Միակ տվյալների դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը քննարկող օրինակելի հարցեր

Հարցերի և քննարկման օրինակներ. Միայնակ տվյալների դիսպերսիա և ստանդարտ շեղում

Վիճակագրությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որը զբաղվում է տվյալների հավաքագրմամբ, վերլուծությամբ, մեկնաբանմամբ, ներկայացմամբ և կազմակերպմամբ: Վիճակագրության մեջ երկու կարևոր հասկացություններ են դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը: Այս հոդվածում մանրամասն կքննարկվի, թե ինչպես հաշվարկել մեկ տվյալների բազմության դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը՝ մի քանի օրինակելի խնդիրների միջոցով:

Վարիացիայի և ստանդարտ շեղման հասկացումը

Շեղումը չափանիշ է, որը քանակականացնում է, թե որքանով են տվյալների բազմության թվերը տարածված միջինից կամ միջին արժեքից: Շեղումը արտահայտվում է սկզբնական տվյալների քառակուսի միավորներով, ինչը հաճախ դժվարացնում է դրանց մեկնաբանումը:

Ստանդարտ շեղումը դիսպերսիայի քառակուսի արմատն է։ Այն ավելի ինտուիտիվ չափում է, թե որքանով են տվյալները ընդհանուր առմամբ շեղվում միջինից, քանի որ դրա միավորները նույնն են, ինչ տվյալների սկզբնական միավորները։

Ընդհանուր բանաձև

Միակ տվյալների համար բնակչության դիսպերսիայի (sigma^2) և ստանդարտ շեղման (sigma) բանաձևը հետևյալն է.

1. Վարիացիա (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

2. Ստանդարտ շեղում (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)

Որտեղ՝
– \(N \)-ն բազմության մեջ տվյալների քանակն է։
– \(x_i \)-ն i-րդ տվյալների արժեքն է։
– \( \mu \)-ն տվյալների միջին կամ միջին արժեքն է։

Եթե ​​հաշվարկենք նմուշի դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը, ապա վերը նշված բանաձևը փոքր-ինչ փոփոխված է.

1. Նմուշի շեղում (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)

2. Նմուշի ստանդարտ շեղում(ներ):
\(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)

Որտեղ՝
– \(n \)-ն նմուշում տվյալների քանակն է։
– \( \bar{x} \)-ը նմուշի միջին կամ միջին արժեքն է։

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Օրինակ՝ հարց 1:

Հաշվի առնելով հետևյալ տվյալները՝
8, 10, 10, 10, 12, 14

Հաշվարկեք տվյալների դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը։

Լուծման քայլերը.

1. Միջինի (միջին) հաշվարկը \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]

2. Հաշվարկեք տվյալների և միջինի միջև եղած տարբերությունը, այնուհետև քառակուսի լուծեք՝
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]

3. Բոլոր քառակուսի արդյունքների գումարումը՝
\[
\գումար (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]

4. Բնակչության տվյալների շեղման (σ²) հաշվարկը.
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]

Նշում. Քանի որ այս տվյալները ներկայացված են որպես բնակչության տվյալներ, բաժանում ենք 6-ի։

5. Ստանդարտ շեղման (σ) հաշվարկը.
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]

Այսպիսով, տվյալների դիսպերսիան 3.559 է, իսկ ստանդարտ շեղումը՝ 1.886։

Օրինակ՝ հարց 2:

Հաշվի առնելով հետևյալ նմուշային տվյալները՝
5, 6, 8, 9, 10, 11

Հաշվարկեք նմուշի դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը։

Լուծման քայլերը.

1. Միջինի (միջին) հաշվարկը \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]

2. Հաշվարկեք տվյալների և միջինի միջև եղած տարբերությունը, այնուհետև քառակուսի լուծեք՝
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]

3. Բոլոր քառակուսի արդյունքների գումարումը՝
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]

4. Նմուշի շեղման (s²) հաշվարկը.
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]

Նշում. Քանի որ սրանք նմուշային տվյալներ են, բաժանում ենք 5-ի (n-1):

5. Ստանդարտ շեղման (-ների) հաշվարկը.
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]

Այսպիսով, նմուշային տվյալների դիսպերսիան 5.351 է, իսկ ստանդարտ շեղումը՝ 2.313։

Եզրակացություն

Վարիացիայի և ստանդարտ շեղման հաշվարկը կենսական նշանակություն ունի տվյալ բազմության մեջ տվյալների տարածվածության աստիճանը հասկանալու համար: Մինչդեռ վարիացիան դիսպերսիայի տեսական չափանիշ է սկզբնական միավորների քառակուսիներով, ստանդարտ շեղումը մեկնաբանում է դիսպերսիայի չափը տվյալների սկզբնական միավորների տեսանկյունից, ինչը հեշտացնում է դրա ըմբռնումը: Տվյալների վերլուծության մեջ այս երկու չափանիշերը հաճախ օգտագործվում են տվյալների փոփոխականությունը գնահատելու և վիճակագրական որոշումներ կայացնելու համար:

Հասկանալով անհրաժեշտ քայլերն ու բանաձևերը, մենք կարող ենք հեշտությամբ հաշվարկել դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը առօրյա տվյալների հավաքագրման և վերլուծության ժամանակ հանդիպող տարբեր իրավիճակների համար: Հուսով ենք, որ այս հոդվածը ավելի խորը ըմբռնում կտա առանձին տվյալների հավաքածուներում դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման հասկացությունների վերաբերյալ: