Դիրքի վեկտորների քննարկման խնդիրների օրինակ
Վեկտորները մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի հիմնարար հասկացություններ են, որոնք ներկայացնում են մեծություններ՝ ինչպես ուղղությամբ, այնպես էլ մեծությամբ: Տարբեր կիրառություններում վեկտորները հաճախ օգտագործվում են դիրքը, արագությունը, ուժը և շատ այլ պարամետրեր նկարագրելու համար: Վեկտորների տարբեր տեսակների մեջ դիրքի վեկտորները կարևոր դեր են խաղում տարածության մեջ կետի դիրքը քարտեզագրելու գործում:
Դիրքի վեկտորի սահմանումը
Դիրքի վեկտորը վեկտոր է, որը նկարագրում է կետի դիրքը կոորդինատային համակարգում սկզբնակետի նկատմամբ։ Ընդհանուր առմամբ, դիրքի վեկտորը կարտեզյան կոորդինատային տեսքով գրվում է հետևյալ կերպ՝
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Այստեղ՝ \(\mathbf{r}\)-ը դիրքի վեկտորն է, \(x\), \(y\) և \(z\)-ը՝ համապատասխանաբար \(x\), \(y\) և \(z\) առանցքների երկայնքով գտնվող բաղադրիչները, մինչդեռ \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) և \(\mathbf{k}\)-ը համապատասխանաբար կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ միավոր վեկտորներ են։ Երկչափ տարածությունում \(z\) բաղադրիչը սովորաբար գոյություն չունի, ուստի դիրքի վեկտորը դառնում է հետևյալը՝
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Դիրքի վեկտորի կիրառություններ
Օրինակ, ֆիզիկայում դիրքի վեկտորները կարևոր դեր են խաղում մարմինների շարժումը նկարագրելու գործում: Մարմնի դիրքը սկզբնակետի (հղման կետի) նկատմամբ կարող է ներկայացվել դիրքի վեկտորով: Ավելին, մեխանիկական ճարտարագիտության մեջ ուժերի և մոմենտների հաշվարկները հաճախ ներառում են դիրքի վեկտորների օգտագործումը:
Օրինակելի հարցեր և դիրքի վեկտորների քննարկում
Հարց 1
Ենթադրենք, որ եռաչափ տարածությունում կան երկու կետ՝ A կետը՝ (1, 2, 3) կոորդինատներով, և B կետը՝ (4, 0, -2) կոորդինատներով։ Որոշեք A և B կետերի դիրքային վեկտորները։ Բացի այդ, հաշվարկեք A կետերը B կետերին միացնող վեկտորը։
Քննարկում.
A կետի դիրքի վեկտորը՝
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
B կետի դիրքի վեկտորը՝
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Հաջորդը, A կետը B կետին միացնող վեկտորը գտնելու համար (կոչվում է \(\mathbf{AB}\)), մենք պետք է A-ի դիրքի վեկտորը հանենք B-ի դիրքի վեկտորից։
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Այսպիսով, վերևում նշված երկու դիրքային վեկտորները փոխարինելով՝
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Այսպիսով, A-ն B կետը միացնող վեկտորը \(3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \)-ն է։
Հարց 2
Եթե P կետը գտնվում է երկչափ հարթության \(2, 3)\) վրա, գտեք \(\mathbf{r_P}\) դիրքի վեկտորի երկարությունը (նորման):
Քննարկում.
P կետի դիրքային վեկտորը՝
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Դիրքային վեկտորի \(\mathbf{r_P}\) երկարությունը կարելի է հաշվարկել վեկտորի նորմայի (կամ երկարության) բանաձևի միջոցով՝
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Փոխարինեք \(x\) և \(y\) արժեքները՝
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Այսպիսով, դիրքի վեկտորի երկարությունը \(\sqrt{13}\) է։
Հարց 3
Ենթադրենք, որ Q կետը գտնվում է (5, -4, 2) կետում։ Գտեք դիրքի վեկտորի (r_Q) և x առանցքի միջև ընկած անկյունը։
Քննարկում.
Q կետի դիրքային վեկտորը՝
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Վեկտորի (r_Q) և x առանցքի միջև ընկած անկյունը գտնելու համար կարող ենք օգտագործել կետային արտադրյալի հասկացությունը։ Նախ, որոշում ենք (r_Q) և (i) միջև ընկած կետային արտադրյալը։
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Քանի որ \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), և \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), ապա՝
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\)-ի նորմա։
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\)-ի նորման 1 է, քանի որ \(\mathbf{i}\)-ն միավոր վեկտոր է։
Կետային արտադրյալի բանաձևի կիրառումը՝ անկյունը (թ) գտնելու համար։
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Այսպիսով, դիրքի վեկտորի (r_Q) և x առանցքի միջև ընկած \(\theta\) անկյունը հետևյալն է՝
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Եզրակացություն
Դիրքի վեկտորները կարևոր դեր են խաղում գիտության և ճարտարագիտության մեջ, մասնավորապես՝ կոորդինատային տարածության մեջ օբյեկտների դիրքի քարտեզագրման գործում: Վերը նշված օրինակները ցույց են տալիս, թե ինչպես հաշվարկել դիրքի վեկտորները, դրանց երկարությունները և դրանց ու կոորդինատային առանցքների միջև եղած անկյունները: Այս հիմնարար հասկացությունների ըմբռնումը անգնահատելի է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մեջ տարածության և կոորդինատների հետ կապված տարբեր խնդիրներ լուծելու համար:
