Շոշափող գծի և կորի հավասարման վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Վերնագիր՝ Շոշափող գծի հավասարումների և կորերի օրինակելի հարցեր և քննարկում

Պենդահուլուան

Կորի շոշափողի հավասարումը կարևոր հասկացություն է մաթեմատիկայում, մասնավորապես՝ մաթեմատիկական հաշվարկում և անալիտիկ երկրաչափությունում: Կորի շոշափողը գիծ է, որը շոշափում է կորը որոշակի կետում՝ առանց այն հատելու: Այս գիծն ունի նույն թեքությունը, ինչ կորը այդ կետում: Այս հոդվածի նպատակն է ներկայացնել կորի շոշափողի հավասարման օրինակներ և քննարկումներ, որպեսզի ընթերցողները կարողանան խորությամբ հասկանալ այս հասկացությունը:

Սահմանում և հիմնական հասկացություններ

Մինչև օրինակելի խնդիրներին անդրադառնալը, լավ միտք է վերանայել որոշ հիմնական հասկացություններ: (a, f(a)) կետում y = f(x) կորի հետ շոշափող գծի հավասարումը կարելի է որոշել ֆունկցիայի առաջին ածանցյալի միջոցով: Ընդհանուր քայլերը հետևյալն են՝

1. Ֆունկցիայի ածանցյալի որոշումը. Գտեք f(x) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը՝ f'(x) :
2. Գրադիենտի (թեքության) որոշումը. x = a արժեքը տեղադրեք f'(x) առաջին ածանցյալի մեջ՝ a կետում շոշափող գծի թեքությունը ստանալու համար։
3. Որոշեք շոշափող գծի հավասարումը. Օգտագործեք (a, f(a))) կետը և ստացված թեքությունը՝ շոշափող գծի հավասարումը կազմելու համար: Գծի հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝ (y – y_1 = m(x – x_1)), որտեղ (x_1, y_1)-ը գծի վրա գտնվող կետն է, իսկ m-ը՝ թեքությունը:

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Եկեք քննարկենք մի քանի օրինակելի հարցեր՝ մեր հասկացողությունը պարզաբանելու համար։

Օրինակ՝ հարց 1

Տրված է կորը՝ \(y = x^2 + 2x + 1 \): Որոշեք կորին շոշափող գծի հավասարումը աբսցիսա \(x = 1 \) ունեցող կետում:

Քննարկում.
1. Որոշեք առաջին ածանցյալը.
\[
y = x^2 + 2x + 1
\]
y-ի առաջին ածանցյալը հետևյալն է՝
\[
\frac{dy}{dx} = 2x + 2
\]

2. Որոշեք գրադիենտը \( x = 1 \) կետում։
Առաջին ածանցյալում տեղադրեք \(x = 1 \)-ը՝
\[
մ = 2(1) + 2 = 4
\]

3. Շոշափման կետի որոշումը.
Գտեք \(y \)-ի արժեքը \(x = 1 \) դեպքում։
\[
y = (1)^2 + 2(1) + 1 = 4
\]
Այսպիսով, շոշափելի կետը \((1, 4) \)-ն է։

4. Շոշափող գծի հավասարման որոշումը.
Օգտագործեք գծի հավասարումը \(y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 4 = 4(x – 1)
\]
Պարզեցնել՝
\[
y – 4 = 4x – 4
\]
\[
y = 4x – 4 + 4
\]
\[
y = 4x
\]
Այսպիսով, շոշափող գծի հավասարումը \(y = 4x \) է։

Օրինակ՝ հարց 2

Տրված է կորը՝ (y = cos(x)): Որոշեք կորին շոշափող գծի հավասարումը այն կետում, որտեղ աբսցիսա է (x = pi}{2}):

Քննարկում.
1. Որոշեք առաջին ածանցյալը.
\[
y = \cos(x)
\]
y-ի առաջին ածանցյալը հետևյալն է՝
\[
\frac{dy}{dx} = -\sin(x)
\]

2. Որոշեք գրադիենտը \(x = \frac{\pi}{2} \) կետում։
Առաջին ածանցյալի մեջ տեղադրեք \(x = \frac{\pi}{2} \)-ն։
\[
m = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1
\]

3. Շոշափման կետի որոշումը.
Գտեք \(y \)-ի արժեքը \(x = \frac{\pi}{2} \)-ում։
\[
y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
Այսպիսով, շոշափելի կետը \( \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \)-ն է։

4. Շոշափող գծի հավասարման որոշումը.
Օգտագործեք գծի հավասարումը \(y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 0 = -1\left(x – \frac{\pi}{2}\right)
\]
\[
y = -x + \frac{\pi}{2}
\]
Այսպիսով, շոշափող գծի հավասարումը \(y = -x + \frac{\pi}{2} \) է։

Օրինակ՝ հարց 3

Տրված է կորը՝ \(y = e^x \): Որոշեք կորին շոշափող գծի հավասարումը այն կետում, որտեղ \(x = 0 \) աբսցիսա կա:

Քննարկում.
1. Որոշեք առաջին ածանցյալը.
\[
y = e^x
\]
y-ի առաջին ածանցյալը հետևյալն է՝
\[
\frac{dy}{dx} = e^x
\]

2. Որոշեք գրադիենտը \( x = 0 \) կետում։
Առաջին ածանցյալում տեղադրեք \(x = 0 \)-ը՝
\[
մ = e^0 = 1
\]

3. Շոշափման կետի որոշումը.
Գտեք \(y \)-ի արժեքը \(x = 0 \) դեպքում։
\[
y = e^0 = 1
\]
Այսպիսով, շոշափելի կետը \((0, 1) \)-ն է։

4. Շոշափող գծի հավասարման որոշումը.
Օգտագործեք գծի հավասարումը \(y – y_1 = m(x – x_1) \):
\[
y – 1 = 1(x – 0)
\]
\[
y – 1 = x
\]
\[
y=x+1
\]
Այսպիսով, շոշափող գծի հավասարումը \(y = x + 1 \) է։

Penutup

Հասկանալով, թե ինչպես որոշել կորի շոշափող գծի հավասարումը, մենք կարող ենք ավելի լավ հասկանալ, թե ինչպես են երկրաչափությունն ու հանրահաշիվը համատեղ աշխատում՝ կորերի բնութագրերը ուսումնասիրելու համար: Ընդհանուր քայլերն են՝ գտնել ածանցյալը, որոշել թեքությունը և կառուցել շոշափող գծի հավասարումը՝ հիմնվելով գտնված կետերի և թեքության վրա: Որքան շատ պրակտիկա, այնքան ավելի խորը կդառնա այս թեմայի մեր հասկացողությունը: Հաճելի ուսուցում: