Երկու փոխադարձաբար չբացառող A և B իրադարձությունների գումարման կանոնի վերաբերյալ քննարկման հարցի օրինակ։

Երկու փոխադարձաբար բացառող A և B իրադարձությունների գումարման կանոնը քննարկող օրինակելի հարցեր

Պենդահուլուան

Հավանականության մեջ հիմնական հասկացությունների և դրանց կիրառությունների ըմբռնումը կարևոր է: Հաճախակի հանդիպող հասկացություններից մեկը հավանականության գումարման կանոնն է: Այս հոդվածում մենք ավելի խորը կանդրադառնանք երկու ոչ բացառիկ իրադարձությունների գումարման կանոնին: Ոչ բացառիկ իրադարձությունները տեղի են ունենում, երբ երկու իրադարձություններն ունեն նույն հնարավոր տարրը, կամ այլ կերպ ասած՝ երկու իրադարձություններն էլ կարող են տեղի ունենալ միաժամանակ: Հասկանալը հեշտացնելու համար դիտարկենք խնդրի օրինակ և դրա բացատրությունը:

Հիմնական տեսություն

Եթե ​​մենք ունենք երկու A և B իրադարձություններ, որոնք փոխադարձաբար բացառող չեն, ապա A կամ B իրադարձության հավանականությունը հաշվարկելու գումարման կանոնը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.

\[ P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B) \]

Այստեղ՝
– P(A \cup B)\)-ն A-ի կամ B-ի (կամ երկուսի) տեղի ունենալու հավանականությունն է։
– \( P(A) \)-ն A իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունն է։
– \( P(B) \)-ն B իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունն է։
– P(A \cap B)\)-ն A-ի և B-ի միաժամանակյա առաջացման հավանականությունն է։

Խնդիրների օրինակ

Հարց 1. Դպրոցում աշակերտների 70%-ը սիրում է ֆուտբոլ խաղալ (միջոցառում A), աշակերտների 40%-ը սիրում է բասկետբոլ խաղալ (միջոցառում B), իսկ աշակերտների 20%-ը սիրում է խաղալ երկու մարզաձևերն էլ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ աշակերտը սիրում է խաղալ ֆուտբոլ կամ բասկետբոլ:

Քննարկում.

Հայտնի է.
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \կապ B) = 0.20 \)

Երկու փոխադարձաբար բացառող իրադարձություններ գումարելու կանոնի կիրառումը.

\[ P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B) \]
\[ P(A \բաժակ B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
P(A) = 0.90

Այսպիսով, այն հավանականությունը, որ ուսանողը սիրում է ֆուտբոլ կամ բասկետբոլ խաղալ, 0.90 կամ 90% է։

Հարց 2. Հարցման արդյունքում հարցվածների 35%-ը սիրում է սուրճ (միջոցառում A), հարցվածների 50%-ը՝ թեյ (միջոցառում B), իսկ հարցվածների 10%-ը՝ երկուսն էլ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հարցվածը սիրում է սուրճ կամ թեյ:

Քննարկում.

Հայտնի է.
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \կապ B) = 0.10 \)

Երկու փոխադարձաբար բացառող իրադարձություններ գումարելու կանոնի կիրառումը.

\[ P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B) \]
\[ P(A \բաժակ B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
P(A) = 0.75

Այսպիսով, հավանականությունը, որ հարցվողը սիրում է սուրճ կամ թեյ, 0.75 կամ 75% է։

Հարց 3. Վիճակագրական տվյալներից հայտնի է, որ մարդկանց 60%-ը սիրում է գրքեր կարդալ (իրադարձություն A), 30%-ը՝ ֆիլմեր դիտել (իրադարձություն B), իսկ 15%-ը՝ երկուսն էլ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ մարդը սիրում է գրքեր կարդալ կամ ֆիլմեր դիտել:

Քննարկում.

Հայտնի է.
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \կապ B) = 0.15 \)

Երկու փոխադարձաբար բացառող իրադարձություններ գումարելու կանոնի կիրառումը.

\[ P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B) \]
\[ P(A \բաժակ B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
P(A) = 0.75

Այսպիսով, հավանականությունը, որ մարդը սիրում է գրքեր կարդալ կամ ֆիլմեր դիտել, 0.75 կամ 75% է։

Հարց 4. Ռեստորանում անցկացված հարցման համաձայն՝ հաճախորդների 55%-ը պատվիրել է պիցցա (միջոցառում A), հաճախորդների 35%-ը՝ մակարոնեղեն (միջոցառում B), իսկ հաճախորդների 20%-ը՝ երկուսն էլ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հաճախորդը կպատվիրի կամ պիցցա, կամ մակարոնեղեն։

Քննարկում.

Հայտնի է.
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \կապ B) = 0.20 \)

Երկու փոխադարձաբար բացառող իրադարձություններ գումարելու կանոնի կիրառումը.

\[ P(A \բաժակ B) = P(A) + P(B) – P(A \բաժակ B) \]
\[ P(A \բաժակ B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
P(A) = 0.70

Այսպիսով, հավանականությունը, որ հաճախորդը կպատվիրի պիցցա կամ մակարոնեղեն, 0.70 կամ 70% է։

Եզրակացություն

Հավանականության ուսումնասիրության մեջ երկու ոչ բացառիկ A և B իրադարձությունների գումարման կանոնը շատ կարևոր է՝ մեկ կամ երկու իրադարձությունների միաժամանակ տեղի ունենալու հավանականությունը որոշելու համար: Օգտագործելով \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) \) բանաձևը, հեշտ է հաշվարկել հատում կամ ընդհանուր տարր ունեցող երկու իրադարձությունների համատեղ հավանականությունը:

Վերոնշյալ օրինակների միջոցով մենք կարող ենք տեսնել, որ այս հաշվարկի հիմնական քայլերի ըմբռնումը թույլ է տալիս մեզ կիրառել այն տարբեր իրավիճակներում՝ կրթության, հարցումների, թե առօրյա կյանքում: Հավանականության ճիշտ հաշվարկման համար կարևոր է պարզությունն ու ճշգրտությունը՝ ճանաչելու համար, թե որ իրադարձություններն ունեն ընդհանուր տարրեր: Հետևաբար, հետևողական պրակտիկան և հիմնական հասկացությունների ըմբռնումը մեծապես կօգնեն այս թեման յուրացնելուն: