Թվաբանական հաջորդականությունների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Թվաբանական հաջորդականությունների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Թվաբանական հաջորդականությունները մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացություն են, որոնք հաճախ հանդիպում են տարբեր քննություններում և իրական աշխարհում կիրառություններում: Թվաբանական հաջորդականությունը թվերի հաջորդականություն է, որի միջև յուրաքանչյուր երկու հաջորդական անդամի միջև կա հաստատուն տարբերություն: Այս հոդվածում մենք ավելի խորությամբ կուսումնասիրենք թվաբանական հաջորդականությունների հասկացությունը՝ մի քանի օրինակելի խնդիրների միջոցով, որոնք ուղեկցվում են համապարփակ բացատրություններով:

Սահմանումներ և նշումներ

Մինչև օրինակային խնդիրներին անդրադառնալը, կարևոր է հասկանալ թվաբանական հաջորդականություններում հաճախ օգտագործվող նշումը։ Եթե \(a\)-ն առաջին անդամն է, իսկ \(d\)-ն՝ ընդհանուր տարբերությունը (հաստատուն տարբերությունը), ապա թվաբանական հաջորդականությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝

\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]

Այս հաջորդականության n-րդ անդամը (Un) կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ՝

\[ U_n = a + (n-1)d \]

Ստորև բերված են մի քանի օրինակելի հարցեր և դրանց քննարկումները՝ թվաբանական հաջորդականությունները հասկանալն ավելի հեշտ դարձնելու համար։

Օրինակ՝ հարց 1

Հարց՝

Տրված է թվաբանական հաջորդականություն՝ առաջին անդամով՝ \(a = 5\) և ընդհանուր տարբերություն՝ \(d = 3\): Որոշեք հաջորդականության 10-րդ անդամը:

Քննարկում.

Օգտագործելով n-րդ անդամի ընդհանուր բանաձևը՝ \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]

Այսպիսով, հաջորդականության 10-րդ անդամը 32 է։

Օրինակ՝ հարց 2

Հարց՝

Տրված է թվաբանական հաջորդականություն, որի հինգերորդ անդամը 20 է, իսկ ութերորդը՝ 35: Որոշեք հաջորդականության առաջին անդամը՝ \(a\)-ը և ընդհանուր տարբերությունը \(d\):

Քննարկում.

Հարցից մենք իմանում ենք.
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]

Հանեք երկու հավասարումներն էլ՝ \(a\)-ը վերացնելու համար։
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ դ = 5 \]

Հիմա մենք փոխարինում ենք \(d = 5\)-ը՝ \(a\) գտնելու համար։
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ա + 20 = 20 \]
\[ա = 0 \]

Այսպիսով, հաջորդականության առաջին անդամը 0 է, իսկ տարբերությունը՝ 5։

Օրինակ՝ հարց 3

Հարց՝

Ինչի՞ է հավասար թվաբանական հաջորդականության առաջին 20 անդամների գումարը, որի առաջին անդամը \(a = 2\) է, իսկ ընդհանուր տարբերությունը \(d = 4\):

Քննարկում.

Թվաբանական հաջորդականության առաջին n անդամների գումարը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևով.
S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]

Այս տողի համար՝
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
S_{20} = 10 ձախ (4 + 76 աջ)
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]

Այսպիսով, հաջորդականության առաջին 20 անդամների գումարը 800 է։

Օրինակ՝ հարց 4

Հարց՝

Թվաբանական հաջորդականության երրորդ անդամը 15 է, իսկ յոթերորդ անդամը՝ 27: Գտեք հաջորդականության 12-րդ անդամը:

Քննարկում.

Նախ, մենք պետք է գտնենք \(a\) և \(d\) արժեքները։ Հարցից մենք գիտենք՝
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]

Հանեք երկու հավասարումներն էլ՝ \(a\)-ը վերացնելու համար։
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ դ = 3 \]

Հիմա մենք փոխարինում ենք \(d = 3\)-ը՝ \(a\) գտնելու համար։
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ա + 6 = 15 \]
\[ա = 9 \]

Օգտագործելով n-րդ անդամի բանաձևը՝ 12-րդ անդամը գտնելու համար՝
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]

Այսպիսով, հաջորդականության 12-րդ անդամը 42 է։

Օրինակ՝ հարց 5

Հարց՝

Առաջին անդամով՝ \(a\) և ընդհանուր տարբերություն \(d\) ունեցող թվաբանական հաջորդականությունը առաջին 10 անդամների գումարը կազմում է 55։ Եթե \(d = 1\), որոշեք \(a\) առաջին անդամը։

Քննարկում.

Տրված են \(d = 1\) և \(S_{10} = 55\): Օգտագործեք առաջին անդամների գումարի բանաձևը՝
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

n = 10-ի համար՝
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2ա + 9) = 55 \]
\[ 2ա + 9 = 11 \]
\[ 2ա = 2 \]
\[ա = 1 \]

Այսպիսով, հաջորդականության առաջին անդամը 1 է։

Եզրակացություն

Թվաբանական հաջորդականությունները մաթեմատիկայի հիմնարար հասկացություն են, որոնք չափազանց օգտակար են տարբեր ոլորտներում: Այս հոդվածում մենք քննարկել ենք թվաբանական հաջորդականությունների մի քանի օրինակներ և դրանց լուծումները: Թվաբանական հաջորդականությունների բանաձևերի և հիմնական հատկությունների լավ ըմբռնումը շատ օգտակար կլինի այս թեմային վերաբերող տարբեր տեսակի խնդիրներ լուծելու համար:

Վերը նշված օրինակների նման օրինակներ կիրառելով՝ հույս ունենք, որ դուք ավելի հմուտ և արագ կդառնաք թվաբանական հաջորդականություններ ներառող խնդիրներ լուծելու հարցում։