Vektorok hozzáadása

Cikk a vektorok összeadásáról

1. Vektor- és skalármennyiségek

Az alapvető és a származtatott mennyiségek mellett a fizikai mennyiségek két másik típusra oszthatók, nevezetesen skaláris mennyiségekre és vektormennyiségekre. Az olyan mennyiségek, mint a tömeg, a távolság, az idő és a térfogat, skaláris mennyiségek, olyan mennyiségek, amelyeknek csak nagyságuk van, de irányuk nincs. Míg az olyan mennyiségek, mint az elmozdulás, a sebesség, a gyorsulás és az erő, vektormennyiségek, olyan mennyiségek, amelyeknek nagyságuk és irányuk is van.

a. Az s kalór és a vektormennyiség közötti különbség

Ha azt mondod, hogy egy labda tömege 400 gramm, ez az állítás elég ahhoz, hogy megtudd a labda tömegét. Nem kell irányt ismerned a labda tömegének meghatározásához. Ugyanígy van az idővel, a hőmérséklettel, a térfogattal, a sűrűséggel stb. Számos fizikai mennyiség van, amelyet nem lehet csak nagyságrendben kifejezni. Ha azt mondod, hogy egy gyerek akár 100 métert is elmozdul, akkor ez az állítás nem elég. Felmerülhet a kérdés, hogy hová mozdult? Északra, délre, keletre vagy nyugatra? Hasonlóképpen, ha azt mondod, hogy 200 N erővel tolod az asztalt.

Merre vezetsz? Nos, az ilyen mennyiségeket vektormennyiségeknek nevezzük, amelyek nagyságát és irányát meg kell magyarázni. A vektormennyiségekre példák az elmozdulás, a gyorsulás, az impulzus, a lendület stb. Világosabban megértheted őket, ha az adott mennyiségekhez kapcsolódó témákat tanulmányozol.

b. Rajzolj egy vektort

A vektort egy nyíl jelöli. A nyíl mindig úgy van rajzolva, hogy a vektor irányába mutasson. A nyíl hosszát a vektor nagyságaként írjuk le. Például egy 2 N nagyságú erővektor (F) ábráján, amelynek iránya északkelet felé, vagyis az x tengely körül 45 ^{fokban van.}

c. A vektormennyiségek felírásának szabályai

Vektor írásakor, ha kézírást használunk, a vektor szimbólumát általában dőlt betűvel, nagybetűkkel írjuk, és felette egy nyíllal kell kiegészíteni. Nyomtatott könyvek esetén a vektor szimbólumokat nagybetűkkel és félkövérrel írjuk, például F . A vektor nagyságát, ha kézírást használunk, akkor a vektor nagyságát például |F|-ként írjuk. Nyomtatott könyvek esetén a vektor nagyságát dőlt betűvel írjuk, például F.

2. Vektorok összeadása – grafikus módszerek

A vektorok grafikus összeadásának számos módja van, beleértve a farok-csúcs módszert és a paralelogramma módszert.

a. Vektorok összeadásának farok-csúcs módszere

Az A és B vektorok ismertek. Az A = 3 cm vektor egybeesik az x tengellyel (kelet felé). A B = 2 cm vektor 30 ^° -os szöget zár be az x tengellyel (északkelet felé). Adjuk össze A-t és B-t grafikusan a farok-csúcs módszerrel. a) R = A + B b) R = A – B

Az eredő vektor (R) nagyságát vonalzóval mérjük. Az eredő vektor irányát szögmérővel mérjük.

Ismert A, B és C vektorok. Az A = 3 cm vektor egybeesik az x tengellyel (kelet felé). A B = 2 cm vektor 30 ^o -os szöget zár be az x tengellyel (északkelet felé). A C = 1 cm vektor 60 ^o -os szöget zár be az x tengellyel (északkelet felé). Adjuk össze A-t, B-t és C-t grafikusan a farok-csúcs módszerrel.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

Az eredő vektort (R) vonalzóval mérjük. Az eredő vektor irányát szögmérővel mérjük.

b. Paralelogramma módszer

Ismert A, B és C vektorok. Az A = 3 cm vektor egybeesik az x tengellyel (kelet felé). A B = 2 cm vektor 30 ^{o -os szöget zár be az x tengellyel (északkelet felé). A C = 1 cm vektor 60 o} -os szöget zár be az x tengellyel (északkelet felé). Add össze A-t, B-t és C-t grafikusan egy paralelogramma segítségével.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Az eredő vektort (R) vonalzóval mérjük. Az eredő vektor irányát szögmérővel mérjük.

3. Vektorok összeadása – aanalitikus módszer

Az egyik megközelítés a kapott vektor nagyságának és irányának grafikus módszerrel történő meghatározása. Az eredmények pontossága a rajzolás és a léptékolvasás pontosságától és pontosságától függ. Az eredményvektor nagyságát és irányát pontosabban matematikai számításokkal lehet meghatározni.

a. Két vektor összegének kiszámítása a koszinusz szabály segítségével

A kapott vektor nagyságának meghatározására szolgáló képlet:

A kapott vektor irányának meghatározására szolgáló képlet:

C = eredő vektor

A = 1. vektor

B = 2. vektor

cos ∠(A, B) = az A és B vektorok által bezárt szög

1. mintafeladat:

F ₁ = 2 N 30 -os szöget zár be az x tengely körül, F _{2 = 3 N 60} ^-os szöget zár be az x tengely körül, θ = 30 ^o.

2. mintafeladat:

F ₁ = 2 N egybeesik az x tengellyel, F _{2 = 3 N 90} ^o -os szöget zár be az x tengellyel, θ = 90 ^o.

b. Vektorok összeadása komponensek szerint

Tekintsünk át egy F vektort, amely az x tengely körül egy bizonyos szöget zár be, ahogy az alábbi ábrán látható. Az F _x és F _y az F vektor komponensvektorai.

A komponensvektor nagyságát a következő képlettel határozzuk meg:

F _x = F cos θ

Fy = Fsin _θ

Tekintsük át a két F vektort₁ és F₂ amely egy bizonyos szöget zár be az x tengely körül, ahogy az az alábbi ábrán látható. F_1x és F_1y az F vektor komponensei₁, tehát F_2x és F_2y az F vektor komponensei₂.

A komponensvektort a következő képlettel határozzuk meg:

F_1x =F₁ cosθ

F1y = _F1 sin _θ

F²x = _F² cos _θ

F1y = _F1 sin _θ

A komponensvektorok összeadása:

Fx = _F1x + _F2x​

Fy = _F1y + _F2y​

A kapott vektort a következő képlettel határozzuk meg:

A kapott vektor irányát a következő képlettel határozzuk meg:

1. mintafeladat:

^{Határozza meg az F vektor azon komponenseit, amelyek nagysága 20 N, és 30 o} -os szöget zárnak be az x tengely körül!

F _x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

2. mintafeladat:

Az F _{1 = 20 N vektor 30} ^° -os szöget zár be az x tengellyel, az F ₂ = 15 N pedig 180°-os szöget zár be az x tengellyel. Határozza meg a kapott vektor nagyságát és irányát!

F1x ₌ (20 N)(cos30 ^° ) = 17 N

F²x = F¹ ₌ –15 _N

F _1y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

F2y = ₀

A komponensvektorok összeadása:

Fx ₌ F1x – F2x _{= 17N} – 15N = 2N

Fy = ₁₀ N

Az eredő vektor:

F² = F² ₊ F² ^y² ₌ 2² ⁺ 10² ^{= 4} + 100 = ₁₀₄

F = 10.2 N

Az eredő vektor iránya:

θ = tan −15 = 78.7 ^° az x tengely körül

3. mintafeladat:

F₁, F_2, és F₃ 20° É, 30° É és 40° É. F₁ 60-ös szöget zár be^o az x tengely körül, F₂ 150-ös szöget zár be^o az x tengely körül, és F₃ 315-ös szöget zár be^o az x tengely körül. Határozza meg az eredő vektor nagyságát és irányát.

F _1x = (20 N)(cos 60 ^° ) = 10 N

F _1y = (20 N) (sin 60 ^o ) = 17 N

F2x = ( ₃₀ N)(cos 30 ^° ) = -26 N

F _2y = (30 N) (sin 30 ^o ) = 15 N

F3x ₌ (40 N)(cos45 ^° ) = 28 N

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

A komponensvektor hozzáadása:

Fx ₌ F1x _– F2x + F3x ₌ 10 N – 26 N + 28 N = 12 _N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Eredő vektor:

F² = F² ₊ F² ⁼ 12² ⁺ _{4² =} ¹⁴⁴ + ¹⁶ = ¹⁶⁰

F = 13 N

Az eredő vektor iránya:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^° az x tengely körül