Մաթեմատիկական պտույտը քննարկող օրինակելի խնդիրներ
Պենդահուլուան
Պտտումը մաթեմատիկայում, մասնավորապես երկրաչափությունում, հաճախ հանդիպող երկրաչափական ձևափոխություն է: Պտտումը ենթադրում է առարկայի պտտում որոշակի կետի (պտտման կենտրոնի) շուրջ որոշակի անկյան տակ՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ կամ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ: Պտտման հասկացությունը կարևոր է այնպիսի ոլորտներում, ինչպիսիք են համակարգչային գրաֆիկան, ֆիզիկան և ճարտարագիտությունը: Այս հոդվածը կուսումնասիրի մաթեմատիկայում պտույտի տարբեր օրինակներ և քննարկումներ:
Պտտման հասկացողությունը
Պտտումը փոխակերպում է, որը տեղափոխում է առարկայի յուրաքանչյուր կետը՝ այն պտտելով որոշակի անկյան տակ որոշակի ուղղությամբ որոշակի անկյան տակ ֆիքսված կետի, որը կոչվում է պտտման կենտրոն։ θ անկյան և պտտման կենտրոնի (a, b) դեպքում պտույտի ընդհանուր նշանակումը կարելի է գրել որպես R_(a, b)(θ)։
P(x, y) կետի համար, որը պտտվել է θ աստիճանով և որի պտտման կենտրոնը գտնվում է (0, 0) սկզբնակետում, պտույտից հետո P'-ի (x', y') նոր կոորդինատները կստանանք հետևյալ բանաձևով՝
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Եկեք շարունակենք պտտման խնդիրների մի քանի օրինակներով՝ լրացնելով դրանց քննարկումները։
Հարցերի և քննարկման նմուշներ
Օրինակ՝ հարց 1
Հարց՝ Որոշեք A(3, 4) կետի նոր կոորդինատները՝ այն ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ 90 աստիճան պտտելուց հետո, պտտման կենտրոնը (0, 0) կետի սկզբնակետում պահելով։
Քննարկում. Պտտման բանաձևի կիրառումը 90 աստիճանի անկյան տակ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ.
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Այսպիսով, A'-ի նոր կոորդինատները պտույտից հետո կազմում են (-4, 3):
Օրինակ՝ հարց 2
Հարց. B(2, -1) կետը պտտվել է 180 աստիճանով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ պտտման կենտրոնը մնալով սկզբնակետում (0, 0): Որոշեք B կետի նոր կոորդինատները պտույտից հետո:
Քննարկում. 180 աստիճանով պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ կամ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ տալիս է նույն արդյունքը, այսինքն՝ կետի կոորդինատները փոխվում են (-x, -y):
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Այսպիսով, B'-ի նոր կոորդինատները (-2, 1) են։
Օրինակ՝ հարց 3
Հարց՝ C(-3, 5) կետը պտտվել է 270 աստիճանով ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ՝ պտտման կենտրոնը (0, 0) կետի սկզբնակետում։ Որոշեք C կետը պտտումից հետո։
Քննարկում. Ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ 270 աստիճան պտույտը համարժեք է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ 90 աստիճան պտույտին։
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Այսպիսով, C'-ի նոր կոորդինատները պտույտից հետո (5, -3) են։
Օրինակ՝ հարց 4
Հարց՝ Որոշեք D(5, 5) կետի նոր կոորդինատները՝ այն 45 աստիճան պտտելուց հետո, որի պտույտի կենտրոնը գտնվում է (0, 0) կետի սկզբնակետում։
Քննարկում. Պտտման բանաձևի կիրառումը 45 աստիճանի անկյան դեպքում.
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Այսպիսով, D'-ի նոր կոորդինատները պտույտից հետո կազմում են (0, 5√2):
Պտտում, որի կենտրոնը սկզբնակետից դուրս է
Պտտումները միշտ չէ, որ կատարվում են սկզբնակետի շուրջ։ Օրինակ, ենթադրենք, որ մենք ուզում ենք պտտել մի կետ՝ պտտման կենտրոնով (h, k): Դա անելու համար մենք պետք է կարգավորենք կոորդինատները հետևյալ կերպ՝
1. Կետը տեղափոխեք այնպես, որ (h, k)-ն դառնա ակունք։
2. Օգտագործեք պտույտի բանաձևը։
3. Վերադարձրեք սկզբնական դիրքին։
Օրինակ՝ հարց 5
Հարց. E(5, 7) կետը պտտվել է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ 90 աստիճանով՝ պտտման կենտրոնը (2, 3) կետում։ Որոշեք E կետի նոր կոորդինատները պտույտից հետո։
Քննարկում.
1. E կետը տեղափոխեք սկզբնակետ՝ պտույտի կենտրոնի նկատմամբ (2, 3):
– Նոր E' կետ = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Նոր կետի շուրջ պտտեք 90 աստիճան ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ։
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Այսպիսով, պտույտից հետո կոորդինատները (-4, 3) են։
3. Պտտման կենտրոնի նկատմամբ սկզբնական դիրքի տեղափոխում (2, 3):
– Վերջնակետ E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Այսպիսով, E կետի նոր կոորդինատները պտույտից հետո կազմում են (-2, 6):
Եզրակացություն
Մաթեմատիկական պտույտների վերլուծությունն ու հասկացումը կարևոր է տարբեր կիրառություններում: Վերոնշյալ օրինակների և քննարկումների միջոցով ընթերցողներից ակնկալվում է հասկանալ, թե ինչպես են գործում պտույտի բանաձևերը և ինչպես դրանք կարող են կիրառվել տարբեր իրավիճակներում: Այս վարժությունը ոչ միայն ամրապնդում է հիմնարար մաթեմատիկան, այլև օգտակար է երկրաչափական ձևափոխություններ ներառող այլ ոլորտներում:
