Arkhimédész törvényei
Láttál már hajót? Ha még nem láttál élőben, remélhetőleg a tévében vagy az interneten igen. Egy nagyon nagy tömegű hajó nem süllyed el, míg egy kicsi, könnyű szikla igen. Miért van ez így? A válasz elég egyszerű, ha érted a felhajtóerő fogalmát és Arkhimédész elvét.
A mindennapi életben azt tapasztaljuk, hogy a folyadékba helyezett tárgyak, például egy szikla, kisebb súlyúak, mint amikor a tárgy nincs a folyadékban. Nehézséget okozhat egy kő felemelése a talaj felszínéről, de ugyanaz a kő könnyen felemelhető a medence aljáról. Ez a felhajtóerőnek köszönhető. A felhajtóerő a különböző mélységekben lévő folyadéknyomás-különbség miatt jön létre. A folyadéknyomás a mélységgel növekszik, minél mélyebb a folyadék, annál nagyobb a folyadéknyomás. Amikor egy tárgyat folyadékba helyezünk, nyomáskülönbség lesz a tárgy feletti folyadék és az alatta lévő folyadék között. A tárgy alján található folyadék nagyobb nyomás alatt van, mint a tárgy tetején található folyadék.
Felhajtóerő
A képen egy tárgy látható vízben lebegni. A tárgy alatti folyadék nyomása nagyobb, mint a tárgy feletti folyadéké. Ez azért van, mert a tárgy alatti folyadék nagyobb mélységben van, mint a tárgy feletti folyadéké (h2 > h1).
F2 = a folyadék által a tárgy aljára kifejtett erő, F1 = a folyadék által a tárgy tetejére kifejtett erő, A = a tárgy felülete
Az F 2 és F 1 közötti különbség a folyadék által a tárgyra kifejtett teljes erő, amelyet felhajtóerőnek nevezünk. A felhajtóerő nagysága:
F felhajtóerő = F 2 − F 1
F lebegő = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F lebegőpontos = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F felhajtóerő = ρ g A h
F felhajtóerő = ρ g V
Információ:
ρ = folyadék sűrűsége
g = a nehézségi gyorsulás
V = a tárgy térfogata a folyadékban
így a fenti felhajtóerő (F felhajtóerő) nagyságát megadó egyenlet a következőképpen írható fel:
F lebegőpontos = ρ F g V → m = ρ V
F felhajtóerő = m F g
F felhajtóerő = w F
m F g = w F = az elmerült tárgy térfogatával megegyező térfogatú folyadék súlya.
Arkhimédész elve
A fenti egyenlet alapján elmondhatjuk, hogy a felhajtóerő egyenlő a kiszorított folyadék súlyával, a kiszorított folyadék térfogata megegyezik a folyadékba merített tárgy térfogatával.
Ha egy tárgyat folyadékba merítünk, és az úszik, de csak egy része merül el, akkor a kiszorított folyadék térfogata megegyezik a tárgy folyadékba merült részének térfogatával. A tárgy alakjától vagy méretétől függetlenül ugyanaz történik mindegyikkel. Ez Arkhimédész (Kr. e. 287-212) munkája, amelyet ma Arkhimédész elveként ismerünk.
Arkhimédész elve kimondja, hogy:
Amikor egy tárgy teljesen vagy részben folyadékba merül, a folyadék felfelé ható erőt (felhajtóerőt) fejt ki a tárgyra, ahol a felfelé ható erő (felhajtóerő) nagysága megegyezik a kiszorított folyadék súlyával.
Arkhimédész története
Arkhimédész, aki Kr. e. 287 és 212 között élt, II. Hierón király megbízásából vizsgálta ki, hogy a királynak készített korona tiszta aranyból készült-e. Arkhimédész kezdetben zavarban volt azzal kapcsolatban, hogy a korona tiszta aranyból készült-e, vagy más fémeket tartalmaz-e. A probléma az volt, hogy a korona szabálytalan alakú volt, és nem lehetett megsemmisíteni annak megállapítására, hogy tiszta aranyból készült-e.
Annak megállapítása mögött, hogy egy királyi korona tiszta aranyból készült-e, az az elképzelés, hogy először meg kell határozni a korona fajsúlyát, majd össze kell hasonlítani az arany fajsúlyával. Ha a korona tiszta aranyból készült, akkor a korona fajsúlya = az arany fajsúlya.
Egy tárgy fajsúlya a levegőben lévő tárgy súlyának és a tárgy térfogatával megegyező víz súlyának aránya. Matematikailag a következőképpen írható fel:
Hogyan lehet meghatározni egy tárgy térfogatával megegyező térfogatú víz súlyát?
Arkhimédész szerint a tárgy térfogatával megegyező térfogatú víz súlya = a felhajtóerő nagysága, amikor a tárgy elsüllyed (az egész tárgy vízbe merül). Ez megegyezik a tárgy súlyveszteségével, amikor vízben lemérik. Tehát:
A korona fajsúlyának meghatározásához a koronát először levegőn lemérik (A korona súlya levegőben). Ezután a koronát vízbe helyezik, majd ismét lemérik, hogy megkapják az elveszett korona súlyát. Tehát:
Miután meghatározták a korona fajsúlyát, összehasonlítják az arany fajsúlyával. Az arany fajsúlya 19,3. Ha a korona fajsúlya megegyezik az arany fajsúlyával, akkor a korona tiszta aranyból készült. Ha azonban a korona nem tiszta aranyból készült, akkor a korona fajsúlya nem lesz azonos az arany fajsúlyával.
Miért nem süllyednek el a hajók?
Ha egy tárgy sűrűsége kisebb, mint a víz sűrűsége, akkor a tárgy úszik. Fordítva, ha egy tárgy sűrűsége nagyobb, mint a víz sűrűsége, akkor elsüllyed. A legtöbb hajó vasból és acélból készül. A vas és acél sűrűsége = 7,8 x 103 kg /m3 , míg a víz sűrűsége = 1,00 x 103 kg /m3 . Úgy tűnik, hogy a vas és az acél sűrűsége nagyobb, mint a víz sűrűsége. Ebben az esetben a vas és az acél fajsúlya = 7,8. A vasból és acélból készült hajóknak el kellene süllyedniük. Miért nem süllyednek el a hajók? A hajó teljes sűrűsége kisebb, mint a víz vagy a tengervíz sűrűsége.
Példakérdések Arkhimédész törvényéről
1. példakérdés:
Egy 40 kg-os szikla van egy medence alján. Ha a szikla térfogata = 0,2 m3 , mekkora a legkisebb erő, ami a szikla felemeléséhez szükséges?
Vita
Köztudott, hogy:
Kő tömege (m) = 40 kg
A kő térfogata (V) = 0,02 m3
A víz sűrűsége = 1000 kg/ m³
Nehézségi gyorsulás (g) = 10 m/ s²
Kérdezett: F minimum
Válasz:
F felhajtóerő = w F
F felhajtóerő = m F g → m = pV
F felhajtóerő = ρ F g V
F felhajtóerő = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F felhajtóerő = 200 kg m/ s²
F felhajtóerő = 200 N
A kő súlya (w) = mg
A kő súlya = (40 kg)(10 m/ s² )
A kő súlya = 400 kg m/ s²
Kő súlya = 400 N
Egy szikla felemeléséhez szükséges minimális erő:
Kő súlya – Felhajtóerő = 400 N – 200 N = 200 Newton.
2. példakérdés:
Egy tárgy súlya levegőben = 5000 kg m/s² , és a tárgy súlya vízben = 4000 kg m/s² . Ha a tárgy sűrűsége = 2000 kg/m³ , akkor mekkora a tárgy tömege és térfogata? g = 10 m/ s²
Vita
Nehézségi gyorsulás (g) = 10 m/ s²
A tárgy sűrűsége = 2000 kg/ m³
A víz sűrűsége = 1000 kg/ m³
A tárgy súlya a levegőben = 5000 kg m/ s²
A tárgy súlya vízben = 4000 kg m/ s²
Felhajtóerő (F felhajtóerő) = Tárgy súlya levegőben – Tárgy súlya vízben
F felhajtóerő = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F felhajtóerő = 1000 kg m/ s²
F felhajtóerő = A kiszorított víz súlya
F felhajtóerő = (víz tömege)(g)
F felhajtóerő = (kiszorított víz térfogata)(víz sűrűsége)(g)
A kiszorított víz térfogata = A vízbe merülő tárgy térfogata 😉
Tehát a tárgy térfogata = 0,1 m3
A tárgy tömege = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
A tárgy tömege = 200 kg
3. példakérdés:
Mekkora mennyiségű héliumra van szükség, ha egy lufinak 500 kg súlyt kell felemelnie?
Vita
Hélium sűrűsége = 0,1786 kg/ m3
Levegő sűrűsége = 1,293 kg/ m3
Felhajtóerő = Kiszorított levegő súlya = Teher súlya + Hélium súlya
Felhajtóerő = teher súlya + hélium súlya
Felhajtóerő = (a teher tömege)(g) + (a hélium tömege)(g)
Felhajtóerő = (a teher tömege + a hélium tömege)g —- 1. egyenlet
Felhajtóerő = A kiszorított levegő súlya
Felhajtóerő = (a kiszorított levegő tömege)(g) —- 2. egyenlet
Kombináljuk az 1. és 2. egyenletet:
(rakomány tömege + hélium tömege)(g) = (kiszorított levegő tömege)(g)
rakomány tömege + hélium tömege = kiszorított levegő tömege
500 kg + (ρ hélium)(V hélium) = (ρ levegő)(V levegő)
500 kg = (ρ levegő)(V levegő) – (ρ hélium)(V hélium)
A kiszorított levegő térfogata (V levegő) = a ballont töltő hélium térfogata (V hélium)
500 kg = (ρ levegő – ρ hélium) (V)
Ez a hélium minimális térfogata, amely egy súly Föld felszínen történő felemeléséhez szükséges. Ahhoz, hogy a léggömb magasabbra szállhasson, a hélium térfogatát növelni kell. Ez azért van, mert a levegő sűrűsége a magassággal csökken.
