Բինոմիալ բաշխում

Բինոմալ բաշխում. տեսություն, կիրառություններ և օրինակներ

Պենդահուլուան

Բինոմային բաշխումը վիճակագրության և հավանականության տեսության հիմնարար հասկացություն է: Որպես ամենատարածված դիսկրետ բաշխումներից մեկը, բինոմային բաշխումը բազմաթիվ կիրառություններ է առաջարկում այնպիսի ոլորտներում, ինչպիսիք են բժշկությունը, տնտեսագիտությունը, կենսաբանությունը և հասարակական գիտությունները: Այս հոդվածը մանրամասն կքննարկի բինոմային բաշխումը, ներառյալ դրա սահմանումը, հիմնական հատկությունները, դրանց հետ կապված բանաձևերը և մի քանի գործնական կիրառման օրինակներ:

Բինոմիալ բաշխման հասկացումը

Բինոմային բաշխումը նկարագրում է n Բեռնուլիի փորձերի արդյունքը, որտեղ յուրաքանչյուր փորձ ունի միայն երկու հնարավոր արդյունք՝ «հաջողություն» կամ «ձախողում»։ Օրինակ՝ մետաղադրամի նետման դեպքում հնարավոր արդյունքներն են՝ «գլուխներ» կամ «գլուխներ»։

Բինոմային բաշխման երկու հիմնական պարամետրերն են՝
1. n (փորձերի քանակը)
2. p (յուրաքանչյուր փորձարկման հաջողության հավանականությունը)

Ավելի պաշտոնապես, n փորձարկումներում հաջողությունների քանակը կարելի է նկարագրել բինոմային բաշխմամբ \(B(n, p) \):

Հավանականության զանգվածային ֆունկցիա (PMF)

Բինոմային բաշխման հավանականության զանգվածային ֆունկցիան ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Որտեղ՝
– \( \binom{n}{k} \)-ը n ընտրված k-երի համադրություն է,
– \(p\)-ն մեկ փորձի հաջողության հավանականությունն է,
– \(k)-ն հաջողությունների թիվն է,
– \(n \)-ն փորձերի ընդհանուր թիվն է։

Բինոմիալ բաշխման հիմնական հատկությունները

Բինոմային բաշխումը ունի մի քանի հիմնական հատկություններ՝
1. Միջին (միջին): Ստացվում է փորձերի քանակը բազմապատկելով յուրաքանչյուր փորձի հաջողության հավանականությամբ: Միջինը հավասար է \( \mu = np \):
2. Վարիացիա. Բինոմային բաշխման վարիացիան փորձարկումների քանակի, հաջողության հավանականության և ձախողման հավանականության արտադրյալն է, այսինքն՝ \( \sigma^2 = np(1 – p) \).
3. Սիմետրիա և թեքություն. Երբ \( p = 0.5 \), բինոմային բաշխումը սիմետրիկ է։ \( p < 0.5 \)-ի դեպքում բաշխումը թեքված է դեպի աջ, իսկ \( p > 0.5 \)-ի դեպքում բաշխումը թեքված է դեպի ձախ։
4. Արժեքի սահմաններ. Բինոմային արժեքը (k) տատանվում է 0-ից մինչև n:

Բինոմիալ բաշխումը և կենտրոնական սահմանային թեորեմը

Բինոմային բաշխումը կարևոր դեր է խաղում Կենտրոնական սահմանային թեորեմում։ Երբ փորձարկումների քանակը (n) դառնում է շատ մեծ, բինոմային բաշխումը կմոտենա նորմալ բաշխմանը՝ միջին \( \mu = np \) և ստանդարտ շեղում \( \sigma = \sqrt{np(1 – p)} \) արժեքներով։

Բինոմալ բաշխման օգտագործման օրինակ

Բինոմային բաշխման վերաբերյալ քննարկումներն ավելի հեշտ կլինի հասկանալ տարբեր ոլորտներից վերցված գործնական օրինակների միջոցով։ Ահա մի քանի իրական կիրառություններ՝

Օրինակ 1. Արտադրանքի փորձարկում

Ենթադրենք, որ էլեկտրոնիկայի ընկերությունն ունի արտադրական գիծ, ​​որտեղ թերի արտադրանքի հավանականությունը 0.01 է: Եթե ընկերությունը ստուգում է 100 ապրանք, որքա՞ն է ճիշտ 2 թերի ապրանք գտնելու հավանականությունը:

Բինոմիալ բաշխման բանաձևի կիրառումը՝
\[ P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.01)^2 (0.99)^{98} \]

Հաշվարկելով \(\binom{100}{2}\ համակցությունները, այնուհետև բազմապատկելով մնացած հավանականություններով, ստանում ենք վերջնական արդյունքը։

Օրինակ 2. Բժշկական հետազոտություններ

Որևէ հիվանդության դեմ դեղամիջոցի կլինիկական փորձարկման ժամանակ հիվանդի դեղամիջոցով բուժվելու հավանականությունը 0.8 է: Եթե թեստավորվում է 10 հիվանդ, որքա՞ն է հավանականությունը, որ առնվազն 8 հիվանդ կբուժվի:

Այս հավանականությունը գտնելու համար մենք պետք է գումարենք 8, 9 և 10 հիվանդների ապաքինման հավանականությունները՝
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]

k-ի յուրաքանչյուր արժեքի համար օգտագործելով բինոմային բանաձևը (8, 9 և 10), այնուհետև գումարելով արդյունքները։

Օրինակ 3. Որոշումներ տնտեսագիտության մեջ

Շուկայի հարցման արդյունքում սպառողների 60%-ը հավանել է նոր ապրանքը։ Եթե պատահականորեն ընտրվի 20 սպառող, ո՞րն է հավանականությունը, որ նրանցից առնվազն 15-ին դուր է եկել ապրանքը։

Մեզ անհրաժեշտ է բինոմային բաշխումը՝ 15-ից 20 լայքերի քանակի հավանականությունը հաշվարկելու համար։
\[ P(X \geq 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) \]

Նույն մեթոդը կիրառելով՝ մենք հաշվարկում և գումարում ենք այս հավանականությունները։

Տեխնոլոգիայի կիրառումը բինոմային բաշխման հաշվարկներում

Թվային դարաշրջանում բինոմային բաշխման հաշվարկման կիրառությունները կատարվում են ոչ միայն ձեռքով, այլև R, Python կամ որոշակի վիճակագրական հաշվիչների նման ծրագրերի միջոցով։

Ահա Python-ի օգտագործման օրինակ՝ երկանդամային բաշխումը հաշվարկելու համար.

«Պիթոն
scipy.stats-ից ներմուծված binom

n = 10 փորձերի քանակը
p = 0.8 հաջողության հավանականություն
k = 8 սպասվող հաջողությունների քանակ

ճիշտ 8 հաջողության հավանականություն
prob_8 = binom.pmf(k, n, p)

առնվազն 8 հաջողության հավանականություն
prob_ge_8 = 1 – binom.cdf(k-1, n, p)

print(f”Ճիշտ 8 հաջողության հավանականություն՝ {prob_8}”)
print(f”Առնվազն 8 հաջողության հավանականություն՝ {prob_ge_8}”)
««

Եզրակացություն

Բինոմային բաշխումը վիճակագրության և հավանականության մեջ կարևոր հիմնարար հասկացություն է: Բինոմային բաշխումը հասկանալով՝ մենք կարող ենք կիրառել տարբեր հավանականության մոդելներ իրական աշխարհի իրավիճակներում, որոնք ներառում են կրկնակի փորձեր՝ երկու արդյունքով: Տեխնոլոգիական գործիքներ օգտագործելու ունակությունը հաշվարկման գործընթացը դարձնում է ավելի արդյունավետ և ճշգրիտ: Բինոմային բաշխումը ոչ միայն տեսականորեն կարևոր է, այլև ունի բազմաթիվ համապատասխան գործնական կիրառություններ գիտության և արդյունաբերության տարբեր ոլորտներում:

Հուսով ենք, որ այս հոդվածը ավելի խորը պատկերացում կտա բինոմային բաշխման մասին և կոգեշնչի հետագա ուսումնասիրություններ վիճակագրության և հավանականության ոլորտներում։