Ֆունկցիաների և ոչ ֆունկցիաների քննարկման օրինակելի հարցեր. Հիմնական հասկացությունների ըմբռնում
Ներածություն
Մաթեմատիկայում, մասնավորապես հանրահաշվում, ֆունկցիայի հասկացությունը ամենակարևորներից մեկն է։ Ֆունկցիաները թույլ են տալիս մեզ շատ համակարգված ձևով հասկանալ երկու բազմությունների միջև եղած կապը։ Ֆունկցիան հասկանալու համար մենք նախ պետք է հասկանանք դրա սահմանումը և բնութագրերը։ Հետևաբար, այս հոդվածում կքննարկվեն օրինակելի խնդիրներ և ֆունկցիաներ ու ոչ ֆունկցիաներ։ Սա կօգնի մեզ ավելի խորը հասկանալ այս թեման։
Ֆունկցիայի և ոչ ֆունկցիայի սահմանումը
Եկեք սկսենք ֆունկցիայի սահմանումը հասկանալուց։ Մաթեմատիկայում ֆունկցիան կարող է սահմանվել որպես հարաբերություն, որը տիրույթային բազմության յուրաքանչյուր տարրը կապում է կոդոմենային բազմության ճիշտ մեկ տարրի հետ։ Այլ կերպ ասած, տիրույթային բազմության յուրաքանչյուր տարրի համար կոդոմենային բազմությունում կա մեկ և միայն մեկ համապատասխան տարր։
Ֆունկցիաներ հանդիսացող հարաբերությունների օրինակներ՝
– Բազմություն A = {1, 2, 3}
– Բ բազմություն = {4, 5, 6}
– Հարաբերություն R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
R կապը ֆունկցիա է, քանի որ A բազմության յուրաքանչյուր տարր զույգավորված է B բազմության միայն մեկ տարրի հետ։
Ոչ ֆունկցիան այնպիսի հարաբերություն է, որը չի համապատասխանում այս չափանիշներին, այն է՝ սկզբնական տիրույթում կա առնվազն մեկ տարր, որը զույգավորված է արդյունքի տիրույթում մեկից ավելի տարրերի հետ։
Ֆունկցիա չհանդիսացող հարաբերությունների օրինակներ՝
– Բազմություն C = {1, 2, 3}
– D = {4, 5, 6} բազմություն
– Հարաբերություն S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
S հարաբերությունը ֆունկցիա չէ, քանի որ C բազմության '1' տարրը զույգ է կազմում D բազմության երկու տարրերի հետ (այսինքն՝ 4 և 5):
Հարցերի և քննարկման նմուշներ
Ֆունկցիաների և ոչ ֆունկցիաների մասին մեր պատկերացումները խորացնելու համար, եկեք դիտարկենք մի քանի օրինակելի հարցեր և դրանց քննարկումները։
Օրինակ՝ հարց 1. Ֆունկցիաների որոշում
Տրված է X = {a, b, c, d} բազմություն և Y = {1, 2, 3, 4} բազմություն, արդյո՞ք հետևյալ կերպ սահմանված առնչությունը ֆունկցիա է։
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Քննարկում.
Եկեք ստուգենք X բազմության յուրաքանչյուր տարրը՝
– «a»-ն զուգակցվում է «1»-ի հետ
– «b»-ն զույգ է կազմում «2»-ի հետ
– «c»-ն զուգակցված է «3»-ի հետ
– 'd' զույգ '4'-ի հետ
Քանի որ X բազմության յուրաքանչյուր տարր զույգ է Y բազմության միայն մեկ տարրի հետ, R հարաբերությունը ֆունկցիա է։
Օրինակ հարց 2. Ֆունկցիաների կամ ոչ ֆունկցիաների նույնականացում
Տրված են P = {u, v, w} բազմություն և Q = {5, 6, 7} բազմություն։ Որոշեք, թե արդյոք հետևյալ առնչությունը ֆունկցիա է։
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Քննարկում.
Եկեք քննենք P բազմության յուրաքանչյուր տարրը՝
– «u»-ն զուգորդված է «5»-ի հետ
– «v»-ն զուգորդված է «6»-ի հետ
– «u»-ն նույնպես զուգակցվում է «7»-ի հետ։
Քանի որ P բազմության 'u' տարրը զույգ է Q բազմության մեկից ավելի տարրերի հետ, S հարաբերությունը ֆունկցիա չէ։
Օրինակ՝ հարց 3. Ֆունկցիաների գծագրում գրաֆիկներից
Տրված է կոորդինատային հարթության վրա որևէ հարաբերության գրաֆիկը, որոշեք՝ այն ֆունկցիա է, թե ոչ։ Գրաֆիկը ցույց է տալիս հետևյալ կետերը՝
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Քննարկում.
Գրաֆիկի յուրաքանչյուր կետ ունի (x, y) տեսքի զույգ, որը ցույց է տալիս, որ x-ի յուրաքանչյուր տրված արժեքի համար դրան կապված է y-ի ճիշտ մեկ արժեք։ Քանի որ տիրույթի յուրաքանչյուր տարր զույգավորված է կոդոմենում գտնվող ճիշտ մեկ տարրի հետ, տրված գրաֆիկը ֆունկցիայի գրաֆիկն է։
Օրինակ՝ խնդիր 4. Ֆունկցիաներ հավասարման տեսքով
Որոշեք, թե արդյոք y = x² հավասարումը ֆունկցիա է, եթե տրված տիրույթը բոլոր իրական թվերն են։
Քննարկում.
Մենք պետք է ստուգենք, թե արդյոք տիրույթի յուրաքանչյուր x-արժեք ունի միայն մեկ y-արժեք։ Փոխարինեք որոշ x-արժեքներ՝
– Եթե x = 1, ապա y = 1² = 1
– Եթե x = 2, ապա y = 2² = 4
– Եթե x = -1, ապա y = (-1)² = 1
Կարելի է տեսնել, որ x-ի յուրաքանչյուր ընտրված արժեքի համար կա y-ի միայն մեկ կից արժեք։ Հետևաբար, y = x²-ը ֆունկցիա է։
Օրինակ՝ հարց 5. Ֆունկցիաներ հակադարձ ֆունկցիաներով
Ենթադրենք f(x)-ը f-ով սահմանված ֆունկցիան է՝ x → x + 3: Գտեք այս ֆունկցիայի հակադարձը, եթե այն գոյություն ունի:
Քննարկում.
Եթե f: x → x + 3, ապա մենք պետք է գտնենք այնպիսի ֆունկցիա g, որ f(g(x)) = x և g(f(x)) = x: Սկսենք հավասարումից՝
– y = x + 3
Հակառակը գտնելու համար մենք առանձնացնում ենք x-ը՝
– x = y – 3
Հետևաբար, հակադարձ ֆունկցիան g(y) = y – 3 է։
Այսպիսով, f(x) = x + 3 ֆունկցիայի հակադարձը f⁻¹(x) = x – 3 է։
Եզրակացություն
Վերոնշյալ քննարկումից մենք տեսանք ֆունկցիաների և ոչ ֆունկցիաների հետ կապված խնդիրների մի քանի օրինակներ՝ դրանց բացատրություններով հանդերձ: Ֆունկցիայի հասկացությունը մեզ սովորեցնում է, որ տիրույթային բազմության յուրաքանչյուր տարր պետք է զույգ կազմի կոդոմենային բազմության ճիշտ մեկ տարրի հետ: Գրաֆներից և հավասարումներից ֆունկցիաների նույնականացումը նույնպես օգտակար տեխնիկա է կապի բնույթը որոշելու համար: Այս տեսակի խնդիրների լուծման միջոցով մենք ավելի լավ կծանոթանանք և ավելի լավ կհասկանանք ֆունկցիաների և ոչ ֆունկցիաների հիմնական հասկացությունները, որոնք հանրահաշվի և այլ մաթեմատիկական վերլուծության կարևորագույն հիմքերն են:
