Կերպափոխության ֆունկցիաների համակցությունը քննարկող հարցերի օրինակ

Ֆունկցիաների ձևափոխությունների համակցությունները քննարկող օրինակելի հարցեր

Ֆունկցիաների ձևափոխությունները կարևոր թեմա են մաթեմատիկայում, մասնավորապես ֆունկցիաների և դրանց գրաֆիկների ուսումնասիրության մեջ: Ֆունկցիաների ձևափոխությունների կիրառումը ներառում է տարբեր գործողություններ, ինչպիսիք են տեղափոխությունները, անդրադարձումները, լայնացումները և պտույտները: Այս հոդվածում մենք կուսումնասիրենք, թե ինչ են համակցված ֆունկցիաների ձևափոխությունները և ինչպես լուծել դրանք մի քանի օրինակելի խնդիրների միջոցով:

Ի՞նչ է ֆունկցիայի փոխակերպման համադրությունը։

Ֆունկցիայի ձևափոխությունը ենթադրում է սկզբնական ֆունկցիայի գրաֆիկի երկրաչափական դիրքի կամ ձևի փոփոխություն: Ֆունկցիայի ձևափոխությունների համակցումը նշանակում է մեկ ֆունկցիայի երկու կամ ավելի ձևափոխությունների համակցում:

Ֆունկցիայի ձևափոխությունների որոշ տարածված տեսակներ են՝
– Թարգմանություն (Shift):
– Հորիզոնական՝ \( f(x) \) f(x – h) \) տեղաշարժ դեպի աջ \( h \)-ով
– Ուղղահայաց՝ \( f(x) \մինչև f(x) + k \) տեղաշարժ դեպի վեր \(k \մ)
- Արտացոլում.
– Հորիզոնական (y առանցքի նկատմամբ): \( f(x) \մինչև f(-x) \)
– Ուղղահայաց (x առանցքի նկատմամբ): \( f(x) \մինչև -f(x) \)
– Լայնացում (մասշտաբավորում):
– Հորիզոնական՝ \( f(x) \մինչև f(ax) \), որտեղ \( a \)-ն հորիզոնական մասշտաբի գործակից է
– Ուղղահայաց՝ \( f(x) \) մինչև kf(x) \), որտեղ \( k \)-ն ուղղահայաց մասշտաբի գործակից է

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Հարց 1:
Տրված է սկզբնական ֆունկցիան՝ f(x) = x^2։ Որոշեք ֆունկցիայի նոր տեսքը հետևյալ ձևափոխությունների համակցությունը կիրառելուց հետո։
1. Հորիզոնական տեղաշարժ դեպի աջ՝ 3 միավորով։
2. Ուղղահայաց լայնացում 2 մասշտաբի գործակցով։

Քննարկում.

1. Հորիզոնական թարգմանություն.
Եթե ​​f(x) = x^2\) ֆունկցիան 3 միավորով տեղաշարժվի աջ, այն կդառնա f(x – 3) = (x – 3)^2\)։
Այսպիսով, հորիզոնական տեղափոխությունից հետո նոր ֆունկցիան կլինի՝ \( f_1(x) = (x – 3)^2 \).

2. Ուղղահայաց լայնացում։
Ուղղահայաց լայնացումից հետո 2 անգամ, ձևը դառնում է \( 2 \x f_1(x) = 2(x-3)^2 \).

Ֆունկցիայի վերջնական արդյունքը ձևափոխությունների համադրությունից հետո հետևյալն է.
\[ g(x) = 2(x – 3)^2 \]

Հարց 2:
Տրված է f(x) = x) ֆունկցիան։ Որոշեք ֆունկցիայի նոր տեսքը հետևյալ ձևափոխությունների համակցությունից հետո՝
1. y-առանցքի շուրջ արտացոլում։
2. Ուղղահայաց տեղաշարժ դեպի ներքև 2 միավորով։

Քննարկում.

1. y-առանցքի վերաբերյալ արտացոլում.
f(x) = x) ֆունկցիան արտացոլվում է y առանցքի շուրջ, ուստի այն դառնում է f(x) = x)։

2. Ուղղահայաց թարգմանություն.
Արդյունքում ստացված արտացոլման ֆունկցիան այնուհետև տեղափոխվում է 2 միավորով ներքև՝ դառնալով \( \sqrt{-x} – 2 \)։

Այսպիսով, ֆունկցիայի վերջնական տեսքը ձևափոխությունից հետո կլինի հետևյալը՝
\[ g(x) = \sqrt{-x} – 2 \]

Հարց 3:
Տրված է \(f(x) = \frac{1}{x} \ ֆունկցիան): Որոշեք ֆունկցիայի նոր տեսքը՝ կիրառելով ձևափոխությունների հետևյալ համակցությունը.
1. Հորիզոնական տեղաշարժ դեպի ձախ՝ 4 միավորով։
2. Հորիզոնական լայնացում մասշտաբի գործակցով՝ \(\frac{1}{2}\):

Քննարկում.

1. Հորիզոնական թարգմանություն.
f(x) = 1}{x} ֆունկցիան 4 միավորով ձախ տեղաշարժվելուց հետո դառնում է f(x + 4) = 1}{x + 4}։

2. Հորիզոնական լայնացում։
Արդյունքում ստացված թարգմանության ֆունկցիան այնուհետև հորիզոնականորեն լայնացվում է \(\frac{1}{2}\) գործակցով՝ դառնալով \(f\left( \frac{x}{\frac{1}{2}} + 4 \right) = f(2x + 4) = \frac{1}{2x + 4} \).

Այսպիսով, ֆունկցիայի վերջնական տեսքը ձևափոխությունից հետո կլինի՝
\[ g(x) = \frac{1}{2x + 4} \]

Հարց 4:
Տրված է f(x) = sin x ֆունկցիան։ Որոշեք ֆունկցիայի նոր տեսքը հետևյալ ձևափոխությունների համակցությունից հետո՝
1. Ուղղահայաց լայնացում 3 մասշտաբի գործակցով։
2. Խորհրդածություն x առանցքի շուրջ։

Քննարկում.

1. Ուղղահայաց լայնացում։
3 մասշտաբային գործակցով ուղղահայաց լայնացումից հետո սկզբնական f(x) = sin x) ֆունկցիան դառնում է sin x 3։

2. Խորհրդածություն x առանցքի շուրջ.
Արդյունքում ստացված դիլատացիոն ֆունկցիան այնուհետև արտացոլվում է x առանցքի շուրջ, այնպես որ այն դառնում է \(-3 \sin x \)։

Ֆունկցիայի վերջնական արդյունքը ձևափոխությունների համադրությունից հետո հետևյալն է.
g(x) = -3 \sin x \]

Կիրառություն գրաֆիկայի մեջ

Ֆունկցիաների ձևափոխությունների համակցությունը հասկանալը նույնպես շատ կարևոր է այդ ֆունկցիաների գրաֆիկները ուսումնասիրելիս։ Ահա մի քանի կարևոր կետեր, որոնք պետք է հիշել.

1. Փոխակերպման հաջորդականություն.
Վերջնական արդյունքի վրա հաճախ ազդում է ձևափոխությունների կատարման հերթականությունը։ Օրինակ, եթե տեղափոխությունից առաջ կատարենք լայնացում, վերջնական արդյունքը կտարբերվի, քան եթե ձևափոխությունների հերթականությունը հակառակ լիներ։

2. Գրաֆիկական պատկերում.
Յուրաքանչյուր փոխակերպում որոշակի ձևով ազդում է գրաֆիկի ձևի վրա՝
– Տեղափոխությունը տեղաշարժում է գրաֆիկը՝ առանց փոխելու դրա ձևը։
– Լայնացումը փոխում է գրաֆիկի «լայնությունը» կամ «կորուստը»։
– Արտացոլումը արտացոլում է գրաֆիկը գծի շուրջը։

3. Շարունակական պրակտիկա։
Ֆունկցիաների գրաֆիկական կառուցումը ձևափոխությունների վրա հիմնված այս հասկացությունը հասկանալու արդյունավետ միջոց է: Կարող եք փորձել գրաֆիկական կառուցում կատարել վերևում նշված քննարկման հարցերում տրված ֆունկցիաների համար՝ տեսնելու համար, թե ինչպես են փոխվում դրանց գրաֆիկները:

Եզրակացություն

Ֆունկցիաների ձևափոխությունը մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացություն է, որը կիրառվում է տարբեր ոլորտներում՝ թե՛ ակադեմիական, թե՛ գործնականում: Ֆունկցիաների ձևափոխությունների համակցություններ սովորելը պահանջում է յուրաքանչյուր տեսակի ձևափոխության հիմունքների ըմբռնում: Պրակտիկայի և օրինակների միջոցով մենք կարող ենք ավելի լավ տիրապետել ֆունկցիաների գծագրմանը և գրաֆիկական պատկերմանը: Շարունակական պրակտիկան ձեզ ավելի հմուտ կդարձնի տարբեր ձևափոխությունների ժամանակ ֆունկցիաների փոփոխության հասկացման մեջ: