Egzanp Kesyon ki Diskite sou Vektè Kolòn ak Vektè Ranje
Nan matematik, patikilyèman aljèb lineyè, vektè yo se yon konsèp fondamantal ki souvan itilize nan divès aplikasyon, soti nan modèl fizik rive nan kalkil. Vektè kolòn ak vektè ranje se de fòm reprezantasyon vektè, chak ak pwòp karakteristik ak itilizasyon li yo. Atik sa a pral diskite sou pwoblèm egzanp ak solisyon yo ki enplike vektè kolòn ak vektè ranje.
Definisyon Vektè Kolòn ak Vektè Ranje
Anvan nou antre nan kesyon egzanp yo ak diskisyon sou yo, ann premye revize definisyon debaz vektè kolòn ak vektè ranje.
– Vektè kolòn yo se vektè ki ranje nan yon kolòn, sa vle di, yon sèl dimansyon vètikal. Egzanp:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Vektè ranje yo se vektè ki ranje an ranje, sa vle di, nan yon dimansyon orizontal. Egzanp:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Egzanp 1: Ajoute Vektè Kolòn
Kesyon:
Etandone de vektè kolòn sa yo:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Kalkile sòm de vektè kolòn yo.
Solisyon:
Adisyon de vektè kolòn fèt lè yo ajoute eleman korespondan yo.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Kidonk, sòm \(\mathbf{u}\) ak \(\mathbf{v}\) se \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Egzanp Kesyon 2: Ajoute Vektè Ranje
Kesyon:
Etandone de vektè ranje sa yo:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Kalkile sòm de vektè ranje yo.
Solisyon:
Adisyon de vektè ranje fèt lè yo ajoute eleman ki koresponn yo.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Kidonk, sòm \(\mathbf{a}\) ak \(\mathbf{b}\) se \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Egzanp 3: Miltiplikasyon Eskalè pa Vektè Kolòn
Kesyon:
Etandone yon vektè kolòn \(\mathbf{c}\) ak yon eskalè \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Kalkile rezilta miltiplikasyon eskalè a.
Solisyon:
Miltiplikasyon eskalè pa yon vektè kolòn fèt lè yo miltipliye chak eleman nan vektè a pa yon eskalè.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 fwa -3
2 fwa 4
2 fwa 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Kidonk, rezilta miltipliye eskalè a \(2\) pa vektè kolòn nan \(\mathbf{c}\) se \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Egzanp Kesyon 4: Miltiplikasyon Eskalè pa Vektè Ranje
Kesyon:
Etandone yon vektè ranje \(\mathbf{d}\) ak yon eskalè \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Kalkile rezilta miltiplikasyon eskalè a.
Solisyon:
Miltiplikasyon eskalè pa yon vektè ranje fèt lè yo miltipliye chak eleman nan vektè a pa yon eskalè.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Kidonk, rezilta miltipliye eskalè a \(-3\) pa vektè ranje a \(\mathbf{d}\) se \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Egzanp 5: Miltiplikasyon Matris \(1 \times 3\) pa \(3 \times 1\) (Vektè Liy pa Vektè Kolòn)
Kesyon:
Bay yon vektè ranje \(\mathbf{e}\) ak yon vektè kolòn \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Kalkile pwodwi de vektè yo.
Solisyon:
Pou fè miltiplikasyon matris, vektè ranje a \(\mathbf{e}\) trete kòm yon matris \(1 \times 3\), epi vektè kolòn \(\mathbf{f}\) trete kòm yon matris \(3 \times 1\). Rezilta miltiplikasyon sa a se yon eskalè, sètadi sòm pwodwi eleman korespondan yo:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 \times 5) + (-1 \times 3) + (4 \times -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Kidonk, rezilta miltipliye vektè ranje a \(\mathbf{e}\) pa vektè kolòn nan \(\mathbf{f}\) se \(-1\).
Egzanp 6: Miltiplikasyon Matris \(3 \times 1\) pa \(1 \times 3\) (Vektè Kolòn pa Vektè Ranje)
Kesyon:
Etandone yon vektè kolòn \(\mathbf{g}\) ak yon vektè ranje \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Kalkile pwodwi de vektè yo.
Solisyon:
Miltiplikasyon matris yon vektè kolòn pa yon vektè ranje pwodui yon matris (\(3 \times 1\)) miltipliye pa (\(1 \times 3\)) ki pwodui yon matris \(3 \times 3\). Chak nouvo eleman se pwodwi eleman korespondan li yo:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 fwa 4 & 1 fwa 5 & 1 fwa 6
2 fwa 4 & 2 fwa 5 & 2 fwa 6
3 fwa 4 & 3 fwa 5 & 3 fwa 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Kidonk, rezilta miltipliye vektè kolòn \(\mathbf{g}\) a pa vektè ranje \(\mathbf{h}\) a se matris la:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Konklizyon
Nan tout atik sa a, nou te wè plizyè egzanp ki enplike vektè kolòn ak ranje. Adisyon vektè kolòn ak ranje reyalize lè yo ajoute eleman korespondan yo. Miltiplikasyon eskalè pa yon vektè reyalize tou lè yo miltipliye chak eleman nan vektè a pa eskalè a. Finalman, nou te aprann kijan pou miltipliye vektè ranje ak kolòn, sa ki bay swa yon eskalè oswa yon matris, selon lòd yo. Metrize operasyon debaz sa yo enpòtan anpil pou aplikasyon ki pi konplèks nan aljèb lineyè ak analiz done.
