Egzanp yon kesyon diskisyon sou vektè inite yon vektè
Pendahuluan
Nan matematik ak fizik, vektè yo se eleman fondamantal ki reprezante mayitid ak direksyon. Vektè yo souvan itilize pou dekri divès fenomèn tankou vitès, fòs, ak deplasman nan espas de oswa twa dimansyon. Yon konsèp enpòtan ki gen rapò ak vektè yo se vektè inite a. Atik sa a pral diskite sou definisyon yon vektè inite, kijan pou kalkile li, epi bay plizyè egzanp pwoblèm ak solisyon.
Konprann Vektè Inite yo
Yon vektè inite se yon vektè ki gen yon mayitid yon inite epi ki menm direksyon ak vektè orijinal la. Vektè inite yo souvan itilize pou senplifye analiz paske mayitid yo toujou youn, sa ki pèmèt prensipal konsantrasyon an rete sou direksyon yo. Pou konvèti yon vektè an yon vektè inite, nou dwe divize chak konpozan li yo pa mayitid vektè a.
Matematikman, si \( \mathbf{v} \) se yon vektè, alò vektè inite li a \( \mathbf{\hat{v}} \) ka eksprime kòm:
\[
\mathbf{\hat{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
\]
kote \( \|\mathbf{v}\| \) se mayitid oswa longè vektè \( \mathbf{v} \) a.
Kalkile mayitid vektè a
Ou ka kalkile mayitid yon vektè \( \mathbf{v} \) nan yon espas bidimensyonèl ak konpozan \( (v_x, v_y) \) lè w sèvi ak fòmil sa a:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
Pandanstan, pou vektè nan espas twa dimansyon ak konpozan \( (v_x, v_y, v_z) \), mayitid la kalkile lè l sèvi avèk fòmil sa a:
\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
\]
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Pou klarifye konsèp vektè inite yo, ann gade kèk egzanp kesyon ak diskisyon sou yo.
Egzanp Kesyon 1
Kesyon: Etandone yon vektè \( \mathbf{a} = (3, 4) \). Detèmine vektè inite vektè \( \mathbf{a} \) a.
Diskisyon:
1. Detèmine konpozan vektè a \( \mathbf{a} \):
(a_x = 3), (a_y = 4)
2. Kalkile mayitid vektè a \( \mathbf{a} \):
\[
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
3. Kalkile vektè inite a lè w divize chak konpozan vektè a \( \mathbf{a} \) pa mayitid li:
\[
\mathbf{\hat{a}} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) = \left( 0.6, 0.8 \right)
\]
Kidonk, vektè inite \( \mathbf{a} \) a se \( (0.6, 0.8) \).
Egzanp Kesyon 2
Kesyon: Etandone yon vektè \( \mathbf{b} = (1, -2, 2) \). Detèmine vektè inite vektè \( \mathbf{b} \) a.
Diskisyon:
1. Detèmine konpozan vektè a \( \mathbf{b} \):
(b_x = 1), (b_y = -2), (b_z = 2)
2. Kalkile mayitid vektè a \( \mathbf{b} \):
\[
\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
3. Kalkile vektè inite a lè w divize chak konpozan vektè a \( \mathbf{b} \) pa mayitid li:
\[
\mathbf{\hat{b}} = \left( \frac{1}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{2}{3} \right) \approx \left( 0.333, -0.667, 0.667 \right)
\]
Kidonk, vektè inite \( \mathbf{b} \) a se \( \left( 0.333, -0.667, 0.667 \right) \).
Egzanp Kesyon 3
Kesyon: Etandone vektè \( \mathbf{c} = (-7, 24) \). Detèmine vektè inite vektè \( \mathbf{c} \).
Diskisyon:
1. Detèmine konpozan vektè a \( \mathbf{c} \):
\(c_x = -7 \), \(c_y = 24 \)
2. Kalkile mayitid vektè a \( \mathbf{c} \):
\[
\|\mathbf{c}\| = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25
\]
3. Kalkile vektè inite a lè w divize chak konpozan vektè a \( \mathbf{c} \) pa mayitid li:
\[
\mathbf{\hat{c}} = \left( \frac{-7}{25}, \frac{24}{25} \right) = \left( -0.28, 0.96 \right)
\]
Kidonk, vektè inite \( \mathbf{c} \) a se \( (-0.28, 0.96) \).
Egzanp Kesyon 4
Kesyon: Si yon vektè \( \mathbf{d} = (6, 8, 0) \), detèmine vektè inite vektè a \( \mathbf{d} \).
Diskisyon:
1. Detèmine konpozan vektè a \( \mathbf{d} \):
\(d_x = 6\), \(d_y = 8\), \(d_z = 0\)
2. Kalkile mayitid vektè a \( \mathbf{d} \):
\[
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64 + 0} = \sqrt{100} = 10
\]
3. Kalkile vektè inite a lè w divize chak konpozan vektè a \( \mathbf{d} \) pa mayitid li:
\[
\mathbf{\hat{d}} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10}, \frac{0}{10} \right) = \left( 0.6, 0.8, 0 \right)
\]
Kidonk, vektè inite \( \mathbf{d} \) a se \( (0.6, 0.8, 0) \).
Penutup
Atravè diskisyon ak egzanp ki anwo yo, nou ka konprann ke pou kalkile yon vektè inite, ou bezwen kalkile mayitid vektè a epi divize konpozan vektè a pa mayitid sa a. Vektè inite yo trè itil nan divès aplikasyon tankou normalizasyon vektè nan grafik òdinatè, analiz fòs nan fizik, ak anpil lòt domèn. Lè nou konprann konsèp sa a, nou ta dwe kapab jere pwoblèm ki enplike vektè pi fasilman.
