Օրինակելի հարցեր և քննարկում արտադրանքի մոմենտների կորելյացիայի վերաբերյալ
Արտադրանք-մոմենտ կորելյացիան, որը հայտնի է նաև որպես Պիրսոնի կորելյացիա, վիճակագրական մեթոդ է, որն օգտագործվում է երկու փոփոխականների միջև գծային կապի ուժգնությունն ու ուղղությունը չափելու համար: Այս մեթոդը օգտակար է տարբեր ոլորտներում՝ սկսած ակադեմիական հետազոտություններից և բիզնես վերլուծությունից մինչև բնական գիտությունների փորձերի գնահատումը: Այս հոդվածում կքննարկվեն Արտադրանք-մոմենտ կորելյացիայի հաշվարկման մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները:
Պենդահուլուան
Մինչև օրինակելի հարցերի մեջ մտնելը, լավ գաղափար է հասկանալ արտադրյալ-մոմենտային կորելյացիայի հիմնական հասկացությունը: Պիրսոնի կորելյացիայի գործակիցը (\(r\)) հաշվարկելու համար օգտագործվող ընդհանուր բանաձևը հետևյալն է.
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Դիմանա.
– \(n \)-ը տվյալների զույգերի քանակն է։
– \( \sum{XY} \)-ը \(X \) և \(Y \) արտադրյալների գումարն է։
– \( \sum{X} \)-ը \(X \) փոփոխականների գումարն է։
– \( \sum{Y} \)-ը \(Y \) փոփոխականների գումարն է։
– \( \sum{X^2} \)-ը \(X \) փոփոխականի քառակուսիների գումարն է։
– \( \sum{Y^2} \)-ը \(Y \) փոփոխականի քառակուսիների գումարն է։
Փիրսոնի կոռելյացիայի գործակիցը (\(r\)) միշտ -1-ի և 1-ի միջև է։ Դրական կոռելյացիան ցույց է տալիս, որ երկու փոփոխականներն էլ շարժվում են նույն ուղղությամբ, մինչդեռ բացասական կոռելյացիան ցույց է տալիս, որ մեկ փոփոխականի աճին զուգընթաց մյուսը նվազում է։ Եթե \(r = 0\), ապա երկու փոփոխականների միջև գծային կոռելյացիա չկա։
Օրինակ՝ հարց 1
Ամսաթիվ
Ստորև ներկայացված են 5 աշակերտների մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի քննությունների միավորների տվյալները.
| Ուսանող | Մաթեմատիկա (X) | Ֆիզիկա (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Լուծման քայլեր
1. Կարևոր բաղադրիչների հաշվարկ.
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Մուտքագրեք բանաձևը՝
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Արդյունքների հաշվարկ.
– Համարիչ՝ \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
- Հայտարարող՝
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \մոտավորապես \sqrt{976856} \մոտավորապես 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \մոտավորապես 0.633 \]
Այսպիսով, մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի թեստերի միավորների միջև Փիրսոնի կոռելյացիայի գործակիցը կազմում է 0.633, ինչը ցույց է տալիս, որ երկու փոփոխականների միջև կա չափավոր դրական կոռելյացիա։
Օրինակ՝ հարց 2
Ամսաթիվ
Ստորև բերված են ընկերությունում 6 ամսվա վաճառքի արժեքի և գովազդային ծախսերի վերաբերյալ տվյալները.
| Ամիս | Գովազդ (X) | Վաճառք (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Լուծման քայլեր
1. Կարևոր բաղադրիչների հաշվարկ.
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Մուտքագրեք բանաձևը՝
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Արդյունքների հաշվարկ.
– Համարիչ՝ \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
- Հայտարարող՝
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \մոտավորապես \sqrt{9343200000000} \մոտավորապես 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \մոտավորապես 0.981 \]
Այսպիսով, գովազդային ծախսերի և վաճառքի արժեքի միջև Պիրսոնի կոռելյացիայի գործակիցը 0.981 է, ինչը ցույց է տալիս, որ երկու փոփոխականների միջև կա շատ ուժեղ դրական կոռելյացիա։
Եզրակացություն
Պիրսոնի կոռելյացիայի գործակիցը (\(r\)) շատ օգտակար գործիք է երկու փոփոխականների միջև գծային կապը հասկանալու համար: Ներկայացված օրինակներում մենք տեսնում ենք, թե ինչպես հաշվարկել \(r\) արժեքը և մեկնաբանել այն: Ավելի բարձր կոռելյացիան (մոտ 1-ին կամ -1-ին) ցույց է տալիս ավելի ուժեղ կապ, մինչդեռ ավելի ցածր կոռելյացիան (մոտ 0-ին) ցույց է տալիս ավելի թույլ կապ: Կարևոր է նշել, որ կոռելյացիան չի ենթադրում պատճառահետևանքային կապ. այն պարզապես ցույց է տալիս, որ երկու փոփոխականների միջև կա կապ:
