Եռանկյունաչափական հարաբերակցությունների կիրառման վերաբերյալ հարցերի օրինակներ
Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է եռանկյունների կողմերի և անկյունների միջև եղած կապերը: Եռանկյունաչափության հասկացումը կարևոր է, քանի որ այն հաճախ օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում, այդ թվում՝ ճարտարապետության, ճարտարագիտության, աստղագիտության և նույնիսկ կրիպտոգրաֆիայի: Այս հոդվածում կքննարկվեն մի քանի օրինակելի խնդիրներ և կքննարկվեն դրանք եռանկյունաչափական հարաբերակցությունների օգտագործման համատեքստում:
Եռանկյունաչափության հիմնական հասկացությունները
Մինչև օրինակային խնդիրներին անդրադառնալը, եկեք վերանայենք եռանկյունաչափության որոշ հիմնական հասկացություններ: Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հաճախ օգտագործվում են երեք հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ սինուս, կոսինուս և տանգենս:
– Անկյան սինուսը (sin) անկյան հակառակ կողմի երկարության և ներքնաձիգի երկարության հարաբերությունն է։
\[
\sin \theta = \frac{\text{դիմերես}}{\text{հիպոթենուս}}
\]
– Անկյան կոսինուսը (cos) անկյանը հարակից կողմի երկարության և ներքնաձիգի երկարության հարաբերությունն է։
\[
\cos \theta = \frac{\text{հարակից կողմ}}{\text{հիպոթենուս}}
\]
– Անկյան տանգենսը (շագանակագույնը) անկյան դիմացի կողմի երկարության և անկյանը հարող կողմի երկարության հարաբերությունն է։
\[
\tan \theta = \frac{\text{առջևի կողմ}}{\text{կողային կողմ}}
\]
Օրինակ՝ հարց 1. Աշտարակի բարձրության հաշվարկ
Հարց. Դիտորդը կանգնած է աշտարակից 50 մետր հեռավորության վրա և չափում է աշտարակի գագաթի բարձրության անկյունը՝ այն դարձնելով 30 աստիճան։ Որոշեք աշտարակի բարձրությունը։
Լուծում. Այս խնդիրը լուծելու համար կարող ենք օգտագործել եռանկյունաչափության մեջ շոշափող ֆունկցիան։ Քանի որ գիտենք դիտորդից մինչև աշտարակ բարձրության անկյունը և հորիզոնական հեռավորությունը, կարող ենք գրել՝
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{աշտարակի բարձրություն}}{\text{հորիզոնական հեռավորություն}}
\]
Փոխարինեք հայտնի արժեքները՝
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Հայտնի է, որ \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), ուստի՝
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Այնուհետև աշտարակի բարձրությունը՝ \(h\), կարելի է գտնել՝ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով 50-ով։
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \, \text{մետր}
\]
Աշտարակի բարձրությունը մոտ 28.87 մետր է։
Օրինակ հարց 2. Հեռավորության որոշումը կոսինուսի միջոցով
Հարց. Նավը շարժվում է 10 կմ դեպի արևելք, ապա փոխում է ուղղությունը 60 աստիճան հյուսիս և նավարկում 15 կմ: Որոշեք մեկնարկային կետից մինչև նավը հեռավորությունը:
Քննարկում. Այս խնդիրը լուծելու համար մենք կարող ենք օգտագործել եռանկյունաչափության կոսինուսի կանոնը: Եթե նավի ճանապարհորդությունը գծենք կոորդինատային համակարգով, կստանանք եռանկյունի, որի կողմերը 10 կմ և 15 կմ են, իսկ անկյունը՝ 60 աստիճան: Մենք կարող ենք օգտագործել կոսինուսի կանոնը՝ նավի մեկնարկային կետի և նրա վերջնական դիրքի միջև հեռավորությունը գտնելու համար:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Դիմանա.
– \(a = 10 \)
– \( b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Փոխարինեք հայտնի արժեքները՝
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ
\]
Մենք գիտենք, որ \(\cos 60^\circ = 0.5\), ապա՝
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 = 10 = 15 = 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \approx 13.23 \, \text{կմ}
\]
Այսպիսով, մեկնարկային կետից մինչև նավը հեռավորությունը մոտ 13.23 կմ է։
Օրինակ՝ հարց 3. Սինուսի օգտագործումը եռանկյան կողմերը որոշելու համար
Հարց՝ Եռանկյան երկու կողմերը 7 սմ և 10 սմ են, որոնց միջև անկյունը 45 աստիճան է։ Հաշվեք եռանկյան երրորդ կողմի երկարությունը։
Քննարկում. Այս խնդիրը լուծելու համար կարող ենք օգտագործել սինուսների օրենքը։ Սինուսների օրենքում, \(a\), \(b\) և \(c\) կողմերով եռանկյան և \(a\) և \(b\) կողմերի միջև \(C\) անկյունով եռանկյան համար՝
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Սակայն, այս դեպքում, մենք կարող ենք ուղղակիորեն օգտագործել կոսինուսների օրենքը՝ ամեն ինչ ավելի հեշտացնելու համար։ Կոսինուսների օրենքն ասում է.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Դիմանա.
– \(a = 7 \)
– \( b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), այնպես որ՝
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
\(c \)-ի արժեքի հաշվարկը.
\[
c \մոտավորապես \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \մոտավորապես 5.97 \, \text{սմ}
\]
Այսպիսով, եռանկյան երրորդ կողմի երկարությունը մոտ 5.97 սմ է։
Եզրակացություն
Եռանկյունաչափությունը շատ օգտակար գործիք է եռանկյունների և անկյունների հետ կապված տարբեր խնդիրներ լուծելու համար: Սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և եռանկյունաչափության օրենքների լավ ըմբռնմամբ մենք կարող ենք լուծել բազմաթիվ գործնական խնդիրներ: Այս հոդվածում քննարկվում են եռանկյունաչափական հարաբերակցությունների օգտագործման մի քանի օրինակներ, որոնք, հուսով ենք, կօգնեն ընթերցողներին խորացնել իրենց ըմբռնումը:
