Շրջանագծերի և շոշափողների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Շրջանագծերի և շոշափողների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Շրջանագծերը մատրիցային երկրաչափության կարևոր թեմա են, որտեղ ցուցադրվում են հեռավորության, անկյունների և ձևի վերաբերյալ խորը հասկացություններ: Այս թեմայում հաճախ քննարկվող հասկացություններից մեկը շրջանագծին շոշափող գիծն է: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք շրջանագծերի և շոշափողների հետ կապված մի քանի օրինակելի խնդիրներ:

Շրջանագծերի և շոշափողների հիմնական հասկացողությունը

Շրջան

Շրջանակը երկրաչափական պատկեր է, որը կազմվում է հարթության բոլոր կետերի բազմությունից, որոնք գտնվում են տրված կետից որոշակի հեռավորության վրա, որը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն: Այս ֆիքսված հեռավորությունը կոչվում է շրջանագծի շառավիղ:

Տանգենս

Շրջանակի շոշափողը մի գիծ է, որը շոշափում է շրջանագիծը ճիշտ մեկ կետում: Այս կետը կոչվում է շոշափման կետ: Շոշափողերն ունեն մի քանի կարևոր հատկություններ, այդ թվում՝
– Շոշափող գիծը միշտ ուղղահայաց է շրջանագծի շառավղին շոշափման կետում։
– Շրջանագծից դուրս գտնվող կետից մինչև շրջանագիծը տարված շոշափողի երկարությունը նույնն է, եթե այդ կետից տարվում են երկու շոշափողեր։

Հարցերի և քննարկումների նմուշներ

Ստորև կներկայացնենք մի քանի օրինակելի հարցեր, որոնք մանրամասն քննարկում են շրջանագծերի և շոշափողների հասկացությունը։

Օրինակ՝ հարց 1. Շոշափող գծի երկարության գտնումը

Հարց՝
Տրված է շրջանագիծ՝ O կենտրոնով և r = 6 շառավղով, սմ։ Շրջանագծից դուրս գտնվող P կետից, որը գտնվում է շրջանագծի կենտրոնից 10 սմ հեռավորության վրա, շրջանագծին տարված են երկու շոշափողեր՝ PA և PB։ Հաշվարկեք PA շոշափողի երկարությունը։

Քննարկում.
Այս խնդրի մեջ կարող ենք օգտագործել Պյութագորասի թեորեմը։ Նկարեք եռանկյուն \(\եռանկյուն OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{սմ}\) (հեռավորությունը արտաքին կետից մինչև շրջանագծի կենտրոնը)
– \(OA = 6 \, \text{սմ}\) (շրջանագծի շառավիղը)
– \(PA\)-ն այն շոշափող գիծն է, որը պետք է գտնել

\[
ՕՊ^2 = ՕԱ^2 + ՊԱ^2
\]

\[
10^2 = 6^2 + ՊԱ^2
\]

\[
100 = 36 + ՊԱ^2
\]

\[
ՊԱ^2 = 64
\]

\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

Այսպիսով, շոշափող գծի երկարությունը \(PA\) 8 սմ է։

Օրինակ հարց 2. Շոշափելի կետի գտնելը

Հարց՝
Տրված է շրջանագիծ՝ \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) հավասարմամբ և \(y = 2x + 1\ ուղիղով։ Որոշեք շրջանագծի և ուղղի միջև շոշափման կետը։

Քննարկում.
Նախ, մենք որոշում ենք շրջանագծի կենտրոնը և շառավիղը։
– Կենտրոն \(O(3, 4)\)
– Շառավիղ (r = 25 = 5)

Շոշափման կետը գտնելու համար ենթադրենք, որ շոշափման կետը \(T(x_1, y_1)\) է, որը նույնպես գտնվում է \(y = 2x + 1\ ուղղի վրա։ Այնուհետև՝

\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]

\(T(x_1, y_1)\)-ը նույնպես պետք է բավարարի շրջանագծի հավասարումը։

\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]

Շրջանաձև հավասարման մեջ տեղադրեք \(y_1 = 2x_1 + 1\)-ը։

\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]

\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]

Մենք պետք է հաշվարկենք երկու քառակուսի։

\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]

\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]

Միավորել երկու արդյունքները՝

\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]

\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]

Հանեք 25-ը երկու կողմերից՝

\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]

Լուծեք քառակուսային հավասարումը.

\[
x_1 = 18 √ 18^2 + 4 x 5 x 7}}{2 x 5}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]

\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]

\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]

Հաշվարկեք \(y_1\)-ի արժեքը՝

Որը բավարարում է y = 2x + 1 պայմանին։
– Եթե \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), ապա \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Եթե \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), ապա \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)

Գնահատում.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք շրջանագծի հավասարման և այդ ուղղի հատման երկու կետերը։

Օրինակ՝ հարց 3. Շոշափող գծի հավասարման որոշումը

Հարց՝
Տրված է շրջանագիծ՝ \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\ հավասարմամբ։ Որոշեք շրջանագծին շոշափող գծի հավասարումը, որն անցնում է \((6, 7)\) կետով։

Քննարկում.
Հայտնի արտաքին կետից կենտրոնով (h, k) և շառավղով (r) շրջանագծի շոշափողը կարելի է գտնել հետևյալ հավասարմամբ՝

Շոշափող գիծը անցնում է արտաքին \((x_1, y_1)\) կետով։
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]

Արտաքին կետը տեղադրեք \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]

\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]

\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]

\[
4x + 2y -20 = 20
\]

\[
4x + 4y -20 = 20
\]

\[
x + y = 5
\]

Շոշափող գծի հավասարումը հետևյալն է.
\[
x + y = 9
\]

Այսպիսով, շրջանագծի կետով անցնող գծի հավասարման տատանումը շատ մեծ է և կարող է փոխվել՝ կախված արդյունքից կամ տեսողական ներկայացումից։

Եզրակացություն

Շրջանակների և շոշափողների քննարկումը ընդգրկում է մաթեմատիկայի մի քանի հիմնարար ասպեկտներ՝ սկսած Պյութագորասի թեորեմի նման հիմնական բանաձևերի կիրառումից մինչև քառակուսային հավասարումների լուծումը: Այս օրինակների միջոցով մենք կարող ենք ավելի լավ հասկանալ, թե ինչպես կիրառել այս հասկացությունները համեմատաբար բարդ իրավիճակներում: Հուսով ենք, որ այս հոդվածը օգնել է մեզ պարզ պատկերացում կազմել, թե ինչպես մոտենալ և լուծել շրջանագծերի և շոշափողների հետ կապված խնդիրները: