպանման սկզբունքը։
   Պատասխան Սկզբունքը պնդում է, որ փակ համակարգի ընդհանուր անկյունային մոմենտը մնում է անփոփոխ, եթե դրա վրա արտաքին ուժ չի ազդում։
7. Ինչպե՞ս է գեղասահորդի պտույտը կապված անկյունային մոմենտի հետ։
   Պատասխան Երբ գեղասահորդը պտույտի ժամանակ ձեռքերն ու ոտքերը մոտեցնում է մարմնին, նա նվազեցնում է իր իներցիայի մոմենտը, ինչի հետևանքով ավելի արագ է պտտվում։ Սա ցույց է տալիս անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքը։
8. Ի՞նչ կապ կա պտտող մոմենտի և անկյունային մոմենտի միջև։
   Պատասխան Մոմենտ ($\tau$) անկյունային մոմենտի փոփոխության արագությունն է։ Մաթեմատիկորեն, τ=dԼ/վրկ​.
9. Հնարավո՞ր է, որ մարմինը ունենա անկյունային մոմենտ առանց անկյունային արագության։
   Պատասխան Ոչ, եթե մարմինը ունի անկյունային մոմենտ, ապա այն ունի անկյունային արագություն: Անկյունային մոմենտի մեծությունը և ուղղությունը կախված են և՛ իներցիայի մոմենտից, և՛ անկյունային արագությունից:
10. Ինչպե՞ս է իներցիայի մոմենտը ազդում անկյունային մոմենտի վրա։
    Պատասխան Անկյունային իմպուլսը (L) իներցիայի մոմենտի (I) և անկյունային արագության (ω) արտադրյալն է։ ԱՄՆ $L=I\omega$, տրված անկյունային արագության համար իներցիայի մոմենտի աճը կմեծացնի անկյունային մոմենտը։
11. Ո՞րն է տարբերությունը սպինի և ուղեծրային անկյունային մոմենտի միջև քվանտային մեխանիկայում:
    Պատասխան Սպինի անկյունային մոմենտը մասնիկների, օրինակ՝ էլեկտրոնների, ներքին հատկություն է և չի առաջանում տարածության մեջ շարժումից։ Մյուս կողմից, ուղեծրային անկյունային մոմենտը առաջանում է կենտրոնական կետի շուրջ մասնիկի շարժումից։
12. Ի՞նչ դեր է խաղում անկյունային մոմենտը մոլորակային համակարգերի ձևավորման գործում։
    Պատասխան Երբ մոլեկուլային ամպը փլուզվում է՝ ձևավորելով աստղեր և մոլորակներ, անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքը հանգեցնում է նյութի հարթեցմանը՝ վերածվելով սկավառակի՝ նորածին աստղի շուրջ, որից կարող են ձևավորվել մոլորակներ։
13. Ինչպե՞ս է գիրոսկոպը պահպանում իր կողմնորոշումը տարածության մեջ։
    Պատասխան Պտտվող գիրոսկոպն ունի անկյունային մոմենտ։ Երբ արտաքին պտտող մոմենտը փորձում է փոխել իր կողմնորոշումը, գիրոսկոպը պրեցեսիա է կատարում, կամ փոխում է իր պտտման առանցքը, կիրառվող պտտող մոմենտին ուղղահայաց ուղղությամբ՝ անկյունային մոմենտի պահպանման պատճառով։
14. Ի՞նչն է առաջացնում պրեցեսիան պտտվող սահնակում։
    Պատասխան Պտտվող գլխամասի պրեցեսիան առաջանում է գլխամասի զանգվածի կենտրոնի վրա ազդող ձգողականության ուժի պտտող մոմենտի պատճառով, որը շեղված է դրա պտտման կետից: Այս պտտող մոմենտը հանգեցնում է գլխամասի անկյունային մոմենտի ուղղության փոփոխության, ինչը հանգեցնում է դրա պրեցեսիայի:
15. Ինչո՞ւ են աստղերը տափակվում իրենց բևեռներում։
    Պատասխան Երբ աստղերը պտտվում են, նրանք զգում են կենտրոնախույս ուժ, որը նյութը դուրս է մղում։ Այս ազդեցությունն ավելի ուժեղ է հասարակածում, քան բևեռներում, ինչը հանգեցնում է նրանց նեղացած կամ հարթեցված ձևի։
16. Ինչպե՞ս է անկյունային մոմենտը կապված Կեպլերի երկրորդ օրենքի հետ։
    Պատասխան Կեպլերի երկրորդ օրենքը նշում է, որ մոլորակը և Արեգակը միացնող գծի հատվածը հավասար ժամանակային ընդմիջումներում անցնում է հավասար մակերեսներ։ Սա անկյունային մոմենտի պահպանման հետևանք է։
17. Ինչո՞ւ է կատուն միշտ ոտքերի վրա վայրէջք կատարում, երբ ընկնում է։
    Պատասխան Կատուները կիրառում են անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքը։ Մարմինները պտտելով և օդում իներցիայի մոմենտները փոխելով՝ նրանք կարող են վերակողմնորոշվել՝ ոտքերի վրա վայրէջք կատարելու համար՝ առանց խախտելու պահպանման օրենքները։
18. Ինչպե՞ս է էլեկտրոնների մագնիսական մոմենտը կապված անկյունային մոմենտի հետ։
    Պատասխան Էլեկտրոնի մագնիսական մոմենտը առաջանում է նրա սպինից և ուղեծրային անկյունային մոմենտից։ Մագնիսական մոմենտը համեմատական ​​է էլեկտրոնի անկյունային մոմենտին։
19. Ի՞նչ է անկյունային մոմենտը բևեռային կոորդինատների տեսանկյունից։
    Պատասխան Բևեռային կոորդինատներում, անկյունային մոմենտը $L$ կետային զանգվածի համար կարող է արտահայտվել որպես $L=mrv$, Որտեղ $m$ զանգվածն է, $r$ -ն շառավղային հեռավորությունն է, և $v$ -ն շոշափողական արագությունն է։
20. Ի՞նչ է պատահում փակ համակարգի անկյունային մոմենտին, երբ երկու մարմին բախվում են։
    Պատասխան Փակ համակարգում, որտեղ երկու մարմին բախվում են, բախումից առաջ ընդհանուր անկյունային մոմենտը հավասար է բախումից հետո ընդհանուր անկյունային մոմենտին, եթե ենթադրենք, որ համակարգի վրա արտաքին մոմենտներ չեն ազդում։

Խնդիրներ և լուծումներ

1. Խնդիր. m = 2 կգ զանգվածով կետային զանգվածը շարժվում է v = 3 մ/վ արագությամբ r = 4 մ շառավղով շրջանագծով։ Հաշվարկեք դրա անկյունային մոմենտը շրջանագծի կենտրոնի նկատմամբ։

Լուծում՝ $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 կգ.մ ² /վ

2. Խնդիր. 3 կգ զանգվածով և 0.5 մ շառավղով պինդ գունդը պտտվում է իր տրամագծի շուրջ ω = 2 ռադ/վ անկյունային արագությամբ: Որքա՞ն է դրա անկյունային մոմենտը:

Լուծում. Պինդ գնդի համար I = 2/5 մ r ²

$Լ=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 կգ.մ ² /վ

3. Խնդիր. 3 կգ զանգվածով կետային զանգվածը շարժվում է 4 մ/վ արագությամբ ուղիղ գծով: Որքա՞ն է դրա անկյունային մոմենտը շարժման գծից 5 մ հեռավորության վրա գտնվող կետի նկատմամբ:

Լուծում

$Լ=մ\times վ\times ր$

L=3×4×5=60 կգ.մ² ^/ վրկ

4. Խնդիր. 5 կգ զանգվածով և 3 մ շառավղով սկավառակը պտտվում է 2 ռադ/վ անկյունային արագությամբ: Հաշվարկեք դրա անկյունային մոմենտը:

Լուծում. Սկավառակի համար I = 1/2 մ r ²

$Լ=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 կգ.մ ² /վրկ

5. Խնդիր. 4 մ երկարությամբ և 2 կգ զանգվածով ձողը պտտվում է մեկ ծայրի շուրջ 3 ռադ/վ անկյունային արագությամբ։ Գտեք նրա անկյունային մոմենտը։

Լուծում. Մեկ ծայրին մոտ գտնվող ձողի համար I = 1/3 մ լ ²

$Լ=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 կգ.մ ² /վրկ

6. Խնդիր. Ինչքա՞ն կփոխվի անկյունային մոմենտը, եթե պտտվող մարմինը կրկնապատկի իր անկյունային արագությունը։

Լուծում. Անկյունային մոմենտի (L) և անկյունային արագության (ω) միջև կապը $L=I\times \omega$ է ։ Եթե ω-ն կրկնապատկվի, անկյունային մոմենտը նույնպես կկրկնապատկվի։

7. Խնդիր. Եթե շարժվող մասնիկի շրջանաձև հետագծի շառավիղը կրկնապատկվում է՝ պահպանելով արագությունը հաստատուն, ապա անկյունային մոմենտը ի՞նչ գործակցով է փոխվում։

Լուծում՝ Անկյունային իմպուլս, $L=m\times r\times v$ : Եթե r-ը կրկնապատկվի, L-ը նույնպես կկրկնապատկվի:

8. Խնդիր. 30 կգ զանգվածով երեխան կանգնած է անշարժ վիճակում գտնվող կարուսելի եզրին: Կարուսելի շառավիղը 2 մ է: Եթե երեխան սկսում է վազել գետնի նկատմամբ 2 մ/վ արագությամբ եզրի երկայնքով, գտեք երեխայի անկյունային մոմենտը կենտրոնի նկատմամբ:

Լուծում՝ $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 կգ.մ ² /վ

9. Խնդիր. 6 կգ զանգվածով և 2 մ շառավղով գլանը պտտվում է իր կենտրոնական առանցքի շուրջը 5 ռադ/վ անկյունային արագությամբ: Հաշվարկեք դրա անկյունային մոմենտը:

Լուծում. գլանի համար I = 1/2 մ r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 կգ.մ ² /վ

10. Խնդիր. Որքա՞ն կլինի մարմնի նոր անկյունային մոմենտը, եթե նրա իներցիայի մոմենտը կիսով չափ կրճատվի, իսկ անկյունային արագությունը՝ եռապատկվի։

Լուծում. Տրված է $L=I\times \omega$ , եթե $I-ն$ կիսով չափ է, իսկ $\omega -ն$ ՝ եռապատկվում, նոր $L-ը$ կլինի 1/2×3=1.5 × սկզբնականը։

11. Խնդիր. 2 կգ զանգվածով և 1 մ շառավղով օղակը պտտվում է 4 ռադ/վ անկյունային արագությամբ: Հաշվարկեք դրա անկյունային մոմենտը:

Լուծում. օղակի համար I = m r ²

$Լ=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 կգ.մ ² /վ

12. Խնդիր. Վինտիլյատորի թևերը 0.5 մ երկարությամբ են, իսկ ընդհանուր զանգվածը՝ 1 կգ: Եթե այն պտտվում է 10 ռադ/վ անկյունային արագությամբ, որոշեք նրա անկյունային մոմենտը:

Լուծում. Ենթադրելով, որ օդափոխիչի շեղբերը նման են ձողերի, որոնք պտտվում են մեկ ծայրի շուրջ, I =1/3 մ լ ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 կգ.մ ² /վ

13. Խնդիր՝ Հաշվարկեք Երկրի անկյունային մոմենտը իր առանցքի շուրջ՝ պտույտի պատճառով։ Տրված է՝ Երկրի զանգվածը =5.972× ¹⁰²⁴ կգ , շառավիղը $՝\; r=6371\text{կմ}$ , ω = 7.27 × 1 0 ⁻⁵ ռադ/վրկ ։

Լուծում. Ենթադրելով, որ Երկիրը պինդ գունդ է, I = 2/5 մ r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ կգ.մ ² / վ

14. Խնդիր. Երեխան շարժվում է դեպի պտտվող հարթակի կենտրոնը։ Արդյո՞ք անկյունային մոմենտը մեծանում է, նվազում, թե՞ մնում է նույնը։

Լուծում. Անկյունային մոմենտը պահպանվում է։ Երբ երեխան շարժվում է դեպի կենտրոն, իներցիայի մոմենտը նվազում է։ Անկյունային մոմենտը պահպանելու համար անկյունային արագությունը մեծանում է։ Այսպիսով, անկյունային մոմենտը մնում է նույնը։

15. Խնդիր. Եթե պտտվող մարմնի կինետիկ էներգիան կրկնապատկվում է, ապա ի՞նչ գործակցով է փոխվում նրա անկյունային մոմենտը։

Լուծում. Կինետիկ էներգիա K = 1/2 ​I ω ² և անկյունային իմպուլս $L=I\omega$ : Եթե կինետիկ էներգիան կրկնապատկվում է, և $I-ն$ մնում է անփոփոխ, ապա ω ^2-ը կրկնապատկվում է: Սա ենթադրում է, որ $\omega -ն$ մեծանում է √ 2 անգամ :$Այսպիսով,\; L-ը$ նույնպես մեծանում է √ 2 անգամ :

16. Խնդիր. 0.3 մ շառավղով հեծանիվի անիվն ունի 1.5 կգ զանգվածով եզր։ Եթե այն պտտվում է 5 ռադ/վ անկյունային արագությամբ, գտեք նրա անկյունային մոմենտը։

Լուծում. Ենթադրելով, որ եզրը օղակ է, I = m r ²

$Լ=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 կգ.մ² ^/ վ

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 կգ.մ ² / վ

17. Խնդիր. Սառցե չմշկորդը պտտվելիս ձեռքերը քաշում է դեպի ներս։ Ի՞նչ է պատահում նրա անկյունային մոմենտի հետ։

Լուծում. Չմշկորդուհու անկյունային մոմենտը պահպանվում է։ Ձեռքերը ներս քաշելով՝ նա նվազեցնում է իր իներցիայի մոմենտը, և այդպիսով ավելի արագ է պտտվում (անկյունային արագությունը մեծանում է)՝ իր անկյունային մոմենտը պահպանելու համար։

18. Խնդիր. Թռչող անիվն ունի 0.2 կգ.մ ² կգ.մ ² իներցիայի մոմենտ և պտտվում է 10 ռադ/վ անկյունային արագությամբ։ Գտեք նրա անկյունային մոմենտը։

Լուծում

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 կգ.մ ² /վ

Լ = 0.2 × 10 = 2 կգ.մ ² / վ

19. Խնդիր. Համակարգի վրա ազդում է զրոյական արտաքին զուտ մոմենտ։ Ի՞նչ կարող եք ասել դրա անկյունային մոմենտի մասին։

Լուծում. Եթե արտաքին զուտ մոմենտը զրո է, ապա անկյունային մոմենտի պահպանման օրենքը հաշվի առնելով՝ համակարգի լրիվ անկյունային մոմենտը մնում է անփոփոխ։

20. Խնդիր. m = 5 կգ զանգվածով կետային զանգվածը շարժվում է v = 3 մ/վ արագությամբ՝ ուղղահայաց այն P կետին միացնող գծին: Եթե P կետից հեռավորությունը 4 մ է, գտեք դրա անկյունային մոմենտը P կետի շուրջը:

Լուծում

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 կգ.մ ² /վ

L = 5 × 4 × 3 = 60 կգ.մ ² / վ