30 A termodinamika első főtételének alkalmazása néhány termodinamikai folyamatban (izobár, izoterm, izochor)
1. Az alábbi grafikon egy gáz termodinamikai ciklusát mutatja. A gáz által az ABCD folyamatban végzett munka …
Ismert:
1. nyomás ( P1 ) = 2 x 105 Pa
2. nyomás (P² ) = 4 × 10⁻¹⁵ Pa
1. térfogat (V1 ) = 1 m3
2. térfogat (V2 ) = 3 m3
Keresett: A gáz által az ABCD (W) folyamatban végzett munka.
megoldás:
Egy gáz által végzett munka egyenlő az ABCD felületével.
W = (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
W = (4 × 10⁻⁶ – 2 × 10⁻⁶ ) (3 – 1)
W = (2 × 10⁻⁶ ) (2)
W = 4 x 105 joule
2. A gáz által az ABC folyamatban végzett munka…
Ismert:
1. nyomás (P² ) = 3 × 10⁻¹⁵ Pa
2. nyomás (P² ) = 6 × 10⁻¹⁵ Pa
1. térfogat (V1 ) = 20 cm3 = 20 x 10⁻⁶ m3
2. térfogat (V2 ) = 60 cm3 = 60 x 10⁻⁶ m3
Keresett : A gáz által az ABC folyamatban végzett munka
megoldás:
A gáz által végzett munka = az ABC területe.
W = ½ (P2 – P1 ) ( V2 – V1 )
W = 1/2 (6 × 10⁻⁶ – 3 × 10⁻⁶ ) (60 × 10⁻⁶ – 20 × 10⁻⁶ )
W = 1/2 (3 × 10⁻⁶ ) (40 × 10⁻⁶ )
W = 1/2 (120 x 10⁻¹ joule )
W = 1/2 (12 joule)
W = 6 joule
3. Zárt tartályban lévő gáz PV-diagramja, az alábbi ábrán látható. A gáz által végzett munka melyik folyamatban látható.
Megoldás
Az AB és a DC folyamatok izobár folyamatok ( a nyomást állandó értéken tartják) . Az AD és a BC folyamatok izobár folyamatok ( a térfogat nem változik).
A munkát a gáz végezte, amikor a gáz kitágul (DC folyamat).
Íme 9 probléma és megoldás az izobár folyamattal (állandó nyomás) kapcsolatban:
1 probléma:
Egy 3.0 m³-es állandó nyomású gázt 2.0 m³-re sűrítünk össze. Ha a kezdeti hőmérséklet 300 K, mi a végső hőmérséklet?
Megoldás:
Az izobár folyamatra vonatkozó \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\) egyenlet felhasználásával a végső hőmérsékletet a következőképpen határozhatjuk meg:
\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} = \frac{2.0} szorozva 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]
2 probléma:
Számítsd ki 2 mól gáz munkáját, ha izobárikusan tágul 1 literről 3 literre 2 atm nyomáson!
Megoldás:
Az izobár folyamatban végzett munka egyenletét használva: \( W = P \ΔV \):
\[
W = 2\, \text{atm} \times (3 – 1)\, \text{liter} = 4\, \text{atm}\cdot\text{liter}
\]
3 probléma:
Mekkora a belső energiaváltozás, ha 4 mol ideális kétatomos gázt állandó nyomáson 200 K-ről 300 K-re melegítünk?
Megoldás:
A kétatomos gáz állandó nyomáson bekövetkező belső energiaváltozásának egyenletét használva: \( \Delta U = nC_pdT \), ahol \( C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
\Delta U = 4 × \frac{7}{2} \8.314 × (300 – 200) \kb. 6990, \text{J}
\]
4 probléma:
Számítsd ki az izobár folyamat során felszabaduló hőt, amikor 2 mól egyatomos gáz 5 literről 10 literre tágul 400 K-en!
Megoldás:
Az izobár folyamat hőátadásának egyenletét használva: \(Q = nC_pdT \), ahol \(C_p = \frac{5}{2}R \), és \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):
\[
Q = 2 ∈ ∈ 5(2) ∈ 8.314 ∈ (400 ∈ 10(5) – 400 ∈ jobbra) = 3316, J
\]
5 probléma:
Határozza meg 3 mol háromatomos gáz entalpiaváltozását, amikor 1 literről 2 literre expandálunk 200 K hőmérsékleten!
Megoldás:
Az izobár folyamat entalpiaváltozásának képletét használva: \( \DeltaH = nC_pdT \), ahol \(C_p = \frac{f}{2}R \) és \(f = 6 \):
\[
\Delta H = 3 × ∫\frac{6}{2} \8.314 × ∫\left(200 × ∫\frac{2}{1} – 200 \right) = 4989, \text{J}
\]
6 probléma:
Számítsd ki egy 2 mól gáz végső térfogatát 300 K-en és 5 liter kezdeti térfogatát, amikor állandó nyomáson 500 K-re melegítjük!
Megoldás:
Az izobár folyamat egyenletének felhasználásával:
\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \következménye: V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{5 \times 500}{300} \approx 8.33\, \text{liter}
\]
7 probléma:
Mekkora munkát végez egy egyatomos gáz, amikor 6 literről 3 literre sűrítjük 2 atm nyomáson?
Megoldás:
Az izobár folyamatban végzett munka egyenletének felhasználásával:
\[
W = P \Delta V = 2 \times (3 – 6) = -6\, \text{atm}\cdot\text{liter}
\]
8 probléma:
Egy kétatomos gáz izobárikus tágulást végez 3 literről 6 literre 300 K-en. Határozza meg az entrópia változását!
Megoldás:
A kétatomos gáz izobár folyamatában az entrópia változásának egyenletét használva, ahol C_p = 7(2)R:
\[
\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 × ∫\frac{7}{2} \x 8.314 \x ∫\frac{300 \x ∫\frac{6}{3}}{300} + 2 × 8.314 \x ∫\frac{6}{3} \kb. 34.76\, \text{J/K}
\]
9 probléma:
Számítsd ki a hőátadást 5 mól háromatomos gáz izobár nyomás alatti összenyomásakor 10 literről 5 literre 500 K-en.
Megoldás:
Az izobár folyamat hőátadásának egyenletét használva, ahol C_p = f(2)R és f = 6:
\[
Q = 5 × ∫(2) × 8.314 × (500 × ∫(10) – 500) = -12473, \text{J}
\]
Ezeknek a feladatoknak átfogó képet kell adniuk az izobár folyamattal kapcsolatos különféle fogalmakról.
Íme 9 probléma és megoldás az izotermikus folyamattal (állandó hőmérséklet) kapcsolatban:
1 probléma:
Feladat: Számítsd ki 2 mól ideális gáz munkáját, amely izotermikusan tágul 1 literről 2 literre 300 K-en.
Megoldás:
Az ideális gáz izoterm folyamatában végzett munka egyenletének felhasználásával:
\[ W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]
\[
W = 2 × 8.314 × 300 × ∫ₜ² (1) kb. 3454, J
\]
2 probléma:
Feladat: Mekkora a hőátadás, amikor 3 mól gázt izotermikusan összenyomunk 4 literről 2 literre 400 K-en?
Megoldás:
Az izotermikus folyamat hőátadásának egyenletét használva: \( Q = W \):
\[
Q = 3 × 8.314 × 400 × ∫ₜ² (4) kb. -3462, J
\]
3 probléma:
Határozza meg az entrópiaváltozást, amikor 4 mol gáz izotermikus táguláson megy keresztül 1 literről 5 literre 300 K-en!
Megoldás:
Az izotermikus folyamat entrópiaváltozásának egyenletét használva:
\[
\Delta S = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 × 8.314 \ln\frac{5}{1} \kb. 46.15\, \text{J/K}
\]
4 probléma:
Számítsd ki a végzett munkát, amikor 1 mól ideális gázt izotermikusan 6 literről 3 literre sűrítünk 200 K-en!
Megoldás:
Az izotermikus folyamatban végzett munka egyenletének felhasználásával:
\[
W = 1 × 8.314 × 200 × ∫ₜ (3 × 6) kb. -575, J
\]
5 probléma:
Határozza meg 3 mol gáz belső energiájának változását izotermikus tágulás során 2 literről 6 literre, állandó hőmérsékleten!
Megoldás:
Ideális gáz izoterm folyamata esetén a belső energia változása nulla:
\[
\Delta U = 0\, \text{J}
\]
6 probléma:
Számítsd ki a hőátadást, amikor 5 mól gázt izotermikusan 3 literről 6 literre tágulunk 250 K-en.
Megoldás:
Az izotermikus folyamat hőátadásának egyenletét használva:
\[
Q = 5 × 8.314 × 250 × ∫ₜₐ (körülbelül 2879), \text{J}
\]
7 probléma:
Mekkora munkát végez 2 mol gáz izotermikus összenyomásakor 4 literről 2 literre 150 K-en?
Megoldás:
Az izotermikus folyamatban végzett munka egyenletének felhasználásával:
\[
W = 2 × 8.314 × 150 × ∫ₜ (2 × 4) kb. -1151, J
\]
8 probléma:
Mekkora az entrópiaváltozás, amikor 3 mól gázt izotermikusan összenyomunk 5 literről 1 literre 500 K-en?
Megoldás:
Az izotermikus folyamat entrópiaváltozásának egyenletét használva:
\[
\Delta S = 3 × 8.314 \ln \frac{1}{5} \approx -34.77\, \text{J/K}
\]
9 probléma:
Határozza meg 4 mol ideális gáz munkáját, amely izotermikusan tágul 2 literről 8 literre 100 K-en!
Megoldás:
Az izotermikus folyamatban végzett munka egyenletének felhasználásával:
\[
W = 4 × 8.314 × 100 × ∫ₜ² (2) kb. 2304, J
\]
Ezek a feladatok az izotermikus folyamattal kapcsolatos különféle fogalmakat ölelnek fel, mint például a végzett munka, a hőátadás és az entrópiaváltozás.
Íme 9 probléma és megoldás az izochor folyamattal (állandó térfogat) kapcsolatban:
1 probléma:
Számítsd ki 3 mol egyatomos ideális gáz belső energiájának változását, ha a hőmérsékletet 200 K-ről 400 K-re emeljük állandó térfogat mellett!
Megoldás:
Az állandó térfogat melletti belső energia változását leíró egyenlet felhasználásával: \( \ΔU = nC_v \ΔT \), ahol \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
\Delta U = 3 × \frac{3}{2} \8.314 × (400 – 200) \kb. 3741, \text{J}
\]
2 probléma:
Határozza meg 2 mol kétatomos gáz hőátadását, amikor a hőmérsékletet állandó térfogat mellett 300 K-ről 200 K-re csökkentjük.
Megoldás:
Az állandó térfogat melletti hőátadás egyenletét használva: \(Q = \ΔU = nC_v\ΔT \), ahol \(C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
Q = 2 × ∫ₐ (5%), ∫ₐ (8.314 × (200 – 300) kb. -4157), J
\]
3 probléma:
Számítsd ki 4 mol háromatomos gáz entrópiaváltozását, amikor a hőmérséklete állandó térfogat mellett 100 K-ről 300 K-re emelkedik.
Megoldás:
Az entrópia változásának kiszámítására szolgáló egyenletet használva állandó térfogat mellett, ahol C_v = f(2)R és f = 6:
\[
\Delta S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 × ∫\frac{6}{2} \x 8.314 \x ∫\frac{300}{100} \kb. 115.36, \text{J/K}
\]
4 probléma:
Mekkora munkát végez egy gáz izochor folyamat során?
Megoldás:
Mivel az izochor folyamat során a térfogat állandó, nem történik munka:
\[
W = 0\, \text{J}
\]
5 probléma:
Határozza meg 5 mol egyatomos ideális gáz hőátadását, amikor állandó térfogaton 500 K-ről 300 K-re hűtjük.
Megoldás:
Az állandó térfogat melletti hőátadás egyenletét használva, ahol C_v = ¾R:
\[
Q = 5 × ∫ₐ (3%), ∫ₐ (8.314 × (300 – 500) kb. -6232), J
\]
6 probléma:
Számítsd ki 1 mol kétatomos gáz belső energiájának változását, ha a hőmérsékletet állandó térfogat mellett 150 K-ről 250 K-re emeljük.
Megoldás:
Az állandó térfogat melletti belső energia változásának egyenletét használva, ahol C_v = 5(2)R:
\[
\Delta U = 1 × \frac{5}{2} \8.314 × (250 – 150) \kb. 2079, \text{J}
\]
7 probléma:
Határozza meg 3 mol egyatomos gáz entrópiaváltozását, amikor a hőmérséklete állandó térfogat mellett 600 K-ről 300 K-re csökken!
Megoldás:
Az entrópia változásának kiszámítására szolgáló egyenletet használva állandó térfogat mellett, ahol C_v = ¾R:
\[
\Delta S = 3 × ∫\frac{3}{2} \8.314 × ∫\frac{300}{600} \approx -34.59\, \text{J/K}
\]
8 probléma:
Mekkora a hőátadása 2 mol háromatomos gáznak, ha a hőmérsékletet állandó térfogat mellett 200 K-ről 400 K-re emeljük?
Megoldás:
Az állandó térfogat melletti hőátadás egyenletét használva, ahol C_v = ¾R:
\[
Q = 2 × ∫(6%)(2) × 8.314 × (400 – 200) × kb. 4986, \text{J}
\]
9 probléma:
Számítsd ki 4 mol egyatomos ideális gáz belső energiájának változását, amikor állandó térfogaton 250 K-ről 350 K-re melegítjük!
Megoldás:
Az állandó térfogat melletti belső energia változásának egyenletét használva, ahol C_v = 3(2)R:
\[
\Delta U = 4 × \frac{3}{2} \8.314 × (350 – 250) \kb. 4986, \text{J}
\]
Ezek a problémák az izochor folyamat különböző aspektusait fedik le, mint például a hőátadás, a belső energia változása és az entrópia, különböző típusú gázok esetében.
