Խմբային տվյալների շեղման և ստանդարտ շեղման վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Խմբային տվյալների շեղման և ստանդարտ շեղման վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Պենդահուլուան
Վիճակագրության մեջ դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը երկու վիճակագրական չափանիշներ են, որոնք կարևոր են տվյալների միջինից ցրվածությունը կամ տարածումը հասկանալու համար: Դիսպերիան չափում է, թե որքանով են տվյալները տարածված միջինից, մինչդեռ ստանդարտ շեղումը դիսպերսիայի քառակուսի արմատն է, որը տալիս է չափման միավորներ, որոնք նույն միավորներով են, ինչ սկզբնական տվյալները:

Սահմանում
– Վարիացիա (σ² կամ S²): Յուրաքանչյուր տվյալների արժեքի և տվյալների միջին արժեքի միջև եղած տարբերությունների քառակուսիների միջինն է։
– Ստանդարտ շեղում (σ կամ S): Դիսպերսիայի քառակուսի արմատն է։

Խմբային տվյալների դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման բանաձևը
Խմբային տվյալների համար մենք օգտագործում ենք յուրաքանչյուր դասի տվյալների հաճախականությունը։ Ահա բանաձևը՝

Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left(x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]

Ստանդարտ շեղում
\[ S = \sqrt{S^2} \]

Որտեղ՝
– \(f_i \) = յուրաքանչյուր դասի հաճախականությունը։
– \(x_i \) = յուրաքանչյուր դասի միջնակետը։
– \( \bar{x} \) = խմբային տվյալների միջինը։
– \(N \) = տվյալների ընդհանուր քանակը։

Հարցերի և քննարկման նմուշներ
Ենթադրենք, որ մենք ունենք քաշի տվյալներ դասերի խմբավորված մարդկանց խմբի համար։

| Քաշի միջակայք (կգ) | Հաճախականություն (f) |
|—————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |

Առաջին քայլը յուրաքանչյուր դասի միջնակետը որոշելն է (x_i)) և այնուհետև միջինը (x) հաշվարկելը։

1. Միջնակետի (\(x_i\)) հաշվարկը
Միջնակետ = Ստորին սահման + Վերին սահման}}{2}

| Քաշի միջակայք (կգ) | Հաճախականություն (f) | Միջնակետ (\(x_i\)) |
|——————|—————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |

2. Միջինի հաշվարկը (\( \bar{x} \))
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i}{ N } \]

Տվյալների ընդհանուր քանակը \(N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]

\[ Գումար f_i x_i = (2 անգամ 52) + (5 անգամ 57) + (8 անգամ 62) + (7 անգամ 67) + (3 անգամ 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]

Այսպիսով, միջինը (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]

3. Վարիացիայի հաշվարկ (\(S^2\))
Մենք պետք է հաշվարկենք \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):

\[
\begin{հավասարեցնել}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{հավասարեցնել}
\]

Բազմապատկում հաճախականությամբ՝
\[
\begin{հավասարեցնել}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \times 17.64 = 123.48 \\
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{հավասարեցնել}
\]

\[
f_i (x_i – x)^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]

Հիմա կարող ենք հաշվարկել դիսպերսիան (\(S^2\)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \մոտավորապես 32.85 \]

4. Ստանդարտ շեղման (\(S\)) հաշվարկը
Ստանդարտ շեղում (\(S\)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
S = ≤ 32.85 } մոտավորապես 5.73

Եզրակացություն
Վերոնշյալ օրինակի տվյալներից մենք ունենք՝
– Մարմնի միջին քաշի հաշվարկ՝ 62.8 կգ
– Հաշվարկվող շեղումը՝ 32.85 կգ²
– Ստանդարտ շեղման հաշվարկ՝ 5.73 կգ

Ստանդարտ շեղման մեկնաբանությունն այն է, որ քաշի տվյալների միջին շեղումը միջինից կազմում է մոտավորապես 5.73 կգ: Սա ցույց է տալիս տվյալների տարածումը միջինի նկատմամբ, ինչը կարող է օգնել եզրակացնել, թե որքան փոփոխական են մեր տվյալները:

Վարիացիայի և ստանդարտ շեղման խորը ըմբռնումը կարևոր է, հատկապես վիճակագրության, հետազոտությունների և թեստավորման ոլորտում աշխատողների համար, քանի որ նրանք փորձում են հասկանալ տվյալները խմբերի կամ բաշխումների տեսքով: Այս երկու չափանիշները հաշվարկելու և մեկնաբանելու եղանակը իմանալը կարող է օգնել ավելի լավ որոշումներ կայացնել՝ հիմնվելով առկա տվյալների վրա: