Աղեղի երկարության և հատվածի մակերեսի միջև եղած կապի վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Օրինակելի հարցեր, որոնք քննարկում են աղեղի երկարության և սեկտորի մակերեսի միջև եղած կապը

Երկրաչափության դասերին, մասնավորապես շրջանագծերի ուսումնասիրության ժամանակ, մենք հաճախ հանդիպում ենք աղեղի երկարության և հատվածի մակերեսի հասկացություններին: Այս երկու հասկացությունները կարևոր են շրջանագծերի հետ կապված տարբեր երկրաչափական երևույթները հասկանալու համար: Եկեք նախ բացատրենք այս երկու հասկացությունները, նախքան օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումներ ներկայացնելը:

Աղեղի երկարությունը

Աղեղի երկարությունը աղեղի երկայնքով շրջանագծի երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունն է: Շրջանակի աղեղի երկարությունը հաշվարկելու համար մեզ սովորաբար անհրաժեշտ է շրջանագծի շառավիղը (r) և կենտրոնական անկյունը (θ), որով աղեղը անցնում է ռադիաններով: Աղեղի երկարությունը (s) հաշվարկելու բանաձևը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

\[s = r անգամ \theta \]

Եթե ​​կենտրոնական անկյունը տրված է աստիճաններով, մենք նախ պետք է այն վերածենք ռադիանների՝

\[ \theta_{radian} = \theta_{աստիճան} \times \frac{\pi}{180} \]

Սեկտորի տարածքը

Սեկտորը շրջանագծի մի մասն է, որը սահմանափակված է երկու շառավղով և դրանց միջև ընկած աղեղով։ Սեկտորի մակերեսը հաշվարկելու համար օգտագործում ենք շրջանագծի շառավիղը (r) և կենտրոնական անկյունը (θ)։ Սեկտորի (A) մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը հետևյալն է.

\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]

Ինչպես աղեղի երկարության դեպքում, եթե կենտրոնական անկյունը չափվում է աստիճաններով, մենք նախ պետք է այն վերածենք ռադիանների։

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Աղեղի երկարության և սեկտորի մակերեսի հասկացությունը պարզաբանելու համար վերանայենք հետևյալ օրինակ հարցերը և դրանց քննարկումները։

Հարց 1:
Տրված է 10 սմ շառավղով և 60 աստիճան կենտրոնական անկյունով շրջանագիծ, հաշվարկեք աղեղի երկարությունը և անկյան կողմից ձևավորված հատվածի մակերեսը։

Քննարկում.
1. Աղեղի երկարության հաշվարկը.
– Նախ, մենք անկյունը աստիճաններից վերածում ենք ռադիանների։
\[ τ = 60 անգամ \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{ռադիան} \]

– Օգտագործելով աղեղի երկարության բանաձևը՝
\[s = r անգամ \theta \]
\[ s = 10 անգամ \frac{\pi}{3} \]
\[ s = \frac{10\pi}{3} \, \text{cm} \]

2. Սեկտորի մակերեսի հաշվարկը.
– Օգտագործելով ոլորտի մակերեսի բանաձևը՝
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} \]
A = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\pi}{3} \]
\[ A = \frac{100\pi}{6} \]
A = \frac{50\pi}{3} \, \text{cm}^2 \]

Այսպիսով, աղեղի երկարությունը \(\frac{10\pi}{3}\) սմ է, իսկ սեկտորի մակերեսը՝ \(\frac{50\pi}{3}\) սմ²։

Հարց 2:
Շրջանակն ունի 7 սմ շառավղ և կենտրոնական անկյուն, որը ենթակախված է 2 ռադիանանոց աղեղով։ Որոշեք աղեղի երկարությունը և շրջանագծի հատվածի մակերեսը։

Քննարկում.
1. Աղեղի երկարության հաշվարկը.
– Կենտրոնական անկյունն արդեն ռադիաններով է, ուստի կարող ենք անմիջապես օգտագործել աղեղի երկարության բանաձևը՝
\[s = r անգամ \theta \]
\[ s = 7 \times 2 \]
\[ s = 14 \, \text{սմ} \]

2. Սեկտորի մակերեսի հաշվարկը.
– Օգտագործելով ոլորտի մակերեսի բանաձևը՝
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 7^2 \times 2 \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 49 \times 2 \]
\[ A = 49 \, \text{սմ}^2 \]

Այսպիսով, աղեղի երկարությունը 14 սմ է, իսկ հատվածի մակերեսը՝ 49 սմ²։

Հարց 3:
12 սմ շառավղով շրջանագիծն ունի 15 սմ աղեղի երկարությամբ հատված։ Որոշեք կենտրոնական անկյունը աստիճաններով և հատվածի մակերեսը։

Քննարկում.
1. Կենտրոնական անկյան որոշումը.
– Օգտագործելով աղեղի երկարության բանաձևը՝ կենտրոնական անկյունը գտնելու համար.
\[s = r անգամ \theta \]
15\pi = 12 անգամ \theta\]
\[ \theta = \frac{15\pi}{12} \]
\[ \theta = \frac{5\pi}{4} \, \text{ռադիան} \]

- Կենտրոնական անկյունը վերածեք աստիճանների.
\[ \theta = \frac{5\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} \]
\[ \theta = \frac{5 \times 180}{4} \]
\[ \թետա = 225 \, \text{աստիճաններ} \]

2. Սեկտորի մակերեսի հաշվարկը.
– Օգտագործելով ոլորտի մակերեսի բանաձևը՝
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \times \theta \]
A = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5\pi}{4} \]
A = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = 72 անգամ \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = 90\pi \, \text{սմ}^2 \]

Այսպիսով, հատվածի կենտրոնական անկյունը 225 աստիճան է, իսկ հատվածի մակերեսը՝ 90 (π) սմ²։

Եզրակացություն

Աղեղի երկարության և հատվածի մակերեսի միջև եղած կապը հասկանալու համար անհրաժեշտ է շրջանագծերի հիմնարար սկզբունքների և բանաձևերի ճիշտ օգտագործման մանրակրկիտ ըմբռնում: Վերը նշված գործնական խնդիրների միջոցով մենք կարող ենք տեսնել անկյունների փոխակերպումները տիրապետելու և բանաձևերը շրջանաձև երկրաչափության համատեքստում ուղղակիորեն կիրառելու կարևորությունը: Խնդիրների քննարկման յուրաքանչյուր քայլ մեզ օգնում է հասկանալ, թե ինչպես են գործում բանաձևերը և ինչպես դրանք արդյունավետորեն կիրառել:

Շարունակելով կիրառել և հասկանալ բացատրված հիմունքները, մենք ավելի հմուտ կդառնանք աղեղի երկարության և հատվածի մակերեսի հետ կապված խնդիրներ լուծելու հարցում, և սա շատ օգտակար կլինի տարբեր մաթեմատիկական և այլ գիտական ​​կիրառություններում։