Ֆիզիկայում ինտեգրալների կիրառման վերաբերյալ հարցերի օրինակներ
Ինտեգրալների կիրառումը ֆիզիկայում շատ կարևոր և լայն հասկացություն է: Ինտեգրալների կիրառումը թույլ է տալիս ֆիզիկոսներին և ինժեներներին հաշվարկել բազմազան բարդ բնական երևույթներ, անկախ նրանից, թե դրանք կապված են շարժման, էներգիայի, ուժի կամ այլ ասպեկտների հետ: Այս հոդվածը կուսումնասիրի մի քանի օրինակելի խնդիրներ և կքննարկի ինտեգրալների կիրառումը ֆիզիկայում:
1. Փոփոխական ուժի աշխատանքի հաշվարկը
Սոալ
Ուժը, որը փոփոխվում է \(x\) դիրքից, տրվում է \(F(x) = 3x^2 \) բանաձևով։ Հաշվարկեք այս ուժի կատարած աշխատանքը, երբ մարմինը տեղափոխվում է \(x = 0\)-ից \(x = 2\) մետր։
Քննարկում
Փոփոխվող ուժի կատարած աշխատանքը ուժի ինտեգրալն է հեռավորության նկատմամբ։ Եթե տրված է ուժը՝ F(x)₂ որպես դիրքի ֆունկցիա (x), ապա աշխատանքը կարող ենք արտահայտել հետևյալ կերպ՝
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Այս դեպքում՝
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{մետր} \]
\[ b = 2 \, \text{մետր} \]
Այնուհետև \(W\) աշխատանքը կլինի՝
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Մենք հաշվարկում ենք այս ինտեգրալը.
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 ձախ( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Ջոուլ}
\]
Այսպիսով, ուժի կատարած աշխատանքը 8 Ջոուլ է։
2. Միատարր ձողի զանգվածի կենտրոնի հաշվարկը
Սոալ
x-առանցքի վրա x = 0 կետից մինչև x = L կետը տեղակայված է L երկարությամբ միատարր ձող։ Հաշվարկեք ձողի զանգվածի կենտրոնի դիրքը։
Քննարկում
Միատարր ձողի զանգվածը հավասարաչափ բաշխված է նրա երկարությամբ։ Կարող ենք ենթադրել, որ ձողը ունի հաստատուն գծային զանգված \(\lambda\) (զանգվածը մեկ միավոր երկարության վրա)։
Զանգվածի կենտրոնը (x_{cm})) տրվում է հետևյալ կերպ՝
\[ x_{սմ} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Քանի որ զանգվածը բաշխված է միատարր, մենք կարող ենք արտահայտել \(dm = \lambda \, dx\) և սահմանային ինտեգրալը \(x = 0\)-ից մինչև \(x = L\):
\[
x_{սմ} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
\(\lambda\)-ի միջոցով ինտեգրումը հաստատուն է և կարող է չեղարկվել։
\[
x_{սմ} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Այսպիսով, ձողի զանգվածի կենտրոնի դիրքը \( \frac{L}{2} \) կետում է, կամ ձողի կենտրոնում։
3. Էլեկտրաստատիկ ուժի հաշվարկը՝ հիմնվելով Կուլոնի օրենքի վրա
Սոալ
Երկու լիցքեր՝ \(q_1\) և \(q_2\) տեղակայված են x առանցքի երկայնքով՝ համապատասխանաբար \(x = 0\) և \(x = L\) կետերում։ Հաշվարկեք երկու լիցքերի միջև եղած էլեկտրաստատիկ ուժը։
Քննարկում
Կուլոնի օրենքը նշում է, որ երկու կետային լիցքերի միջև գործող ուժը ուղիղ համեմատական է լիցքերի արտադրյալին և հակադարձ համեմատական է դրանց միջև հեռավորության քառակուսուն։
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Դիմանա.
– \(k_e\)-ն Կուլոնի հաստատունն է \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\)-ն լիցքերի միջև հեռավորությունն է
Այս դեպքում \(q_1\)-ը և \(q_2\)-ը գտնվում են \(x = 0\) և \(x = L\) կետերում, ապա \(r = L\) հեռավորությունը։
Էլեկտրաստատիկ ուժը հետևյալն է.
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Սա որոշակի հեռավորության վրա տեղադրված երկու կետային լիցքերի միջև էլեկտրաստատիկ ուժը հաշվարկելու համար լայնորեն կիրառվող լուծում է։
4. Մագնիսական հոսքի հաշվարկ
Սոալ
(r) շառավղով շրջանաձև մետաղալարե օղակը տեղադրված է (B) միատարր մագնիսական դաշտում, որը ուղղահայաց է օղակի հարթությանը։ Հաշվարկեք օղակով անցնող մագնիսական հոսքը։
Քննարկում
Մագնիսական հոսքը (\(\Phi_B\)) մագնիսական դաշտի \(B\) \(A\) մակերեսով տրվում է հետևյալ կերպ՝
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Քանի որ մագնիսական դաշտը \(B\) միատարր է և ուղղահայաց է օղակի հարթությանը, պարզ ինտեգրալը կունենա հետևյալ տեսքը՝
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Որտեղ r շառավղով շրջանագծի \(A\) մակերեսը հետևյալն է՝
\[ A = \pi r^2 \]
Այնուհետև օղակի միջով անցնող մագնիսական հոսքը հավասար է.
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Այսպիսով, օղակով անցնող մագնիսական հոսքը հավասար է \(B \pi r^2 \)։
Եզրակացություն
Ֆիզիկայում ինտեգրալների կիրառումը անխուսափելի է, երբ մենք պետք է հաշվարկենք բարդ բնական երևույթների հետ կապված տեղեկատվություն: Փոփոխական ուժի կատարած աշխատանքի հաշվարկից մինչև մարմնի զանգվածի կենտրոնի որոշումը, Կուլոնի օրենքի հիման վրա էլեկտրաստատիկ ուժերի հաշվարկը, մինչև մագնիսական դաշտում մետաղալարի օղակի միջով մագնիսական հոսքի հաշվարկը, բոլորը հիմնված են ինտեգրալների վրա՝ խնդիրներ լուծելու համար: Ինտեգրալների աշխատանքի խորը ըմբռնումը տարբեր ֆիզիկայի համատեքստերում ոչ միայն պարզեցնում է խնդիրների լուծումը, այլև ավելի խորը պատկերացում է տալիս տիեզերքի մեխանիկայի մասին մոլեկուլային և գալակտիկական մակարդակներում:
