Երկրաչափական շարքերը քննարկող հարցերի օրինակներ

Երկրաչափական շարքերի վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Երկրաչափական շարքերը մաթեմատիկայի կարևորագույն հասկացություն են, որոնք հաճախ հանդիպում են տարբեր տեսակի խնդիրներում, այդ թվում՝ դպրոցական քննություններում, քոլեջի ընդունելության քննություններում և նույնիսկ ստանդարտացված թեստերում, ինչպիսիք են SAT-ը կամ GRE-ն: Երկրաչափական շարքերի խորը ըմբռնումը մեզ օգնում է արդյունավետորեն լուծել խնդիրները: Այս հոդվածը կանդրադառնա մի քանի օրինակելի խնդիրների և մանրամասն կքննարկի երկրաչափական շարքերը:

Երկրաչափական շարքերի ըմբռնումը

Երկրաչափական շարքը այն շարքն է, որի յուրաքանչյուր անդամը ստացվում է նախորդ անդամը հարաբերակցություն կոչվող ֆիքսված թվով բազմապատկելով (ընդհանուր հարաբերակցություն, որը սովորաբար խորհրդանշվում է \(r\) տառով): Ընդհանուր առմամբ, երկրաչափական շարքը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

\[
ա, ար, ար^2, ար^3, \լդոտս
\]

Որտեղ՝
– \(a\)-ն առաջին անդամն է
– \(r\)-ը շարքի հարաբերակցությունն է

Եթե ​​\( |r| < 1 \), անվերջ երկրաչափական շարքերն ունեն հետաքրքիր զուգամիտող հատկություններ։ Երկրաչափական շարքերը բազմաթիվ գործնական կիրառություններ ունեն տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են ֆիզիկան, տնտեսագիտությունը և կենսաբանությունը։ Երկրաչափական շարքի բանաձևը Երկրաչափական շարքի n-րդ անդամը Երկրաչափական շարքի n-րդ անդամը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով՝ \[ U_n = a \cdot r^{n-1} \] Երկրաչափական շարքի առաջին n անդամների գումարը Երկրաչափական շարքի (Sn) առաջին \(n\) անդամների գումարը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով՝ \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad \text{for } r \neq 1 \] \[ S_n = na, \quad \text{for } r = 1 \] Երկրաչափական շարքի անվերջ գումար Եթե \(|r| < 1\), անվերջ երկրաչափական շարքն ունի հետևյալ գումարը՝ \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \] Օրինակային հարցեր և քննարկումներ Ստորև բերված են երկրաչափական շարքի հարցերի մի քանի օրինակներ՝ դրանց քննարկումների հետ միասին. Օրինակային հարց 1. n-րդ անդամի հաշվարկը Հարց. Տրված է երկրաչափական շարք՝ առաջին անդամով \(a = 5\) և հարաբերակցությամբ \(r = 3\): Հաշվարկեք շարքի 6-րդ անդամը։ Քննարկում. n-րդ անդամի բանաձևի կիրառումը՝ \[ U_6 = a \cdot r^{(6-1)} = 5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215 \] Այսպիսով, շարքի 6-րդ անդամը 1215-ն է։ Օրինակ՝ հարց 2. Առաջին n անդամների գումարի հաշվարկը Հարց. Հաշվարկեք երկրաչափական շարքի առաջին 4 անդամների գումարը, որի առաջին անդամը \(a = 2\) է, իսկ \(r = \frac{1}{2}\) հարաբերակցությունը։ Քննարկում. Առաջին անդամների գումարի բանաձևի կիրառումը՝ \[ S_4 = a \frac{1 - r^4}{1 - r} = 2 \frac{1 - (\frac{1}{2})^4}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - \frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = 2 \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{15}{8} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = 3.75 \] Այսպիսով, շարքի առաջին 4 անդամների գումարը 3.75 է։ Հարց 3-ի օրինակ. Անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը Հարց. Հաշվարկեք անվերջ շարքի գումարը, որտեղ \(a = 7\) և \(r = \frac{1}{3}\)\): Քննարկում. Անվերջ շարքի գումարի բանաձևի կիրառումը՝ \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{7}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{7}{\frac{2}{3}} = 7 \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \] Այսպիսով, անվերջ շարքի գումարը 10.5 է։ Օրինակ հարց 4. շարքի անդամների և հարաբերակցությունների որոշումը Հարց. Երկրաչափական շարքի առաջին 3 անդամների գումարը 21 է, իսկ 2-րդ և 3-րդ անդամների գումարը՝ 18: Որոշեք առաջին անդամը և դրա հարաբերակցությունը։ Քննարկում. Ենթադրենք, որ առաջին անդամը \(a\)-ն է, իսկ հարաբերակցությունը \(r\)-ն է։ Խնդրի տեղեկատվությունից կարող ենք գրել հետևյալ երկու հավասարումները՝ \[ a + ar + ar^2 = 21 \quad \text{(1)} \] \[ ar + ar^2 = 18 \quad \text{(2)} \] Հավասարումից (2) կարող ենք \(a\)-ն արտահայտել \(r\)-ի միջոցով՝ \[ a(r + r^2) = 18 \implies a = \frac{18}{r(1 + r)} \] Հաջորդը, (1) հավասարման մեջ տեղադրեք \(a\)-ն՝ \[ \frac{18(1)}{r(1 + r)} + ​​​​\frac{18r}{r(1 + r)} + ​​​​\frac{18r^2}{r(1 + r)} = 21 \] \[ \frac{18}{1 + r} + \frac{18r}{1 + r} + \frac{18r^2}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 (1 + r + r^2)}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 \cdot 3}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{54}{1 + r} = 21 \] \[ 54 = 21(1 + r) \] \[ 54 = 21 + 21r \] \[ 33 = 21r \] \[ r = \frac{33}{21} = \frac{11}{7} \] Հայտնի լինելով՝ \(r\) արժեքը փոխարինեք \(a\) արժեքով։ \[ a = \frac{18}{r(1 + r)} = \frac{18}{\frac{11}{7} (1 + \frac{11}{7})} = \frac{18}{\frac{11}{7} \cdot \frac{18}{7}} = \frac{18 \cdot 7}{11 \cdot 18} = \frac{7}{11} \] Այսպիսով, առաջին անդամը՝ \(a\)-ն, \(\frac{7}{11}\)-ն է, իսկ հարաբերակցությունը՝ \(\frac{11}{7}\)։ Եզրակացություն Երկրաչափական շարքը մաթեմատիկական հասկացություն է, որը լայնորեն կիրառվում է տարբեր կիրառություններում։ Հիմնական բանաձևերը, ինչպիսիք են n-րդ անդամը, առաջին n անդամների գումարը և անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը, հասկանալը կարևոր է տարբեր կապակցված մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու համար։ Այս հոդվածում քննարկված տարբեր օրինակելի խնդիրներ լուծելով՝ մենք կարող ենք կատարելագործել երկրաչափական շարքերն ավելի լավ հասկանալու և օգտագործելու մեր կարողությունը։