Նորմալ բաշխումը քննարկող հարցերի օրինակներ

Նորմալ բաշխման վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ

Նորմալ բաշխումը, որը հայտնի է նաև որպես գաուսյան բաշխում, վիճակագրության մեջ ամենատարածված հավանականության բաշխումն է։ Այս բաշխումն ունի սիմետրիկ զանգակի ձև, ինչը ցույց է տալիս, որ տվյալները դասավորված են միջինի շուրջ, և ծայրահեղությունների (միջինից հեռու արժեքների) հավանականությունը ցածր է։

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք նորմալ բաշխմանը վերաբերող տարբեր օրինակային խնդիրներ և դրանց լուծման եղանակները։ Մենք կսկսենք որոշ հիմնական հասկացությունների ներկայացումից, ապա կանցնենք ավելի բարդ օրինակների։

Նորմալ բաշխման հիմունքները

Նորմալ բաշխումը անընդհատ բաշխում է՝ երկու պարամետրով՝ միջին և ստանդարտ շեղում (ՍՇ): Միջինը որոշում է բաշխման կենտրոնը, մինչդեռ ստանդարտ շեղումը՝ բաշխման լայնությունը:

Նորմալ բաշխման կարևոր բնութագրերը.
1. Սիմետրիա. Նորմալ բաշխումը սիմետրիկ է միջինի նկատմամբ։
2. Էմպիրիկ կանոն (Էմպիրիկ կանոն):
– Տվյալների մոտ 68%-ը գտնվում է միջինից մեկ ստանդարտ շեղման սահմաններում։
– Տվյալների մոտավորապես 95%-ը գտնվում է միջինից երկու ստանդարտ շեղման սահմաններում։
– Տվյալների մոտավորապես 99.7%-ը գտնվում է միջինից երեք ստանդարտ շեղման սահմաններում։

Հարցերի և քննարկման նմուշներ

Օրինակ՝ հարց 1. Z-միավորի հաշվարկ

Հարց. Քննության միջին միավորը 70 է՝ 10 ստանդարտ շեղումով: Ուսանողը ստանում է 80 միավոր: Որքա՞ն է ուսանողի Z-միավորը:

Լուծում.
Z-միավորը չափանիշ է, որը ցույց է տալիս, թե քանի ստանդարտ շեղում ունի արժեքը միջինից։
Z-միավորի բանաձևը՝
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

Դիմանա.
– \(X \)-ն դիտարկվող արժեքն է։
– \( \mu \)-ն միջինն է։
– \( \sigma \)-ն ստանդարտ շեղումն է։

Հայտնի է.
– \( X = 80 \)
– \( \մու = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)

Բանաձևի կիրառումը.
\[Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]

Այսպիսով, ուսանողի Z-միավորը 1 է, ինչը նշանակում է, որ 80 միավորը միջինից մեկ ստանդարտ շեղումով բարձր է։

Օրինակ՝ հարց 2. Որոշակի արժեքի հավանականություն

Հարց՝ 100 միջինով և 15 ստանդարտ շեղումով նորմալ բաշխման դեպքում, որքա՞ն է 85-ից ցածր արժեք գտնելու հավանականությունը։

Լուծում.
Քայլերը՝
1. Հաշվարկեք Z-միավորը \(X = 85 \) արժեքի համար։
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]

2. Օգտագործեք Z-աղյուսակ կամ վիճակագրական հաշվիչ՝ -1 Z-միավորին համապատասխանող հավանականությունը գտնելու համար: Z-աղյուսակում -1 Z-միավորի հավանականությունը մոտավորապես 0.1587 է:

Այսպիսով, 85-ից ցածր արժեք գտնելու հավանականությունը 0.1587 է կամ 15.87%:

Օրինակ հարց 3. Էմպիրիկ կանոնների կիրառումը

Հարց. Հայտնի է, որ դպրոցներում մաթեմատիկայի թեստերի միավորների բաշխումը հետևում է նորմալ բաշխմանը՝ 75 միջինով և 8 ստանդարտ շեղմամբ: Ուսանողների որ մասն է հավաքել 67-ից 83 միավոր:

Լուծում.
Քայլեր:
1. Հաշվարկեք Z-միավորը 67 և 83 արժեքների համար.
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

2. Էմպիրիկ կանոնների համաձայն, միջինից -1 SD-ի և +1 SD-ի միջև ընկած արժեքները ընդգրկում են բնակչության մոտ 68%-ը։

Այսպիսով, 67-ից 83 միավոր հավաքած ուսանողների համամասնությունը կազմել է մոտ 68%:

Օրինակ՝ հարց 4. Արժեքների հաշվարկը տոկոսային թվերից

Հարց. Եթե երկրում չափահաս տղամարդկանց միջին հասակը 175 սմ է՝ 7 սմ ստանդարտ շեղումով, ապա որքա՞ն հասակ է 90-րդ պերսենտիլում։

Լուծում.
Քայլեր:
1. Գտեք 90-րդ պերսենտիլին համապատասխանող Z-միավորը: Z-աղյուսակի հիման վրա՝ 0.9000-ին ամենամոտ Z-միավորը մոտավորապես 1.28 է:

2. Օգտագործեք բանաձևը՝ \(X \)-ի արժեքը հաշվարկելու համար։
X = մու + Z անգամ սիգմա
\[ X = 175 + 1.28 \times 7 \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]

Այսպիսով, 90-րդ պերսենտիլում հասակը մոտ 183.96 սմ է։

Օրինակ՝ հարց 5. Որոշակի միջակայքի հավանականություն

Հարց. Հաշվի առնելով, որ նորածնի քաշի բաշխումը հետևում է նորմալ բաշխմանը՝ միջինը 3.5 կգ և ստանդարտ շեղումը 0.5 կգ, ո՞րն է հավանականությունը, որ նորածնի քաշը կլինի 3-ից 4 կգ:

Լուծում.
Քայլեր:
1. Հաշվարկեք Z-միավորը 3 կգ և 4 կգ արժեքների համար.
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]

2. Z աղյուսակի հիման վրա -1-ի և 1-ի միջև Z-միավորի հավանականությունը մոտավորապես 0.6826 կամ 68.26% է։

Այսպիսով, 3 կգ-ից 4 կգ քաշ ունեցող երեխայի ծնվելու հավանականությունը մոտ 68.26% է։

Եզրակացություն

Նորմալ բաշխումը վիճակագրության մեջ հիմնարար հասկացություն է, որը կարևոր է և ունի բազմաթիվ իրական կիրառություններ: Այս հոդվածում մենք բացատրել ենք նորմալ բաշխման հիմնական հասկացությունները և լուծել ենք մի քանի օրինակներ՝ մեր ըմբռնումը խորացնելու համար:

Նորմալ բաշխման հասկացողությունը կարևոր է ոչ միայն վիճակագրության, այլև տարբեր գործնական ոլորտների համար, ինչպիսիք են հոգեբանությունը, տնտեսագիտությունը և այլ հասարակական գիտություններ: Բավարար պրակտիկայի դեպքում նորմալ բաշխման խնդիրների լուծումը կարող է դառնալ ավելի ինտուիտիվ և օգնել տվյալների վրա հիմնված որոշումների կայացմանը: