Պարաբոլիկ կոնական հատույթների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ
Կոնաձև հատույթը կոնաձև մակերևույթի հարթությամբ կտրված մաս է: Կոնաձև հատույթների երկրաչափական ձևերից են շրջանագծերը, էլիպսները, պարաբոլները և հիպերբոլները: Այս հոդվածում մենք կկենտրոնանանք պարաբոլայի վրա, որը գիտության տարբեր ոլորտներում, մասնավորապես մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում, հանդիպող կոնաձև հատույթների ամենատարածված տեսակներից մեկն է: Պարաբոլան կարող է սահմանվել որպես կետերի ամբողջություն, որոնք հավասարապես հեռու են ֆիքսված կետից (կիզակետ) և ֆիքսված գծից (դիրեկտրիքս):
Պարաբոլայի սահմանումը
Պարաբոլայի հասկացությունը ավելի լավ հասկանալու համար անհրաժեշտ է հասկանալ պարաբոլայի մի քանի կարևոր տարրեր, մասնավորապես՝
1. Գագաթնակետ (Vertex): Պարաբոլայի շրջադարձային կետը, որտեղ պարաբոլան փոխում է իր կորը։
2. Ֆոկուս. Հարթության վրա ֆիքսված կետ, որն օգտագործվում է պարաբոլան սահմանելու համար։
3. Դիկտրիքս. Հարթության վրա ֆիքսված գիծ, որն օգտագործվում է պարաբոլան սահմանելու համար։
4. Սիմետրիայի առանցք. Ուղիղ գիծ, որն անցնում է կիզակետով և գագաթնակետով և պարաբոլան բաժանում է երկու սիմետրիկ մասերի։
Պարաբոլայի ընդհանուր հավասարումը, որի գագաթնակետը գտնվում է (0,0) կետում, կարելի է գրել երկու ձևով՝
– Հորիզոնական պարաբոլա՝ \(y^2 = 4ax \)
– Ուղղահայաց պարաբոլա՝ \(x^2 = 4ay \)
որտեղ \(a\)-ն գագաթնակետից մինչև կիզակետը հեռավորությունն է։
Հարցերի և քննարկումների նմուշներ
Ստորև բերված են պարաբոլների հետ կապված մի քանի օրինակելի հարցեր և դրանց քննարկումները։
Օրինակ՝ հարց 1
Հարց՝
Որոշեք պարաբոլայի հավասարումը, որի գագաթնակետը (0,0) կետն է, իսկ կիզակետը՝ (3,0) կետը։
Քննարկում.
Հարցից տեսնում ենք, որ պարաբոլայի կիզակետը գտնվում է (3,0) կետում։ Քանի որ կիզակետը դրական x առանցքի վրա է, գիտենք, որ պարաբոլան պետք է լինի հորիզոնական։
Հորիզոնական պարաբոլայի համար օգտագործում ենք ընդհանուր հավասարումը՝ y^2 = 4ax։
Քանի որ կիզակետը գտնվում է (3,0)-ում, ապա \(a = 3\).
Այսպիսով, պարաբոլայի հավասարումը հետևյալն է.
\[ y^2 = 4 \cdot 3 \cdot x \]
\[ y^2 = 12x \]
Օրինակ՝ հարց 2
Հարց՝
Որոշեք պարաբոլայի հավասարումը, որի գագաթնակետը (0,0) է, իսկ դիրեկտրիսը x = -4։
Քննարկում.
Պարաբոլայի դիրեկտրիսը գագաթնակետից ամենահեռու, կիզակետի դիմաց գտնվող անշարժ գիծն է։ Այսպիսով, եթե դիրեկտրիսը x = -4 է, ապա կիզակետը գտնվում է (4,0) կետում։
Սա կրկին ցույց է տալիս, որ պարաբոլան հորիզոնական է։
Գագաթնակետից մինչև կիզակետ հեռավորությունը՝ \(a = 4\):
Պարաբոլայի հավասարումը հետևյալն է.
\[ y^2 = 4 \cdot 4 \cdot x \]
\[ y^2 = 16x \]
Օրինակ՝ հարց 3
Հարց՝
Տրված է պարաբոլա՝ \(x^2 = 8y \ հավասարմամբ։ Որոշեք գագաթի, կիզակետի և դիրեկտրիքսի հավասարման կոորդինատները։
Քննարկում.
Հավասարումից՝ \(x^2 = 8y\), կարելի է տեսնել, որ սա ուղղահայաց պարաբոլա է։
x^2 = 4ay\ տեսքի պարաբոլայի համար կարող ենք համեմատել՝
\[ 4ա = 8 \]
\[ա = 2 \]
Սա ցույց է տալիս, որ գագաթնակետից մինչև կիզակետ հեռավորությունը 2 է։
– Պիկ կոորդինատներ. Քանի որ տեղաշարժ չկա, պիկը մնում է սկզբնակետում (0, 0):
– Ֆոկուս. Ֆոկուսը գտնվում է դրական y առանցքի երկայնքով՝ գագաթից a հեռավորության վրա, այսինքն՝ (0, 2):
– Դիկտրիքս. Դիկտրիքսը y = -a ուղիղն է, հետևաբար դիկտրիքսը y = -2 է։
Օրինակ՝ հարց 4
Հարց՝
Որոշեք պարաբոլայի հավասարումը, որի կիզակետը (0, -2) կետում է, իսկ գագաթնակետը՝ (0, 0) կետում։
Քննարկում.
Այս խնդիրը ցույց է տալիս, որ պարաբոլան ուղղահայաց է և նվազող (քանի որ կիզակետը գագաթնակետից ցածր է):
Ներքև ուղղված ուղղահայաց պարաբոլայի համար ընդհանուր տեսքը \(x^2 = -4ay \) է։
Հեռավորությունը գագաթնակետից մինչև կիզակետը՝ \(a = 2 \)։
Այսպիսով, պարաբոլայի հավասարումը հետևյալն է.
\[ x^2 = -4 \cdot 2 \cdot y \]
\[ x^2 = -8y \]
Օրինակ՝ հարց 5
Հարց՝
Պարաբոլան ունի հետևյալ հավասարումը (y^2 + 4y – 4x + 20 = 0): Որոշեք նրա գագաթի, կիզակետի և ուղղորդիչի կոորդինատները:
Քննարկում.
Քայլ 1։ Պարաբոլայի հավասարման տեսքը փոխեք ստանդարտ տեսքի։
Սկսեք հավասարումը վերաշարադրելով՝
\[ y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \]
\[ y^2 + 4y = 4x – 20 \]
Քայլ 2։ Լրացրեք \(y\) մասի լրիվ քառակուսին։
\[ y^2 + 4y + 4 = 4x – 20 + 4 \]
\[ (y + 2)^2 = 4x – 16 \]
\[ (y + 2)^2 = 4(x – 4) \]
Քայլ 3։ Համեմատեք ընդհանուր տեսքի հետ՝ \((y – k)^2 = 4a(x – h) \). Այս դեպքում՝ \(a = 1 \), \(k = -2 \) և \(h = 4 \).
– Պիկ կոորդինատներ՝ (4, -2)
– Ֆոկուս. Քանի որ \(a = 1\), դրա հեռավորությունը գագաթնակետից 1 միավոր է։ Ֆոկուսը (4+1, -2) = (5, -2) է։
– Դիրկտրիքս։ Ուղղահայաց գիծը անցնում է x = h – a = 4 – 1 = 3 կետով։ Այսպիսով, դիրեկտրիքսը x = 3 կետն է։
Հասկանալով տարբեր տեսակի խնդիրներ և դրանց լուծման մեթոդները՝ հուսով ենք, որ կբարելավեք ձեր պատկերացումները պարաբոլների մասին: Այս հասկացությունն ամրապնդելու համար լուծեք տարբեր ձևերի և կոնֆիգուրացիաների հետ կապված խնդիրներ: Պարաբոլները ոչ միայն մաթեմատիկական հասկացություն են, այլև ունեն բազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայում և ճարտարագիտության մեջ, ներառյալ արկերի հետագծերը և պարաբոլիկ անդրադարձիչները կապի համակարգերում: Որքան շատ մարզվեք, այնքան ավելի կտիրապետեք այս թեմային:
