Բինոմիալ բաշխման սպասվող արժեքը
Բինոմային բաշխումը վիճակագրության և հավանականության մեջ ամենատարածված դիսկրետ հավանականության բաշխումներից մեկն է: Այս բաշխումը նկարագրում է անկախ բինար փորձարկումների շարքում հաջողությունների քանակը (փորձեր միայն երկու արդյունքով՝ հաջողություն կամ ձախողում): Բինոմային բաշխումն ավելի լավ հասկանալու համար կարևոր է հասկանալ սպասվող արժեքի հասկացությունը, որը նկարագրում է երկար ժամանակահատվածում կրկնվող փորձարկման միջին արժեքը: Այս հոդվածը կանդրադառնա սպասվող արժեքի հասկացությանը բինոմային բաշխման համատեքստում:
Բինոմիալ բաշխման սահմանումը
Բինոմային բաշխումը առաջանում է այն դեպքերում, երբ մենք կատարում ենք մի շարք նույնական և անկախ փորձարկումներ, և յուրաքանչյուր փորձարկում ունի երկու փոխադարձաբար բացառիկ արդյունք, որոնք սովորաբար անվանում են «հաջողություն» և «ձախողում»։ Օրինակ՝ մետաղադրամ նետելը (գլուխ կամ պոչ), քննության հարցին պատասխանելը (ճիշտ կամ սխալ) կամ բժշկական փորձարկումը (բուժված կամ չբուժված)։
Բինոմային բաշխումը սահմանվում է երկու պարամետրով՝
– n, փորձերի քանակը։
– p՝ յուրաքանչյուր փորձի հաջողության հավանականությունը։
Կոպիտ ասած, եթե X-ը պատահական փոփոխական է, որը ներկայացնում է n փորձերի հաջողությունների քանակը, ապա X-ը հետևում է n և p պարամետրերով բինոմիալ բաշխմանը, որը նշանակվում է որպես X ~ Binomial(n, p):
Հավանականության ֆունկցիա
Բինոմային բաշխման հավանականության ֆունկցիան հետևյալն է.
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
Որտեղ՝
– \( \binom{n}{k} \)-ը բինոմային գործակիցն է, որը հաշվարկվում է որպես \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k)-ն հաջողությունների ցանկալի թիվն է։
– \(n\)-ը փորձերի քանակն է։
– \(p\)-ն յուրաքանչյուր փորձի հաջողության հավանականությունն է։
– \((1-p) \)-ն յուրաքանչյուր փորձի ձախողման հավանականությունն է։
Ակնկալվող արժեք
Հավանականության բաշխման սպասվող արժեքը կամ միջինը կենտրոնական դիրքի ամենակարևոր չափանիշներից մեկն է։ Բինոմալ բաշխման համար Binomial(n, p)-ին հաջորդող X պատահական փոփոխականի սպասվող արժեքը հետևյալն է.
\[ E(X) = np \]
Ակնկալվող արժեքի ապացույց
Որպեսզի հասկանանք, թե ինչու է բինոմային բաշխման սպասվող արժեքը np, կարող ենք օգտագործել սպասվող արժեքի գծայինության հատկությունը և տեսնել, թե ինչպես են բինար փոփոխականները գումարվում իրենց ներդրմանը։
Եկեք սահմանենք \(X \)-ը որպես n երկուական փորձարկումների հաջողության քանակ։ Ավելի կոնկրետ, ենթադրենք \(X_i \)-ը պատահական փոփոխական է, որը ցույց է տալիս i-րդ փորձարկման արդյունքը, որտեղ \(X_i = 1 \)-ը, եթե i-րդ փորձարկումը հաջող է, և \(X_i = 0 \)-ը, եթե այն ձախողվել է։ Այդ դեպքում կարող ենք գրել \(X \)-ը որպես՝
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Քանի որ յուրաքանչյուր \(X_i \) երկուական փոփոխական է՝ p հաջողության հավանականությամբ, \(X_i \)-ի սպասվող արժեքը հետևյալն է՝
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Մենք կարող ենք օգտագործել սպասվող արժեքի գծային հատկությունը X-ի սպասվող արժեքի համար՝
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Սա ցույց է տալիս, որ բինոմային բաշխման սպասվող արժեքը np է։
Նկարազարդ օրինակ
Դիտարկենք այն դեպքը, երբ մենք 10 անգամ նետում ենք արդար մետաղադրամ։ Եկեք հարցնենք, թե ինչպիսին կլինի գլխով նետումների քանակի սպասվող արժեքը։
Այս դեպքում՝
– n = 10 (մետաղադրամ նետելու քանակը)
– p = 0.5 (գլուխներ ստանալու հավանականություն, քանի որ մետաղադրամը արդար է)
Այսպիսով, սպասվող արժեքը հետևյալն է.
\[ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 \]
Սա նշանակում է, որ եթե մենք մետաղադրամը նետենք 10 անգամ երկար ժամանակահատվածում, միջինում մենք 5 անգամ գլխով հարված կստանանք։
Վարիացիա և ստանդարտ շեղում
Ակնկալվող արժեքից բացի, կարևոր է նաև հասկանալ բինոմային բաշխման դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը։
Բինոմալ բաշխման համար դիսպերսիան \( \sigma^2 \) և ստանդարտ շեղումը \( \sigma \) հետևյալն են՝
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Շեղումը չափում է, թե որքանով են տվյալները տարածված սպասվող արժեքից: Ստանդարտ շեղումը շեղման քառակուսի արմատն է և նույնպես չափում է տվյալների տարածումը, բայց նույն միավորներով, ինչ սկզբնական տվյալները:
Եզրակացություն
Բինոմային բաշխումը վիճակագրության և հավանականության մեջ հիմնարար հասկացություն է, որը հաճախ հանդիպում է իրական աշխարհի տարբեր կիրառություններում՝ բիզնեսից մինչև հասարակական գիտություններ և կենսաբանություն: Բինոմային բաշխման սպասվող արժեքը, որը հաշվարկվում է որպես np, կարևոր պատկերացում է տալիս երկուական փորձարկումների շարքում հաջողությունների միջին թվի մասին: Հասկանալով սպասվող արժեքի, դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման հասկացությունները՝ մենք կարող ենք ավելի պարզ պատկերացում կազմել բինոմային բաշխման բնութագրերի և այն մասին, թե ինչպես է այն նկարագրում առօրյա կյանքում որոշակի երևույթներ:
Այս գիտելիքը չափազանց օգտակար է ոչ միայն տվյալների վերլուծության և վիճակագրության մեջ, այլև որոշումների կայացման մեջ, որոնք պահանջում են հավանականության և անորոշության գնահատում: Ակնկալվող արժեքի և բինոմային բաշխման հասկացողությունը կարող է օգնել մեզ ավելի ճշգրիտ կանխատեսումներ անել և ավելի տեղեկացված որոշումներ կայացնել:
