Անվերջ երկրաչափական շարքերի վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Անվերջ երկրաչափական շարքերի վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Անվերջ երկրաչափական շարքը շարք է, որը ներառում է անվերջ թվով անդամներ երկրաչափական պրոգրեսիայի մեջ։ Այս շարքերն ունեն որոշակի պահանջներ իրենց գումարի (կամ սահմանի) հաշվարկելի լինելու համար։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք անվերջ երկրաչափական շարքերի հիմնական հասկացությունը, դրանք կառուցելու պահանջները, ինչպես նաև մի քանի օրինակելի խնդիրներ և դրանց լուծումները։

Անվերջ երկրաչափական շարքերի հիմնական հասկացությունները

Ըստ էության, երկրաչափական շարքը թվերի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամը հաջորդում է առաջինին, ստացվում է նախորդ անդամը բազմապատկելով հաստատունով, որը կոչվում է ընդհանուր հարաբերակցություն (r): Ենթադրենք, որ մենք ունենք երկրաչափական շարք.
\[ա, ար, ար^2, ար^3, ար^4, \լդոտս \]

Անվերջ երկրաչափական շարքի համար մենք դիտարկում ենք շարքի բոլոր անդամների գումարը։ Այս շարքի գումարը սահմանվում է որպես՝
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]

Անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը զուգամիտում է (ունի որոշակի արժեք) այն և միայն այն դեպքում, եթե հարաբերակցության արժեքը \( |r| < 1 \): Եթե \( |r| \geq 1 \), ապա շարքը դիվերգենտ է և չունի որոշակի գումար (գնում է դեպի անվերջություն): Եթե \( |r| < 1 \), անվերջ երկրաչափական շարքի S գումարը կարող է սահմանվել որպես \[ S = \frac{a}{1-r} \] որտեղ՝ - \( S \)-ը շարքի գումարն է, - \( a \)-ը՝ առաջին անդամը, - \( r \)-ը՝ ընդհանուր հարաբերակցությունը։ Օրինակ հարցեր և քննարկում Օրինակ հարց 1 Հարց. Գտեք հետևյալ շարքի անվերջ երկրաչափական շարքերի գումարը՝ \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Քննարկում. Եկեք բացահայտենք շարքի կարևոր տարրերը. Առաջին անդամը՝ \(a = 3 \) r հարաբերակցությունը կարելի է գտնել երկրորդ անդամը առաջին անդամին բաժանելով, այսինքն՝ \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Քանի որ \( |r| = 0.5 < 1 \), այս շարքը զուգամիտում է, և մենք կարող ենք հաշվարկել անվերջ շարքերի գումարը։ Օգտագործեք անվերջ երկրաչափական շարքի գումարի բանաձևը՝ \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Այսպիսով, անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը 6 է: Հարց 2-ի օրինակ Հարց՝ Գտեք անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը, որի առաջին անդամը 8 է, իսկ հարաբերակցությունը՝ \(r = -\frac{1}{3} \): Լուծում՝ Առաջին անդամը՝ \(a = 8 \) Հարաբերակցությունը՝ \(r = -\frac{1}{3} \) Քանի որ \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), այս շարքը զուգամիտում է, և մենք կարող ենք հաշվարկել անվերջ շարքի գումարը: Օգտագործեք անվերջ երկրաչափական շարքի գումարի բանաձևը՝ \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Այսպիսով, անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը 6 է։ Օրինակ՝ հարց 3։ Հարց. Հետևյալ շարքերն անվերջ գումար ունեն՞։ Եթե այո, գտեք գումարը։ \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Քննարկում. Առաջին անդամը \(a = 5 \) r հարաբերակցությունը կարելի է գտնել՝ երկրորդ անդամը բաժանելով առաջին անդամի վրա, այսինքն՝ \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Քանի որ \( |r| = 0.5 < 1 \), այս շարքը զուգամիտում է, և մենք կարող ենք հաշվարկել անվերջ շարքի գումարը։ Օգտագործեք անվերջ երկրաչափական շարքի գումարի բանաձևը՝ \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Այսպիսով, անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը 10 է։ Հարց 4-ի օրինակ Հարց՝ Որոշեք, թե հետևյալ շարքը զուգամիտ է, թե դիվերգենտ՝ \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Լուծում՝ Առաջին անդամը՝ \( a = 4 \) r հարաբերակցությունը կարելի է գտնել երկրորդ անդամը առաջին անդամին բաժանելով, այսինքն՝ \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Քանի որ \( |r| = 1.5 > 1 \), այս շարքը դիվերգենտ է և որոշակի գումար չունի։

Այսպիսով, շարքը բազմազան է։

Օրինակ՝ հարց 5
Հարց. Ենթադրենք, որ դուք ունեք հետևյալ անվերջ շարքը.
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Որոշեք շարքի գումարը։

Քննարկում.
Առաջին անդամը \(a = \frac{1}{2} \)
r հարաբերակցությունը կարելի է գտնել՝ երկրորդ անդամը բաժանելով առաջին անդամի վրա, այսինքն՝
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]

Քանի որ \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), այս շարքը զուգամիտում է, և մենք կարող ենք հաշվարկել անվերջ շարքի գումարը։ Օգտագործեք անվերջ երկրաչափական շարքի գումարի բանաձևը՝ \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Այսպիսով, անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը 1 է։ Եզրակացություն Անվերջ երկրաչափական շարքը կարևոր մաթեմատիկական հասկացություն է, որը լայն կիրառություն ունի տարբեր ոլորտներում։ Անվերջ երկրաչափական շարքի գումարը որոշելու համար մենք պետք է համոզվենք, որ \( |r| < 1 \) հարաբերակցությունը։ Այսպիսով, շարքի գումարը կարելի է հաշվարկել պարզ և հասկանալի բանաձևի միջոցով։ Վերը նշված օրինակային խնդիրներից կարող ենք տեսնել, որ այս մեթոդը շատ հեշտացնում է անվերջ երկրաչափական շարքեր ներառող խնդիրների լուծումը։