Egzanp Kesyon ak Diskisyon: Varyans ak Devyasyon Estanda Done Siplemantè
Estatistik se yon branch matematik ki konsène koleksyon, analiz, entèpretasyon, prezantasyon ak òganizasyon done. De konsèp enpòtan nan estatistik se varyans ak devyasyon estanda. Atik sa a pral diskite an detay kijan pou kalkile varyans ak devyasyon estanda yon sèl ansanm done atravè plizyè pwoblèm egzanp.
Konprann Varyans ak Devyasyon Estanda
Varyans se yon mezi ki mezire kijan chif ki nan yon seri done yo gaye ak mwayèn nan. Varyans lan eksprime an inite kare done orijinal yo, sa ki fè li souvan difisil pou entèprete.
Devyasyon estanda a se rasin kare varyans lan. Li bay yon mezi pi entwisyon sou kijan done yo jeneralman devye de mwayèn nan paske inite li yo se menm ak inite orijinal done yo.
Fòmil Jeneral
Pou done endividyèl, fòmil pou varyans \( \sigma^2 \) ak devyasyon estanda \( \sigma \) popilasyon an se jan sa a:
1. Varyans (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Devyasyon Estanda (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Ki kote:
– \(N\) se kantite done ki nan popilasyon an.
– \(x_i \) se i-yèm valè done a.
– \( \mu \) se mwayèn done yo.
Si nou kalkile varyans lan ak devyasyon estanda echantiyon an, fòmil ki anwo a modifye yon ti kras:
1. Varyans Echantiyon (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Devyasyon Estanda Echantiyon an (yo):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Ki kote:
– \(n \) se kantite done ki nan echantiyon an.
– \( \bar{x} \) se mwayèn echantiyon an.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Egzanp Kesyon 1:
Etandone done sa yo:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Kalkile varyans lan ak devyasyon estanda done yo!
Etap Solisyon yo:
1. Kalkile Mwayèn nan (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Kalkile Diferans ki genyen ant Done yo ak Mwayèn nan, Lè sa a, Kare:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Ajoute tout rezilta kare yo:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Kalkile Varyans (σ²) Done Popilasyon yo:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nòt: Piske done sa yo se done popilasyon, nou divize pa 6.
5. Kalkile Devyasyon Estanda (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \anviwon 1.886
\]
Kidonk, varyans done yo se 3.559 epi devyasyon estanda a se 1.886.
Egzanp Kesyon 2:
Bay done echantiyon sa yo:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Kalkile varyans lan ak devyasyon estanda echantiyon an!
Etap Solisyon yo:
1. Kalkile Mwayèn nan (Mean) \( \bar{x} \) :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Kalkile Diferans ki genyen ant Done yo ak Mwayèn nan, Lè sa a, Kare:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Ajoute tout rezilta kare yo:
\[
\sòm (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Kalkile Varyans Echantiyon an (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nòt: Piske sa a se done echantiyon, nou divize pa 5 (n-1).
5. Kalkile Devyasyon Estanda (yo):
\[
s = \sqrt{5.351} \apeprè 2.313
\]
Kidonk, varyans done echantiyon an se 5.351 epi devyasyon estanda a se 2.313.
Konklizyon
Kalkile varyans ak devyasyon estanda enpòtan pou konprann kijan done yo gaye nan yon ansanm. Pandan ke varyans bay yon mezi teyorik dispèsyon an kare inite orijinal yo, devyasyon estanda entèprete mezi dispèsyon an an fonksyon inite orijinal done yo, sa ki fè li pi fasil pou konprann. Nan analiz done, de mezi sa yo souvan itilize pou evalye varyabilite done yo epi pran desizyon estatistik.
Lè nou konprann etap ak fòmil ki nesesè yo, nou ka fasilman kalkile varyans ak devyasyon estanda pou divès sitiyasyon nou rankontre nan koleksyon ak analiz done chak jou. Espere ke atik sa a bay yon konpreyansyon pi pwofon sou konsèp varyans ak devyasyon estanda nan ansanm done endividyèl.
